18.5 分式方程-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

分 式 第十八章 18.5 分式方程（第一课时） 知识梳理画形成联系 一多 【知识点1】分式方程的定义 ⊙分母中含有 的方程叫作分式方程 L.下列方程中，是分式方程的是( A+ B.x+1=2 C.2x=x-5 D.x-4y=1 2.在032-5：②}-1)+号+10=4：③-2=1，④2+t7-1:⑤（3x-7)中， 分式方程有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【知识点2】分式方程的解 ©将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 ，则整式方程的 解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 1已知关于x的分式方程m=1的解是非负数，则m的取值范围是() x-1 A.m≥1 B.m≤1 C.m≥-1且m≠0 D.m≥-1 2.若关于x的方程3kx-=1无解，则k的值为 x-2x-2 【知识点3】解分式方程 ©解分式方程的一般过程如下： 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 目标 x=m 检验 最简公分母不为0 最简公分母为0 x=m是分式方程的解 x=m不是分式方程的解 解方程一3，去分母，两边同乘-1)后的式子为( T3-1-x A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3x C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x 口数学 八年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 【例倒】解方程：品品1 【点拨】解分式方程首先要确定最简公分母，两边同时乘最简公分母，将分式方程转化 为整式方程即可.利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 【例2】若关于x的分式方程x,+1=m的解为非负数，求m的取值范围. x-11-x 【点拨】解分式方程，本题易错点是容易忽略x≠1这个信息. 夯实四基U达标闯关 1.下列方程：①2-2x；②3t5-124；③x-22-0:④2-10.其中为分式方程 4x 的是() A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④ 2将关于x的分式武方程去分母可得（) A.3x-3=2 B.3x-1=2x C.3x-1=x D.3x-3=x 3.分式方程X-2=2的解为(） x-3x-3 A.2 B.3 C.4 D.5 ⑤0 分 式 第十八章 4.已知x=1是方程m-1=3的解，那么实数m的值为() 「2-xx-2 A.-2 B.2 C.-4 D.4 5.如果关于x的分式方程2=m=1的解是负数，那么实数m的取值范围是() x+1 A.m<-1 B.m>-1且m≠0 C.m>-1 D.m<-1且m≠-2 6.若关于x的分式方程3=1-k,无解，则k的值为() x-1 x-1 A.1 B.0 C.-3 D.-1 7.关于x的方程+m-3=-1的解为非负数，则m的取值范围是 x-2 2-x 8.解方程： 28点 6)1=-+2 3 2; 能力提升牌综合拓展 9.阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：-L-4x=-0 x x-1 解：设y=-1，则原方程化为y4=0,方程两边同时乘y,得y-4-0,解得=±2， 经检验，y=t2都是方程y4=0的解，.当y=2时，-1-2，解得=-1： Y 当-2时，=-2，解得=了经检验，-或=背都是原分式方程的解， x 原分式方程的解为x=-1成x=} 上述这种解分式方程的方法称为换元法」 问题： 山)若在方程高0中，设) ,则原方程可化为 151 口数学 八年级上册（人教版 (2)利用上述方法解方程：-↓-+2=0. x+2x-1 1+1=3 (3)模仿上述换元法解方程组： 2+3=7. x y ④模仿上述换元法解方程：2子-0 中考链接©真题演练 10.(2025·湖南)将分式方程1=2，去分母后得到的整式方程为() xx+1 A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 11.(2025哈尔滨)方程5=3的解为() x+2x A.x=2 B.x=3 C.x=-3 D.x=1 12.(2025黑龙江)已知关于x的分式方程+-2k=3的解为负数，则k的值为() x-44-x A.k<-4 B.k>-4 Ck4且k≠-专Dk>4且k≠-号 3 13.(2025·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程x+x,=2无解，那么实数m的值是() 1-x-1 A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1D.m≠1且m≠-1 14.(2025:镇江)解方程：3==1 4+x2 @ 分 式 第十八章 18.5 分式方程（第二课时） 知识梳理画形成联系 一·多 【知识点1】工作效率问题：工作总量=工作时间×工作效率 1.某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工.乙队单独 完成这项工程要比规定日期多用6天.学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单 独做，正好如期完成.设规定的工期为x天，根据题意列方程为（) A.5+x=1 B.5+x=1 龙x+6 xx-6 c.5+5=l D.5+5=l xx+6 龙x-6 2.某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率 比原来提高了20%，结果提前25天完成这一任务.设原计划工作时每天绿化的面积为x万平 方米，则下列方程正确的是() A.50 x=25 B.50(1+20%）_50=25 (1+20%)x50 C.50 50 25 D.50_.50(1+20%)=25 x(1+20%)x 【知识点2】路程问题：路程=时间×速度 L.李老师参加学校运动会的健康跑(15km)项目，跑了一半后，他将平均速度提高到 原来的1.2倍，结果提前6min到达终点，求李老师原来的平均速度是多少.设原来的平均 速度为xkmh,根据题意可列方程为(） A.7.57.5_1 B.7.5_7.51 x1.2x10 1.2xx-10 C.75-75=6 x1.2x D775-6 2.甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是 3:4,结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3xkm/h.依题意，下面所列方程正 确的是() A.,6-20=10 B.6+20=10 3x 4 3x 4x c是 D会+ @ 数学 八年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 【例1】甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3h清点完这批图书的 子，乙加人清点利余的图书，两人合作24h清点完剩余的图书，如果乙单独清点这批图书 需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要xh,则根据题意可列方程为 【点拨】此题涉及的公式：工作总量=工作效率x工作时间.根据条件“两人合作2.4h清 点完剩余的图书”列等量关系式.时间为2.4h,因此需要确定甲、乙两名同学的工作效率. 根据条件“甲3h清点完这批图书的)”可知甲的工作效率为了3，进面可以列出方程 【例2】2020年7月6日，芜湖开通首列至北京的高铁列车，2023年芜湖至北京的G44 次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，G44次列车提速前行驶skm,提速后比提速前多 行驶50km,提速前G44次列车的平均速度为多少？设提速前G44次列车的平均速度为 xkm/h,则下面所列方程正确的是() A.5=s+50 B.S=S-50 xx+v 尤+v C.s+50=9 D.s+50=s xx+v x x-v 【点拨】此题涉及的公式：路程=速度×时间.根据条件“用相同的时间”，找到提速前和 提速后的时间列出分式方程即可 夯实四基飞达标闯关 -。多 1.一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用5天，若甲、乙合作2天后，甲需再用4天 才能全部完成.若设乙单独完成此项工程需x天，则下列所列方程正确的是() A.2+4+2=1 B.2+4+2=1 x+5x xx+5 C.2+244=1 x-5 x 等1 2.一艘轮船在静水中的最大航速为35kmh,它以最大航速沿江顺流航行120km,所用 时间与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为vkm/h,则可列方程 为() A.120、90 B.120-90 v+35v-35 35-v35+v C.120=90 D.120-90 v-35v+35 35+w35-w 3.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40k的 时间与乙匀速骑行35km的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2k.设甲每小时骑行 xkm,根据题意列出的方程是 154 分 式 第十八章 4.甲、乙两人承包一项工程合作10天完成，若他们单独做，甲比乙少用8天.设甲单独 做需要x天完成，则所列的方程是 能力提升蹄综合拓展 5.小吉和小林从同一地点出发跑800m,小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比 小林少用40s到达终点.求小林跑步的平均速度 6.某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬 运20kg,机器人A搬运800kg所用时间与机器人B搬运1000kg所用时间相等.求机器人 A、机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料. 中考链接©真题演练 一卡多卡 7.(2025·雅安)甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲 加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小 时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为() A.200-160 B.200=160 xx-20 x-20x C.200=160 D.200=160 xx+20 x+20x 8.(2025·无锡)小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红 速度的1.2倍，两人各自骑行了6km,小亮骑行时间比小红少用了4min.设小红的骑行速 度为xkm/h,则可列方程为（) A点+品9 B.6+4=6 ·1.2x cA动9 D.1 4-5 5⑤6 口数学 八年级上册（人教版） 9.(2025·绵阳)随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工 作和生活带来了许多便利.厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工 作效率是普通机器人的1.5倍.若两种机器人分别同时装载货物6t,普通机器人比智能机器 人多用20min,则智能机器人每小时可以装载货物(） A.0.1t B.0.15t C.6t D.9t 10.(2025·成都)2025年8月7日至17日，第12届世界运动会在成都举行，与运动会 吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A,B两种吉祥物 挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的号，用300元则买B种挂件的数量 比用200元购买A种挂件的数量多7个. (1)求每个A种挂件的价格 (2)某游客计划用不超过600元购买A,B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂 件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件」 @数学 八年级上册（人教版） 【例3】A解析：a=号-8,6=(-39 c=(T-2026)=1,而1<8<9，.c<a<b,故选A. 1.D2.A3.B4.D 59 46.-87.38.8m 9.(1)9.5(2)1(3)9(4)5 10.C11.C12.-213.-1 14解：由口)(m为正整数)有意义 得-m+3>0,解得m<3,·m是正整数，：m=1或m=2. 15.号16D1.D 18.4整数指数幂（第二课时) 【知识点】1.3.4x1002.7×109 【例】A解析：0.0000021=2.1x10,故选A 1.A2.B3.A4.2.8×1095.12 6.解：(1)0.3×0.3×0.3=0.027=2.7×102(m). 答：这个盒子的体积是2.7×102m. (2)小立方块的体积为(1×10-3)×(1×10-3)×(1 10-3)=109(m3),需要(2.7×10-2)÷109=2.7×107个这样 的小立方块才能将盒子装满 7.解：(1.674×102×2)+2.657×106 =2.9918×1026(kg. 答：一个水分子的质量大约是2.9918×1026kg. 8.C 18.5分式方程（第一课时) 【知识点1】未知数1.B2.B 【知识点2】01.C2.2或-1 【知识点3】B 【例1】解：方程两边同时乘(x+1)(x-1), 得整式方程(x-1)2-2=x2-1, 解得=0， 检验，当x=0时，(x+1)(x-1)≠0. .原分式方程的解为x=0. 【例21解：奇 两边同乘(x-1),去分母，得x+-1=-m, 移项，合并同类项，得2=1-m, 系数化为1，得=1-m 2 原分式方程的解为非负数， 1m≥0，且m≠1， 2 2 解得m≤1且m≠-1. 1.B2.A3.C4.B5.D6.C 7.m≥-5且m≠-3. 8.解：(1)解得=9，经检验，x=9是原分式方 程的解. (2)解得=2，经检验，x2-4-0,.原分式方程无解 (3)解得x=1,经检验，(x-1)(x+2)=0,∴原分 式方程无解。 只解：山)由题意，知原方程可化为子}0， 故答案为￥-1=0. (2)设)品，则原方程化为)}0，方程两边 同时乘y,得y2-1=0,解得y=±1，经检验，y=±1都是 方程y}=0的解，当)1时，品1，该方程无解： 当=1时，2山，解得子经检验，弓是 原分式方程的解，：原分式方程的解为弓 (3)设， 1=b,则原方程组可化为 a+b=3, 2a+3b=7, 解得 a=2,x=0.5, b=1,y=1. (4原方程化为+20，设)=，则原方 x+2x-1 x+2 程化为y}-0,方程两边同时乘y、得y2-0,解得 =±1，经检验，y=1都是方程y=0的解.当y=1 时，山，该方程无解：当)=1时，品山，解 得x=子经检验，x是原分式方程的解，原分 式方程的解为x=子 10.A11.B12.A13.C 14.解：原方程两边同乘以2(4+x),得2(3-x)= 4+x, 去括号，得6-2=4+x, 移项，得-2x-=4-6, 合并同类项，得-3=-2， 系数化为1，得=了， 2 经检验，=3 是分式方程的解， 、方程的解为=分 2 70 参考答案 18.5分式方程（第二课时) :25m4+20m+5)s60.m≤50-.1g0-1g 459 【知识点1】1.A2.C 又m为整数， 【知识点2】1.A2.D .m=11,则该游客最多购买11个A种挂件. 【例1】2.431=2 解析：设乙单 第十三章作业 3 一、选择题 独清点这批图书需要xh,根据题意，得 1.D2.D3.D4.B5.B6.C7.A8.A 2, 2.43.1 9.C10.C 3 答案为24享，1号 二、填空题 3 11.75°12.1813.20°14.70°15.65 【例2】A解析：2023年芜湖至北京的 三、解答题 G44次列车平均提速vkm/h,且设提速前G44次 16.解：(1)根据三角形的三边关系定理，可得 列车的平均速度为xkm/h,.提速后G44次列车 5-2<c<5+2,即3<c<7 的平均速度为(x+w)km/h. (2)三角形的周长是奇数，.c=4或6. 根据题意，得3=s+50.故选A (3)第三边c为奇数，∴.c=5.a=2,b=5, xX+20 △ABC为等腰三角形. 1.A2.D3.40-35 x x-2 17.解：(1)∠B=2∠A,∠C=∠A+40°，又 4.101+1 ∠A+∠B+∠C=180°，.∠A+2∠A+∠A+40°=180°，.∴. 龙+8/l ∠A=35°. 5.解：设小林跑步的平均速度为xms,则小吉的 (2).∠A=90°，..∠B+∠C=90°..∠B-∠C=20°， 平均速度为1.25xms, ∴.∠C=35°. 由题意，得800-800=40，解得=4， 18.解：(1)图中共有3个三角形，分别是 x1.25x △ACD,△BCD,△ABC. 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意。 答：小林跑步的平均速度为4ms. (2)∠ACD=3∠ACB,∴∠ACB=2LACD, 6.解：设机器人A每小时搬运xkg化工原料，则 ∠ACD=45°，∠B=35°，∴.∠ACB=2×45°=90°，.∠A= 机器人B每小时搬运(x+20)kg化工原料 180°-∠ACB-∠B=180°-90°-35°=55. 根据题，得0-受，解得一0， 19.解：(1)∠A与∠B互为“友爱角”，且 经检验，=80是所列方程的解，且符合题意， ∠A∠B∠B=3∠A,∠A-2∠B,在△ABc中， .x+20=80+20=100(kg). ∠ACB=90°，.∠A+∠B=90°，2∠B+∠B=90°， 答：机器人A每小时搬运80kg化工原料，机器 ∠B=30°，∴.∠A=2∠B=60°. 人B每小时搬运100kg化工原料. (2)△ACD,△BCD都是“友爱三角形”，理由如 7.D8.A9.D 下：CD⊥AB,.∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD 10.解：(1)由题意，设每个A种挂件的价格为 中，∠A-60,∠ACD-0-∠A=30,∠ACD∠A, x元，则每个B种挂件的价格为号x元， .∠ACD与∠A互为“友爱角”，△ACD是“友爱三 300_200+7.x=25. 角形”.在Rt△BCD中，∠B=30°，.∠BCD=90°-∠B= 60P,∠B=号∠BCD,∠BCD与∠B互为“友爱 经检验x=25是原方程的根. 角”，.△BCD是“友爱三角形” 答：每个A种挂件的价格为25元. 20.(1)证明：：∠ABC的平分线交AC于点D, (2)由题意，设该游客购买m个A种挂件， ∠ABF的平分线交CA的延长线于点E,∠ABD= 则购买(m+5)个B种挂件， 又结合(1)每个A种挂件的价格为25元，每个 ∠ABC,∠ABE=∠ABR,∠ABGC+∠ABF=I80, 2 B种挂件的价格为4×25=20元， 5 ∠ABD+∠ABE(LABC+∠ABF)-90,即BDLRE.