第3章 第3讲 导数与函数的极值、最值（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值、最值”专题，依据课标要求梳理了极值的必要与充分条件、用导数求极值及闭区间最值等核心考点，对接高考评价体系分析其必考地位，归纳出图像判断极值、参数分类讨论等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题深度融入与应试技巧系统指导，如结合2023新课标Ⅱ卷、2025全国二卷真题，通过“图像分析—导数计算—极值判断”三步法培养逻辑推理和数学运算素养，总结求极值步骤、已知极值点求参数验证等规律，帮助学生掌握分类讨论等得分技巧，教师可据此精准把握考点权重，实现高效复习教学。

第3讲　导数与函数的极值、最值 第三章　导数及其应用 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 大 小 大 小 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 f(a) f(b) f(a) f(b) 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 √ √ × √ √ 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　导数及其应用 1 课标要求 考情分析 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值． 考点考法：高考命题以考查函数的极值、最值的概念，求函数的极值、最值为重点内容，常常需要对参数分类讨论，是每年的必考内容，三种题型都可能出现，题目难度较大． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．函数的极值 条件 函数y＝f(x)在包含x0的一个区间(a，b)内 在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在任何不为x0的一点处的函数值都大于x0处的函数值 图象 极值 f(x0)为极______值 f(x0)为极______值 极值点 x0为极______值点 x0为极______值点 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则_________为函数的最小值，_________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则_________为函数的最大值，_________为函数的最小值． (3)函数的最大值和最小值统称为最值． [微提醒]　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值． 1．若函数f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)在(a，b)上无极值． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (2)闭区间上的连续函数必有最值．(　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (5)设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在区间(a，b)内不单调．(　　) 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个． 答案　A 3．(北师大版选修二P84习题第5题改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 解析　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.故选B. 答案　B 4．(北师大版选修二P81例3改编)函数f(x)＝x3－12x的极小值为________，极大值为________． 解析　由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.则f′(x)，f(x)随x的变化情况如表所示． x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值16，函数f(x)在x＝2处取得极小值－16. 答案　－16　16 5．(北师大版选修二P84习题B组第1题改编)若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________． 解析　∵f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值， ∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意． 答案　－e2 考点一　利用导数求解函数极值问题　多维探究　发散思维 角度1　根据函数图象判断极值 (多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的是(　　) A．f(x)在[－2，－1]上单调递增 B．当x＝－1时，f(x)取得极小值 C．f(x)在(－1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减 D．当x＝3时，f(x)取得极小值 [解析]　由题图知，当x∈[－2，－1]时，f′(x)≤0恒成立，即f(x) 在[－2，－1] 上单调递减，A项错误；又当x∈(－1，2)时，f′(x)>0恒成立，即f(x) 在(－1，2)上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，B项正确；当x∈(2，4)时，f′(x)<0恒成立，即f(x)在(2，4)上单调递减，x＝3不是f(x)的极值点，C项正确，D项错误．故选BC. [答案]　BC 由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 角度2　求已知函数的极值 已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值． [解析]　因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x， 所以f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋4ax＋2a＋2＝， 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0， 故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减； 故f(x)在x＝－处取得唯一的极大值， 且极大值为f＝ln －－1. 若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值． 综上，当a<0时，f(x)的极大值为ln －－1，无极小值； 当a>0时，f(x)无极值． 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)检查在方程的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值． 角度3　已知极值(点)求参数(考教衔接) 高考真题 1．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝a ln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0 解析　因为函数f(x)＝a ln x＋＋(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选BCD. 答案　BCD 2．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________． 解析　由题意有f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)， 所以f′(x)＝(x－a)(x－1)＋(x－1)(x－2)＋(x－a)(x－2)， 因为2是函数f(x)极值点，所以f′(2)＝2－a＝0，得a＝2， 当a＝2时，f′(x)＝2(x－2)(x－1)＋(x－2)2＝(x－2)(3x－4)， 当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极小值点，符合题意； 所以f(0)＝－1×(－2)×(－a)＝－2a＝－4. 答案　－4 教材溯源 (北师大版选修二P84习题A组第3题改编)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值． 解析　函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意可得f′(2)＝0，可得12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6，当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，由x>2或x<，得f′(x)>0，f(x)单调递增；由<x<2，得f′(x)<0，f(x)单调递减，可得x＝2为极小值点，与题意不符；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，由x>6或x<2，得f′(x)>0，f(x)单调递增；由2<x<6，得f′(x)<0，f(x)单调递减，可得x＝2为极大值点．综上可得c＝6. 预测高考 已知函数f(x)＝a ln x＋－x.若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围． 解析　由f′(x)＝－－1，又f′(1)＝0， 则a－b－1＝0，则a＝b＋1， 则f′(x)＝－－1＝. (1)若b>1，令f′(x)>0，则1<x<b；令f′(x)<0，则x>b或0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，(1，b)上单调递增，(b，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极小值点，符合题意； (2)若b＝1，则f′(x)＝－≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极小值； (3)若0<b<1，令f′(x)>0，则b<x<1；令f′(x)<0，则0<x<b或x>1，所以f(x)在(0，b)上单调递减，(b，1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极大值点，与题意不符； (4)若b≤0，令f′(x)>0，则0<x<1；令f′(x)<0，则x>1，所以f(x)在(0，1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极大值点，与题意不符； 综上可得，b的取值范围为(1，＋∞). 1．已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 2．已知极值点的个数求参数范围 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，可转化为y＝f′(x)在(a，b)内有变号零点，若y＝f′(x)易求其零点x0，则a<x0<b；若y＝f′(x)不易求零点，则转化为函数f′(x)在(a，b)内有变号零点问题，利用函数与方程思想求解． 1．(多选)曲线f(x)＝a(x＋1)ex在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＝x＋b，则下列说法正确的是(　　) A．a＝1，b＝ B．f(x)的极大值为 C．f(x)的极小值为－ D．f(x)不存在极值 解析　对于A，依题意，f′(x)＝aex＋a(x＋1)ex＝(ax＋2a)ex，f′(－1)＝ae-1＝，解得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)ex，f′(x)＝(x＋2)ex.又f(－1)＝0，所以×(－1)＋b＝0，所以b＝，所以A正确． 对于B，C，D，令f′(x)＝0，解得x＝－2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．所以当x＝－2时，函数f(x)取极小值，极小值为f(－2)＝－，f(x)的极大值不存在．所以B，D错误，C正确．故选AC. 答案　AC 2．若函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)有极值，则实数a的取值范围是________． 解析　∵f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)， ∴f′(x)＝＋x－a， ∵函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)有极值， ∴y＝f′(x)有变号零点． 令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x. 设g(x)＝＋x，则g(x)在(0，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝2， ∴a＞2，即实数a的取值范围是(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 考点二　利用导数求函数的最值　多维探究　发散思维 角度1　求已知函数的最值 函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 [解析]　f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0，2π]. 令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝. 因为f＝cos ＋sin ＋1＝2＋， f＝cos ＋sin ＋1＝－， 又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2， f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2， 所以f(x)max＝f＝2＋，f(x)min＝f＝－.故选D. [答案]　D 角度2　由函数的最值求参数 已知函数f(x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)上存在最小值，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，2) B． C． D．[－1，1) [解析]　由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2). 当f′(x)>0时，得x<0或x>2， 当f′(x)<0时，得0<x<2， 故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)， 单调递减区间为(0，2)， 即x＝2时，函数f(x)取得极小值f(2)＝－1， 画出f(x)的图象如图． 当x3－3x2＋3＝－1时，(x＋1)(x－2)2＝0，解得x＝－1或x＝2， 故要使函数f(x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)上存在最小值， 需有解得－1≤a<2，即实数a的取值范围为[－1，2). [答案]　A 1．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 2．若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 3．(2025·海安高级中学段测)在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点(0，1)，则(　　) A．函数y＝f(x)＋x的最小值为1 B．函数y＝的最小值为1 C．函数y＝f(x)·ex的最小值为1 D．函数y＝的最小值为1 解析　由题图可知，f(x)>0，f′(x)≥0或f(x)≥0，f′(x)>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因此题图中实线为y＝f(x)的图象，虚线为y＝f′(x)的图象，f(0)＝f′(0)＝1. 对于A，y′＝f′(x)＋1>1，y＝f(x)＋x在R上单调递增，无最小值，所以A错误； 对于B，y′＝，由题图知，当x<0时，f′(x)－f(x)>0，当x>0时，f′(x)－f(x)<0，因此函数y＝在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 当x＝0时，函数取得最大值，且最大值为＝1，所以B错误； 对于C，y′＝ex，由题图知f(x)＋f′(x)>0，函数y＝f(x)·ex在R上单调递增，无最小值，所以C错误； 对于D，y′＝，y′|x＝0＝＝0， 由题图知，当x<0时，f(x)－f′(x)<0，当x>0时，f(x)－f′(x)>0，函数y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，因此当x＝0时，函数取得最小值，且最小值为＝1，所以D正确，故选D. 答案　D 4．(2025·河北名校联考)已知函数f(x)＝ax－ln x的最小值为0，则a＝________． 解析　由f(x)＝ax－ln x，得f′(x)＝a－＝，x>0. 若a≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无最小值，则a>0， 则f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝1＋ln a＝0，解得a＝. 答案　 $