湖南省A⁺联考2025-2026学年高三上学期12月检测数学试题

2025年12月高三检测卷 数学 班级：____________ 姓名：____________ 准考证号：____________ （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的准线纵截距为 A． B． C． D．1 2．已知a，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列满足，，则 A．4 B．7 C．8 D．2026 4．，和的等比中项不可能为 A． B． C． D． 5．地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为 A． B． C． D．3 6．设曲线，设一过原点且斜率一定的直线与曲线C相交的弦长为b，则“b随a的增大而增大”的一个充分不必要条件是 A． B． C． D．且 7．定义在上的函数和的最小正周期分别是和．已知函数的最小正周期为，则下列选项中可能成立的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 8．满足下列条件的的个数为 1．有且仅有8项，且其中每个元素都是正整数，并且互不相同； 2．，． A．72000 B．28224 C．28800 D．57600 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9．某公司在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有1张一等奖奖品券，3张二等奖奖品卷，6张“谢谢参与”券，参加抽奖活动的规则是不放回地依次抽取3张券，则 A．第一次抽到“谢谢参与”券的概率为 B．在第一次抽到一等奖的条件下，第二次抽到二等奖的概率为 C．三次抽到的都是“谢谢参与”券（即没有得到任何奖项）的概率为 D．恰好抽到1个一等奖和1个二等奖的概率为 10．已知函数的定义域，的图像在定义域内连续且均落在图中阴影区域内（包括边界，上下左右无限延伸），则 A．不可能为奇函数 B．可能为奇函数 C．当，记m为的最大值，则m无最大值 D．若为偶函数，则集合中所有元素之和为 11．已知中满足，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．方程有两个根，，则________． 13．函数恰有1个零点，则a的取值范围为________． 14．平面图形斜二测画法为矩形，，，求取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记等差数列的前n项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）设，求（用含n的代数式表示）． 16．（15分） 8月7日，杭州地铁18号线过江区间大直径盾构机“奋进号”验收顺利完成．其刀盘直径约12米，为安全高效穿越钱塘江提供强有力设备支撑．以下是奋进号将钻入甬江路站的场景．如图所示，奋进号中心轴与水平面夹角为，奋进号A点装有一信号发射器，能随奋进号的转动而转动．将奋进号前端最右沿点（即图示位置）恒记为C点．奋进号将在挖好的长方体站台的面上钻出一个以为短轴的椭圆，分别与，，三边相切于B，Y，D． （1）面上是否存在着一点E，使得A向C与E发射的信号恒相互垂直？请说明理由． （2）假设由于该站临江，导致开挖时不得不将M向方向移了米至，并保持B，Y点位置不变．若，求最终隧道中轴线与面夹角的正弦值． 17．（15分） 椭圆左右焦点分别为，，为E的弦，且过原点O．的最小值为．以为直径作圆O与E顺时针交于A，B，C，D． （1）求E的标准方程； （2）若A在第一象限，当四边形的面积达到最大． ①求直线的斜率； ②求证：以圆O上一点为圆心，半径为1的圆与E的交点弦长小于2． 18．（17分） 已知．（e为自然对数的底数） （1）求证：在定义域上恒有； （2）判断的单调性并求其值域； （3）已知a，，且，求的取值范围． 19．（17分） 平面直角坐标系中有n个动点，，，，初始时刻为0，初始位于原点．在每个单位时间内，每个动点向x或y轴正方向移动一个单位长度． （1）求在时刻8到达的不同路径数量； （2）若对任意时间，任意动点都满足． ①求证：在时刻2k到达所经过不同路径的数量为； ②给定且．若对任意时刻且，都有对任意，，位置不同，求解所有动点在时刻2k到达所经过路径的不同方案数（用含n，k的代数式表示，注意：两个方案不同当且仅当存在某个动点在两个方案中走过的路径不同）． 学科网（北京）股份有限公司 $