广东广州市第六中学2027届高三9月第二周限时训练数学试题

**基本信息** 融合菲尔兹奖成果、新能源汽车调查等时代情境，梯度设计覆盖函数、几何、概率等高三核心知识，适配周测对数学眼光、思维与语言的综合训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、向量、立体几何等|第7题以菲尔兹奖得主研究为情境考查函数估值，第9题结合新能源汽车调查考统计分析| |填空题|3题/15分|函数单调性、排列组合等|13题节目排序问题考查逻辑推理，14题平面四边形面积结合整数条件考几何直观| |解答题|5题/77分|数列、立体几何、函数、椭圆、概率|19题拓展几何分布期望计算，体现数学思维；18题椭圆综合题考查解析几何应用，适配高考命题趋势|

广州六中2027届高三数学九月第二周限时训练 命题人：亢鸿玮 试卷共4页，满分150分，训练用时120分钟。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知，则 A． B． C． D． 2．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是 A． B． C． D． 3．设是向量，则“”是“或”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知抛物线上的点到抛物线焦点的距离为，则 A． B． C． D． 5．已知正四棱台上、下底面的边长分别是、，侧棱长为，则其体积为 A． B． C． D． 6．已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，荣获2026年菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：（），则下列各数中与最接近的是 （参考数据：，） A． B． C． D． 8．已知数列的首项为，从第项起，每一项减其前一项的差为或，记的前项和为，则使一定成立的正整数的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域无关 D．从所调查消费者中随机选一人，在其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 10．在中，，，，为直线上一点，，则 A．为钝角 B． C． D． 11．已知圆（），则 A．圆心在曲线上 B．存在两个不同的实数，使得圆过点 C．存在四个不同的实数，使得圆与直线相切 D．存在两个不同的实数，使得直线平分圆的面积 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为__________． 13．某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，则该台晚会节目演出排序的编排方式共有__________种． 14．在平面四边形中，，，，与均是正整数且，则四边形的面积的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）记，证明：． 16．（15分）如图，一张边长为的正方形纸片，为的中点，现沿将 折起至，使得． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正 弦值． 17．（15分）已知函数． （1）讨论在上的单调性； （2）证明：当时，； （3）设，点关于直线对称的点在曲线上，证明： ． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点，是的右焦点，为坐标原点． （1）求的方程； （2）设点，过点的直线与交于两点（点在第二象限），直线分别与交于另一点． （i）当两点重合时，求直线的方程； （ii）当两点不重合时，设直线与轴的交点为，求面积的最大值． 19．（17分）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布． （1）对于正整数，求，并根据，求； （2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为． （i）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求； （ii）记首次出现连续次成功而试验停止时，试验过程中失败的次数为，求随机变量的分布列及期望，并根据（i）的结论，写出与的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $