1.5.1全称量词与存在量词 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件核心内容为全称量词与存在量词，课堂导入通过学生成绩统计情境，先呈现非命题语句，再加入量词使其成为可判断真假的命题，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接命题概念与量词限定的关系。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过例题讲解发展数学思维，如例1利用函数最值求参数范围，课堂总结用对比表格强化数学语言表达。帮助学生提升抽象能力和推理意识，教师可借助资料高效开展教学。

1.5 全称量词与存在量词 情境导入 在一次数学测试中，学生对分数进行统计后得到以下两个结果： 1.班上所有同学的成绩都不低于60分； 2.班上至少有一位同学的成绩不低于90分. 问题1：这两句话是否属于命题？ 答：两句话都是命题 问题2：观察一下这两个句子 3.任意一个班上的同学，成绩都不低于60分； 4.班上存在成绩不低于90分的同学. 1和3，2和4，它们之间有什么关系？ 类似于“所有”，“任意一个”，“存在”，“至少一个”的名词，我们称为 量词. 那么，量词对命题会有什么影响？ 情境导入 问题3：观察下列语句，思考它们是否为命题 (1)； (2)是整数； （1）（2）都不是命题； (3)对所有的； (4)对任意一个是整数. （3）（4）是命题. 加入量词对进行限定后，命题才能完整. 可以判断真假 新知探究 定义："所有的"，"任意一个"等表示全体的词叫做全称量词，记作 "∀"；含有全称量词的命题叫做全称量词命题，一般形式为： “∀x∈M，p(x)” 例：（1）任意实数的平方都非负的 ⇒ ∀x∈R， （2）对任意一个整数，也是整数 ⇒ ∀x∈Z，∈Z 常见的全称量词还有很多，比如：“全部的”、“任意一个”、 “任取”等等 例如：“三角形有外接圆”“平行四边形对边相等”，都是全称命题，省略了“所有的” 有些全称命题在语言描述中会省略全称量词，为了避免歧义，在符号描述中一般不省略全称量词 新知探究 定义："存在一个""至少有一个""有的"等表示部分的词叫做存在量词，记作 "∃"；含有存在量词的命题叫做存在量词命题，一般形式为： “∃x∈M，p(x)” 例：（1）存在是整数 ⇒ ∃x∈R， （2）存在一个无理数，它的平方也是无理数 ⇒ ， 常见的存在量词还有很多，比如：“有一些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”等等 例如：“有些函数的图象不过原点”“对某个无理数，它的平方是有理数”，都是存在命题 知识应用 例题讲解 例2.判断下列命题的真假. (1)是偶数； (2)∃使； (3)； (4)∃角，使. (1)假， (2)假， (3)真， (4)真 [方法技巧] 1．判断全称量词命题真假的思维过程 2．判断存在量词命题真假的思维过程 针对训练 1.下列命题中是真命题的为（ ） ．，使 ．， ．， ．，使 2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 ．至少有一个实数，使 ．两个无理数的和必是无理数 ．存在一个负数，使 例题讲解 例题讲解 例3（2）. 命题：3mx2＋mx＋1＞0恒成立是真命题，求实数m的取值范围． 解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论． 当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意； 当m>0，且Δ＝m2－12m<0， 即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立， 所以0<m<12满足题意． 综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12. 针对训练 1.若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题， ∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根， 则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 即实数a的取值范围为{a|a≤4}． 解：∵依题意，x∈A，x＋m > 0 ∴，即， 课堂总结 对比项 全称量词命题 存在量词命题 符号形式 ∀x ∈ M, p(x) ∃x₀ ∈ M, p(x₀) 判断为真 证明 M 中每一个 x 都使 p(x) 成立 在 M 中找出一个 x₀ 使 p(x₀) 成立 判断为假 举出一个反例 x₀ 使 p(x₀) 不成立 说明 M 中不存在满足 p(x) 的元素 常用词 所有、任意、每一个、任给 存在、至少有一个、有的、某个 范围 全部（全体） 部分（至少一个） ∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解． ∃x，y∈Z,3x－2y＝10. ∀x∈Q，x2＋x＋1∈Q． 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表示： (1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． ∀x∈R，x2＋x＋1＞0. 例3：已知命题p：∀x∈，－a≥0是真命题，求实数a的取值范围． [解]　∵－a≥0，∴a≤. 由题意知a≤min，又x∈， ∴1≤≤2，∴a≤1.故实数a的取值范围为{a|a≤1}． $