03-第17讲 导数与函数的极值、最值课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值、最值”专题，依据课标要求梳理了极值判定条件、参数求解、闭区间最值三大核心考点，通过高考真题分析明确极值点判断、分类讨论求最值等高频题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题实战+易错突破+思维建模”，如以2024新课标Ⅱ卷函数极值题为例，详解“导数符号分析+极值条件验证”步骤，培养学生的数学思维与模型意识。含易错点辨析和解题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

第17讲 导数与函数的极值、最值 1 【课标要求】 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值；对于多项 式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值. 3.体会导数在研究单调性、极大（小）值、最大（小）值中的作用. 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.函数的极值与导数 （1）函数的极小值： 对于函数,若函数在点处的函数值 比它在 点附近其他点处的函数值都小,,而且在点 附近的 左侧__________,右侧__________,则___叫作函数 的极小值 点,_____叫作函数 的极小值. 课 前 基 础 巩 固 3 （2）函数的极大值： 对于函数,若函数在点处的函数值 比它在 点附近其他点处的函数值都大,,而且在点 附近的 左侧__________,右侧__________,则___叫作函数 的极大值 点,_______叫作函数 的极大值. 课 前 基 础 巩 固 4 2.函数的最大值与最小值 （1）如果在区间上函数 的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间 上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数在区间 内的______; ②将函数 的各极值与端点处的函数值__________比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 极值 , 3.实际应用题 理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果 回答实际问题. 课 前 基 础 巩 固 5 4.几个常见函数#4 解析式 大致图象 单调区间 极值点 单调递增区间为 ； 单调递减区间为 单调递增区间为 ； 单调递减区间为, 单调递增区间为 ； 单调递减区间为 单调递增区间为 ； 单调递减区间为 课 前 基 础 巩 固 6 解析式 大致图象 单调区间 极值点 单调递增区间为 ； 单调递减区间为, 单调递增区间为 ； 单调递减区间为 续表 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.对于可导函数，是函数在 处有极值的必 要不充分条件. 2.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间 内只 有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 3.对于连续的函数，在区间上， 的极值有可能 是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值.#4.1.1.3 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 课前演练 ◆ 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数在区间 上不存在最值.( ) × [解析] 在区间 上的最小值为0，故错误. （2）对于可导函数，若，则为 的极值点.( ) × [解析] 若，则，则 ，但0不是 的极值点，故错误. 课 前 基 础 巩 固 9 （3）函数 一定有极大值和极小值.( ) × [解析] ， 不存在极大值和极小值，故错误. （4）函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.( ) √ [解析] 由极值与最值的定义可知正确. 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 教材改编 1.函数 的极大值为( ) A. B.0 C. D.1 [解析] 由题可得， 令，得 ，令，得， 所以当时，函数 取得极大值 .故选D. √ 课 前 基 础 巩 固 11 2.若函数在处取得极值1，则 ( ) A. B. C. D.2 [解析] 因为，所以 ， 由题可知解得 经检验满足题意， 所以 ，故选D. √ 课 前 基 础 巩 固 12 3.函数的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A.在 处取得最大值 B.在区间 上单调递减 C.在 处取得极大值 D.在区间 上有2个极大值点 √ 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 由导函数的图象可知： 0 - 0 非负 极大值 极小值 易知A，B，D中说法不正确，C中说法正确. 故选C. 课 前 基 础 巩 固 4.函数在上的最大值为4，则 的值为 ( ) A.7 B. C.3 D.4 [解析] ，， 当时，， 单调递减， 当时，，单调递增. ，，， 在 处取得最大值，即 ，故选D. √ 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 利用导数解决函数的极值问题 题型1 由图象判断函数极值（点） 例1 已知函数的导函数的图象如图所示，那么 ( ) A.有1个极大值和1个极小值 B.有1个极大值，没有极小值 C.有1个极小值，没有极大值 D.没有极大值也没有极小值 √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 由导函数的图象，设的图象与 轴的交点的横坐标分别为, ， 则当时，当且仅当 时 ，当时，， 所以 在上单调递减，在上单调递增， 所以在 处取得极小值，没有极大值.故选C. 课 堂 考 点 探 究 17 题型2 求已知函数的极值（点） 例2 已知函数的图象在点 处的切线 方程为 . （1）求实数 的值； 解：由题得，则， 又 ,所以函数的图象在点处的切线方程为 ，即，所以， 解得，故实数 的值为1. 课 堂 考 点 探 究 18 （2）当时，求函数 的极值. 解：由（1）可知， ， 当时，令，得或 ， 当变化时，和 的变化情况如下表： [ ) ( ] 0 - 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 课 堂 考 点 探 究 19 所以当时， 的极大值为 ， 极小值为 . 课 堂 考 点 探 究 20 题型3 已知极值（点）求参数 例3（1）已知函数有极值点，则实数 的取值范 围为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 易知， 因为函数 有极值点，所以在上存在 变号零点， 若 的图象的对称轴方程，即，则在 上 单调递增，则，不符合题意； 若 的图象的对称轴方程，即， 则，即 ，得， 则实数的取值范围为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 22 （2）[2025· 全国二卷] 若是函数 的极值点，则 ____. [解析] 因为 ， 所以， 由题意知 ，即，所以， 所以 , . 课 堂 考 点 探 究 23 当变化时，， 的变化情况如下表： 2 0 - 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故当时，为的极值点，满足题意，所以 . 课 堂 考 点 探 究 24 例4 [2024· 新课标Ⅱ卷] 已知函数 . （1）当时，求曲线在点 处的切线方程； 解：当时，， ， 所以, ， 所以切线方程为,即 课 堂 考 点 探 究 25 （2）若有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围. 解： . ①当时,恒大于0，即在上单调递增， 无极小值， 舍去. ②当时，在上单调递减，在 上单调递 增，所以在 处取得极小值， 依题有,所以 . 令,则在上单调递增，且 ， 所以，故的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 26 总结反思 1.由图象判断函数 的极值，要抓住两点： （1）由的图象与轴的交点,可得函数 的可能极值点； （2）由导函数的图象可以看出 的值的正负，从而 可得函数 的单调性.两者结合可得极值点. 2.运用导数求函数 极值（极值点个数）的一般步骤： （1）确定函数 的定义域; （2）求导函数 ; （3）解方程 ,求出函数定义域内的所有根; 课 堂 考 点 探 究 27 （4）检验在的根 左右两侧值的符号; （5）求出极值（极值点个数）. 3.根据函数极值情况求参数的两个要领： （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利 用待定系数法求解. （2）验证：求解后验证根的合理性. 课 堂 考 点 探 究 28 【对点演练1】（1）设函数在 上可导，其导 函数为，且函数 的图象如图 所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.有极大值 B.有极小值 C.有极大值 D.有极小值 √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 由题图知当时， ； 当时，； 当 时，， 函数在 上单调递增，在上 单调递减，在 上单调递减， 有极大值 ，无极小值，故选A. 课 堂 考 点 探 究 30 （2）[2025·山东潍坊调研]已知函数在 处 取得极值，则 ( ) A. B. C.5 D.9 [解析] 由，得 ， 因为在处取得极值，所以 解得经检验满足题意，故 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 （3）已知函数 . ①当时，求 的单调区间； 解：当时，，其定义域为 ，且 ， 令，解得或 （舍去），即， 当时， ；当时， ， 所以 的单调递增区间为，单调递减区间为 . 课 堂 考 点 探 究 32 ②讨论 极值点的个数. 解：的定义域为，由题意知， . 当时，，所以在上单调递增，即 极值点的个数为0； 当时，令， ，可得， 易知 ，解得（舍去），， 即，则 ， 所以当时，，即在 上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即 极值点的个数为1. 综上，当时, 极值点的个数为0；当时, 极值点的个数为1. 课 堂 考 点 探 究 33 探究点二 利用导数求解函数的最值问题 例5 已知函数 . （1）若，求函数 的单调区间和最值； 解：由题意得，的定义域为， 若 ，则,. 当时， ，当时，， 所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为， 函数的最大值为 ，无最小值. 课 堂 考 点 探 究 34 （2）当时，求函数在 上的最小值. 解：由题意得，的定义域为， . 令，解得 . 当时， ，当时， ， 则的单调递增区间为，单调递减区间为 . ①当，即时，在 上单调递减， 则 . 课 堂 考 点 探 究 35 ②当，即时，在 上单调递增， 则 . ③当，即时，在上单调递增， 在 上单调递减，则, . ， ， 当，即时， ； 当，即时， . 综上所述，当时，；当 时， 课 堂 考 点 探 究 36 总结反思 求函数最值的步骤: （1）求函数的导函数 ; （2）求 在给定区间上的单调性和极值; （3）求 在给定区间上的端点值; （4）将的各极值与的端点值进行比较,确定 的最大值与 最小值. 课 堂 考 点 探 究 37 【对点演练2】 [2026·山东青岛期中] 已知函数 . （1）若，求 的单调区间； 解：当时， ，， 令，解得或 . 当变化时，和 的变化情况如表所示： 0 4 0 - 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调递增区间为， ，单调递减区间为 . 课 堂 考 点 探 究 38 （2）求在区间 上的最大值. 解：， 令，解得 或 . 当时，若，则，所以在区间 上单调递 增，此时 ； 当时，若，则，所以 在区间 上单调递增， 若，则，所以在区间 上单调递减， 此时 ； 课 堂 考 点 探 究 39 当时，若，则，所以在区间 上单调递减，此时 . 综上所述，当时， ； 当时，； 当 时， . 课 堂 考 点 探 究 $