拓展1 双变量问题的求解策略 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦双变量问题求解策略，依据高考评价体系梳理了直接消元、分离变量、比值消元及极值点偏移等核心方法，通过分析近五年导数压轴题考点分布明确极值点偏移占比达35%的高频考点，归纳出证明不等式、比较大小等常考题型，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“方法拆解+真题演练+素养渗透”，如以极值点偏移问题为例，详解构造函数F(x)=f(x)-f(2x₀-x)的证明步骤，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置易错点分析（如换元后新元范围忽略）和答题模板，助力学生掌握减元技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升冲刺效率。

拓展1 双变量问题的求解策略 1 1.一般地，解决双变量问题的常见方法有分离变量法（构造法）、 换元法、主元法等，最终目的就是要进行减元. 2.极值点偏移 （1）极值点偏移的定义：函数在区间 内只有一个极 值点，方程的解分别为,，且 .①若 ，则函数在区间上的极值点 向左偏移，简称 极值点左偏移；②若，则函数在区间 上的极 值点向右偏移，简称极值点 右偏移. 2 （2）极值点偏移的图示及应用 若“单峰”函数的极值点为 ，则极值点偏移问题的图示及 函数值的大小关系（可用于证明方程或不等式）如下. 极值点 函数值的大小关系 图示 极值点不偏移 极值点 偏移 左偏移 峰口向上： 3 极值点 函数值的大小关系 图示 极值点 偏移 左偏移 峰口向下： 右偏移 峰口向上： 峰口向下： 续表 4 方法一 直接消元 例1 已知 . （1）若，求曲线在点 处的切线方程； 解：当时，，可得 ， ,则 ， 所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 . 5 （2）若函数存在两个不同的极值点， ，求证： . 证明： ，令，得， 令，则 ，方程①可化为， 则, 是方程②的两个不同的正根， 所以解得 . 6 由根与系数的关系得, ， 则 ， 所以 . 令，则 ， 所以函数在 上单调递减， 所以 ，所以 . 方法总结 若能获得两个变量之间的关系，或能用一个变量表示另一个变量， 则可进行直接消元. 方法二 分离变量法 例2 已知函数，其中 . （1）求 的单调区间； 9 解：的定义域为，且 . 令，得 . 当变化时，与 的变化情况如表所示. - - 0 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 和 . 10 （2）当且时，判断与 的大小， 并说明理由. 解：令，则 . 设，，则 . 所以当时，；当时， . 所以在上单调递减，在 上单调递增. 从而，即 ， 所以的单调递增区间为和 . 11 可得当时，， 则 ，即 ； 当时，， 则 ，即 . 综上，当且时， . 方法总结 本题将与之间的关系转化为 与 之间的关系，这使得变量与 分别出现在不等式的两边， 呈现出不等式左右两边形式一致的对称关系，然后构造相应的函数， 如本题构造 ，通过讨论所构造函数的单调性得到结 论.这种方法常见于两个变量之间不存在直接关系的题型中. 13 方法三 比值（或差值）消元 例3 已知函数， . （1）若函数在上单调递增，求 的取值范围； 解：因为， ，所以， . 因为函数在上单调递增,所以 , 恒成立, 所以， 恒成立. 当时,因为,当且仅当 时取等号, 所以 ,即实数的取值范围为 . 14 （2）设，求证： . 证明：设，则不等式可化为， ， 两边取自然对数得，即， . 由（1）可知，当时，在 上单调递增， 又 ，所以当时，，即 成立， 所以原不等式成立. 15 方法总结 若待证明的代数式中的两个变量最终可整理为比值（或差值，也可 能是和或积）的形式，则可进行整体换元，换元后要注意新元的取 值范围. 16 方法四 极值点偏移 例4 已知函数,其导函数 的最大值为0. （1）求实数 的值； 解：由题意知，函数的定义域为 ， 其导函数 ， 记，则 . 当时，恒成立，所以在 上单调递增， 又 ，所以当时，， 故 时不符合题意. 17 当时，若，则； 若 ，则 . 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以 . 令，则 . 当时，；当时，. 所以在 上单调递减，在 上单调递增， 所以，故 . （2）若，证明： . 证明：当时，，则 . 由（1）知 恒成立， 所以在 上单调递减. 因为，所以 ， 不妨设，则易得 . 欲证，只需证， 因为在 上单调递减，所以只需证， 又因为 ， 所以只需证，即证 . 19 令，易得 ， 所以欲证，只需证, . , ， 令，则， ， 所以在区间 上单调递增， 所以 ， 所以函数在区间 上单调递减， 所以，故 . 方法总结 求解极值点偏移问题的一般步骤： （1）求极值点：利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确 定函数的极值点 . （2）构造函数：如要证结论 ，则可以构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式. （3）比较大小：判断在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系. （4）转化：利用函数的单调性，将与 的大小关 系转化为与 之间的关系，进而得到所证或所求. 21 方法一 例1（1）<m></m> （2）证明略 方法二 例2（1） 单调递增区间为<m></m>, 单调递减区间为<m></m>和<m></m> （2）m></m>.理由略 方法三 例3（1）<m></m> （2）证明略 方法四 例4（1）1 （2）证明略 22 $