2.1.3 方程组的解集导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦方程组的解集，涵盖二元一次、三元一次及二元二次方程组的解法。通过“新知探究”引导学生从解集定义切入，结合“学以致用”例题，由一次到二次、二元到三元逐步递进，搭建知识学习支架。 资料亮点在于“方法规律总结”提炼消元降次核心思想，明确代入、加减消元等具体方法，培养学生数学思维与运算能力。习题设计多样，含“整体代换”创新题型，助力学生提升数学语言表达能力，适合自主学习与课堂教学使用。

学案导学解析 gqlx-bx1-2-3 2.1.3 方程组的解集（解析） 课堂讲练 新知探究 一、一次方程组的解集 概念梳理 1、方程组的解集：多个方程联立得到方程组；方程组的解集是每一个方程解集的交集。 2、基本方法：消元法，分为代入消元、加减消元，依据等式性质。 探究 1 ①二元方程组 两式相加：，代入 ，得 。 解集：{} ②三元方程组 三式相加：。 分别减去每个方程： ，，。 解集：{} 学以致用 (1) 由②得：，代入① 解集：{} (2) ①②： ②③： 由④：代入⑤ ，代入③： 解集：{} 二、二元二次方程组的解集 探究 2 由①： 或 。 得到两个二元一次方程组： 和 第一个：两式相减 ，； 第二个：两式相减 ，。 所以原方程组的解集为. 学以致用 (1) 展开②：，即 将① 代入： 代入①： 或 。 · ，； · ，。 原方程组的解集为. (2) ①②： 或 。 ①②：。 情况 1：，代入 。 。 情况 2：，代入 。 。 解集：{} 课堂达标 1、 ；。 解集：{} 2、 解集，把代入 。 3、 ①②：。 代入①：。 令，则。 。 课后练 1.已知关于x，y的方程组中x，y的值相等，则k的值是(　　) A.3 B. C.5 D. 答案　B 解析　把方程组中的x都换成y，解得x=y=.将x=y=代入4x-y=k中，从而k=. 2.(多选)方程组的解集为(　　) A.{-1，2} 　　　　B.{(-1，2)} C. 　　　　D. 答案　BD 解析　由 ①+②×4得27x+27=0，得x=-1， 代入①得y=2. 所以方程组的解集为{(-1，2)}，故选BD. 3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人;若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可列方程组为 4.已知方程组有无数多个解，则a，b的值分别为(　　) A.a=-3，b=-14 B.a=3，b=-7 C.a=-1，b=9 D.a=-3，b=14 答案　A 解析　检验满足==的只有a=-3,b=-14. 5.方程组则的值为(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 解析　由题意，将方程组的两式相加可得2x-3y=0，即y=x，z=x-2y=-x， 则===-. 6.(多选)已知关于x，y的方程组 给出下列结论，其中正确的是(　　) A.是方程组的一组解 B.当k=时，x，y的值互为相反数 C.若方程组的解也是方程x+y=4-k的解，则k=1 D.是方程组的解 答案　AB 解析　解方程组得 A中，是方程组的一组解，正确; B中，当k=时，x=3k-2=-2=-， y=1-k=1-=，x，y的值互为相反数，正确; 7.方程组的解集是　　　　.  答案　{(-4，5)} 解析　由 则方程组的解集为{(-4，5)}. 8.三元一次方程组的解集是　　　　.  答案　{(1,-1,-2)} 解析　已知 由①+②,得2x+4y=-2,即x+2y=-1,④ 由②×3+③,得3x+11y=-8,⑤ ④⑤组成二元一次方程组得 解得把y=-1代入②中,得z=-2. 故方程组的解是 9.关于x，y的方程3kx+2y=6k-3，对于任何k的值都有相同的解，则方程的解集为　　　　.  答案　 解析　方程可化为k(3x-6)+2y+3=0， 由题意，得∴ 10.已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求出这个解及a，b的值. 解　由题意可得∴ 即为方程组的解， 代入ax+by=1及bx+ay=6， 得 11.善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”方法:将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5③，将方程①代入③得2×3+y=5，所以y=-1，将y=-1代入①得x=4，所以方程组的解为请你解决以下问题: (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组 求整式x2+4y2+xy的值. 解　(1)方程组为 将方程②变形为9x-6y+2y=19， 即3(3x-2y)+2y=19，③ 将方程①代入③得3×5+2y=19，解得y=2; 将y=2代入①得x=3， ∴方程组的解为 (2)方程组为 由①得3(x2+4y2)=47+2xy， 即x2+4y2=，③ 把方程③代入②得2×+xy=36， 解得xy=2，将xy=2代入③得x2+4y2=17， ∴x2+4y2+xy=17+2=19. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 gqlx-bx1-2-3 2.1.3　方程组的解集 课堂讲练 学习目标　 1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组. 2.学会二元二次方程组的解法. 新知探究： 一、一次方程组的解集 探究1、 如何求方程组的解集呢?方程组的解集呢? 1、解集的定义及解法初探： 方程组的解集的概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集 方程组的解集的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法 2、学以致用： 求下列方程组的解集. (1) (2) 二、二元二次方程组的解集 探究2 、如何求方程组的解集呢？ 1、解法初探： 2、学以致用：求下列方程组的解集. （1） 三、方法规律总结： 1. 解方程组的核心思想 （1）消元：多元方程组通过消去未知数，转化为一元方程求解； （2）降次：高次方程组通过变形、因式分解，转化为一次方程组求解。 2. 一次方程组常用解法 （1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程求解。 （2）加减消元法：给方程适当倍乘，通过两式相加或相减消去一个未知数求解。 3. 二元二次方程组两类题型 （1）二一型：一个一次方程、一个二次方程，用代入法降次求解； （2）二二型：两个均为二次方程，通过作差消去二次项，转化为一次方程组求解。 课堂达标 1.方程组的解集为　　　　.  2.若方程组的解集是{(1，-1)}，则a，b的值分别为 、 3.已知方程组则x∶y∶z=　　　　.  课后练 1.已知关于x，y的方程组中x，y的值相等，则k的值是(　　) A.3 B. C.5 D. 2.(多选)方程组的解集为(　　) A.{-1，2}　　B.{(-1，2)} C.　　D. 3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人;若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为(　　) A. B. C. D. 4.已知方程组有无数多个解，则a，b的值分别为(　　) A.a=-3，b=-14 B.a=3，b=-7 C.a=-1，b=9 D.a=-3，b=14 5.方程组则的值为(　　) A. B. C.- D.- 6.(多选)已知关于x，y的方程组给出下列结论，其中正确的是(　　) A.是方程组的一组解 B.当k=时，x，y的值互为相反数 C.若方程组的解也是方程x+y=4-k的解，则k=1 D.是方程组的解 7.方程组的解集是　　　　.  8.三元一次方程组的解集是　　　　.  9.关于x，y的方程3kx+2y=6k-3，对于任何k的值都有相同的解，则方程的解集为　　　　.  10.已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求出这个解及a，b的值. 11.善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”方法:将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5③，将方程①代入③得2×3+y=5，所以y=-1，将y=-1代入①得x=4，所以方程组的解为请你解决以下问题: (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组 求整式x2+4y2+xy的值. 学科网（北京）股份有限公司 $