1.3 菱形的判定与性质 综合、以菱形性质为背景的多结论问题专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形判定与性质综合应用及多结论问题，通过分层例题与变式构建从基础到综合的逻辑训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形的判定与性质综合|3例+3变式|结合平行四边形、等腰三角形等背景，含尺规作图、证明与计算|从菱形定义出发，通过对角线垂直、邻边相等判定，关联性质解决边长、面积计算| |以菱形性质为背景的多结论问题|3例+3变式|基于菱形对角线、中点、特殊角等，判断线段关系、角度、面积等结论|综合菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）与三角形全等、勾股定理等，构建多结论推理链|

菱形的判定与性质综合、以菱形性质为背景的多结论问题专项训练 菱形的判定与性质综合、以菱形性质为背景的多结论问题专项训练 考点目录 菱形的判定与性质综合 以菱形性质为背景的多结论问题 考点一 菱形的判定与性质综合 例1．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，已知四边形是平行四边形．    (1)实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求： (2)①证明：如图，设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ② 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）①设与相交于点O，先根据垂直平分线的性质得到，，，再证明得到，进而有，然后利用菱形的判定可证得结论； ②过A作交延长线于H，由已知和含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程求得x值即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②如图，过A作交延长线于H，则， ∵， ∴，又， ∴，， ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 故，即菱形的边长为． 例2．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，证明，得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）设，则，由菱形的性质可得，，，，求出，由平行四边形的性质可得，结合勾股定理求出，最后由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 由（1）可得四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 例3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在等腰中，，为边上的中点，将延长至点，使得，过点作于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵点为边上的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由点为边上的中点及，可得四边形是平行四边形，再由即可证明； （2）由勾股定理求得，进而求得，再由勾股定理求得，从而得，再由勾股定理求得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴． 变式1．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据题意，得，证明，先证明四边形是平行四边形，结合已知证明四边形是菱形即可； （2）根据菱形的性质，结合已知证明，利用勾股定理，求得，利用直角三角形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ，． ． ． ． ， ， 解得． ． ， ． ． ． ． 变式2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 【答案】(1)证明：连接交于点O，如图 ∵点E、F、G分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)5 【分析】（1）连接交于点O，推导出是的中位线，是的中位线，得到，，继而推导出，则平行四边形是菱形，即可解答； （2）设，，得到，推导出，根据菱形的面积公式，得到，求出，继而根据菱形的性质，得到，，再根据勾股定理得到，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 变式3．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)12 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出即可； （2）先得出的长，进而可得的长，再得出，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴在中，． 考点二 以菱形性质为背景的多结论问题 例1．（25-26九年级上·上海浦东新区·阶段检测）如图，在菱形中，，，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①；②；③﹒正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由菱形的性质及AB=BD，得△ABD是等边三角形，故可判断①正确；由△ABD是等边三角形及AE=DF，可得，故可得②正确；根据全等的性质可判断③正确． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，AD∥BC ∵AB=BD ∴AB=BD=AD ∴△ABD是等边三角形 ∴∠A=∠ADB=60° ∵AD∥BC ∴∠DBC=∠ADB=60° 故①正确 在△AED和△DFB中 ∴ 故②正确 ∵ ∴∠ADE=∠DBF ∵∠BGE=∠GDB+∠DBF=∠GDB+∠ADE=∠ADB=60° 故③正确正确 所以正确的有：①②③ 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明△ABD是等边三角形是解答本题的关键． 例2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 例3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图菱形的周长为，对角线，相交于点，，垂足为E，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的是（   ） A．①②⑤ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】由菱形的性质可求得菱形的边长，结合可判断①正确；根据可判断⑤正确；在中由勾股定理可求得，则可求得，可判断②正确；在中由勾股定理可求得，可判断③正确；根据，可判断④不正确． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故⑤正确； 在中，， ∴，故②正确； 在中，，故③正确； ∵，， ∴，故④不正确； 综上所述正确的有①②③⑤． 变式1．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线交AD于点M，交BC于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）．其中正确结论的个数为（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，AB＝BC＝AD，∠ACD∠BCD＝40°，由“ASA”可得△AOM≌△CON，可得OM＝ON，AM＝CN，可得AM+BN＝AB，即可求解． 【详解】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝100°， ∴∠BCD＝80°，AO＝CO，AD∥BC，AB＝BC＝AD，∠ACD∠BCD＝40°，故（1）正确； ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴OM＝ON，AM＝CN， ∴AM+BN＝BN+CN＝BC＝AB，故（2），（3）正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 变式2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据菱形的性质计算周长和面积，利用菱形的对角线性质以及勾股定理判断结论③，利用轴对称性质（将军饮马模型）求的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的周长为，故①正确； 过点作于点 在中，， ∴ ∵， 菱形的面积，故②错误； 四边形是菱形， ∴，， ，故③错误； 延长至点，使得，连接 则点关于直线对称，则， ∴ ∴最小值为的长 ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ 的最小值为，故④正确 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 变式3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE＝DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由四边形的内角和为360°就可以求出∠BGD的值，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG，在Rt△GBC中，CG＞BC=BD，故△BDF与△CGB不全等，由三角形的面积关系可判断④，结合④和菱形的性质进而得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD ∵∠A=60° ∴∠BCD=60° ∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形 ∴∠ADB=∠ABD=60°，∠CDB=∠CBD=60° ∵E，F分别是AB，AD的中点 ∴∠BFD=∠DEB=90° ∴∠GDB=∠GBD=30° ∴∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG ∴∠BGD=360°-90°-90°-60°=120°，故①正确； 在△CDG和△CBG中 ∴△CDG≌△CBG（SSS） ∴∠DGC=∠BGC=60° ∴∠GCD=30° ∴CG=2GD=GD+GD ∴CG=DG+BG 故②正确． ∵△GBC为直角三角形 ∴CG＞BC ∴CG≠BD ∴△BDF与△CGB不全等 故③错误； ∵S菱形ABCD=2S△ADB= 2×AB•DE =AB•（BE） =AB•AB =AB2，故④错误； ∵ ∴2DE=CD 故⑤正确； ∵BD＞BF，BD=BC ∴BC＞BF 故⑥错误． ∴正确的有：①②⑤共三个． 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通． 2 学科网（北京）股份有限公司 $菱形的判定与性质综合、以菱形性质为背景的多结论问题专项训练 菱形的判定与性质综合、以菱形性质为背景的多结论问题专项训练 考点目录 菱形的判定与性质综合 以菱形性质为背景的多结论问题 考点一 菱形的判定与性质综合 例1．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，已知四边形是平行四边形．    (1)实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 例2．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 例3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在等腰中，，为边上的中点，将延长至点，使得，过点作于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 变式1．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点，若，，，求的长． 变式2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 变式3．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 考点二 以菱形性质为背景的多结论问题 例1．（25-26九年级上·上海浦东新区·阶段检测）如图，在菱形中，，，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①；②；③﹒正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 例2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图菱形的周长为，对角线，相交于点，，垂足为E，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的是（   ） A．①②⑤ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 变式1．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线交AD于点M，交BC于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）．其中正确结论的个数为（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE＝DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2 学科网（北京）股份有限公司 $