§5.3一元一次方程的应用之(1)工程问题课时练习2026--2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 本练习分层清晰，从基础选择到综合解答，覆盖工程问题核心模型，通过情境变式培养抽象能力与模型意识，实现知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（选择8题）|单一工程模型（合作/分工）|如双管注水问题，强化“工作效率×时间=总量”抽象建模| |巩固（填空5题）|情境变式应用（先做后合作）|如录入电子稿问题，训练多阶段工作量叠加运算能力| |提升（解答7题）|综合实践与拓展（报酬分配/项目式）|如广告牌制作工程，结合真实情境发展应用意识与推理能力|

【北师大版七年级数学（上）课时练习】 §5.4一元一次方程的应用之(1)工程问题 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）某室内装修工程，甲工程队单独完成要天，乙工程队单独完成要天．若乙工程队先单独工作天，剩下的由甲工程队单独完成，设完成这项工程一共用了天，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）挖一条长的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖，乙队每天挖，需要几天才能挖完？设需要天才能挖完，则由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，则完成该工程还需要（    ） A．3天 B．5天 C．8天 D．10天 7．（本题3分）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（  ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 8．（本题3分）2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）某地为了打造沿河景观带，将一段长为的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时天，已知甲工程队每天整治，乙工程队每天整治．设甲队整治了天，则可列方程为____________． 10．（本题3分）小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿，按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成．小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成？若设还需x小时完成，由题意，可列方程为：________________． 11．（本题3分）完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，直至完成这项工程．若设完成此项工程一共用x天，则可列方程__________________． 12．（本题3分）小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 13．（本题3分）某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 15．（本题8分）智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 16．（本题8分）课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 17．（本题8分）某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 18．（本题9分）为迎接东亚运动会我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲、乙两队合作一天，可完成总工作量的． (1)甲队一天可完成总工作量的_____； (2)乙队单独完成这项工程需要多少天? (3)已知每天需付甲队工程款与每天需付乙队工程款之比为．若该工程由甲队先做20天，再由甲、乙两队合作若干天全部完成，且完成此项工程需付甲乙两队的工程款共计360万元，求每天需付甲乙工程款各多少万元？ 19．（本题10分）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 20．（本题12分）【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版七年级数学（上）课时练习】 §5.4一元一次方程的应用之(1)工程问题 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ．故选:D 2．（本题3分）一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 解：把整个工程的工作总量看作单位1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得，．故选:D 3．（本题3分）一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 解：设剩下的部分还要完成， 由题意得，， 故选：C． 4．（本题3分）某室内装修工程，甲工程队单独完成要天，乙工程队单独完成要天．若乙工程队先单独工作天，剩下的由甲工程队单独完成，设完成这项工程一共用了天，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 解：总工作量为，乙工作效率为，甲工作效率为， 乙工作天，完成工作量， 甲工作天，完成工作量， 可得： ． 故选：B． 5．（本题3分）挖一条长的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖，乙队每天挖，需要几天才能挖完？设需要天才能挖完，则由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 解：设需要天才能挖完， 由题意可得：， 故选：A． 6．（本题3分）甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，则完成该工程还需要（  ） A．3天 B．5天 C．8天 D．10天 解：设还需要x天完成，依题意得： ， 解得：， ∴还需要3天完成， 故选：A． 7．（本题3分）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（  ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时．故选:C 8．（本题3分）2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 解：∵1人完成全部工作需要16小时， ∴1人1小时的工作效率为. 设先安排人工作， 则人先做1小时的工作量为 ， 增加1人后，人做2小时的工作量为 ， ∵两次工作量之和为总工作量的， ∴可得方程 ．故选:B 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）某地为了打造沿河景观带，将一段长为的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时天，已知甲工程队每天整治，乙工程队每天整治．设甲队整治了天，则可列方程为____________． 解：设甲队整治了天，则乙队整治了天． 甲队每天整治，故甲队整治长度为； 乙队每天整治，故乙队整治长度为； 根据总长度为，可列方程为． 10．（本题3分）小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿，按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成．小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成？若设还需x小时完成，由题意，可列方程为：________________． 解：将总工作量看作单位， ∴老师的工作效率为，小亮的工作效率为， ∴小亮先录入，完成的工作量为， ∴两人共同录入小时，完成的工作量为， ∴列方程得：． 11．（本题3分）完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，直至完成这项工程．若设完成此项工程一共用x天，则可列方程__________________． 解：甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，由总工作量为1，得方程． 故答案为：． 12．（本题3分）小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合作的工作效率为， 合作x天完成的工作量为， 根据题意，完成总工作量1， 故列方程为， 故答案为：． 13．（本题3分）某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 解：设预定小时完成任务，产品总数为个， ∵实际先加工2小时，已经完成个，提高速度后每小时加工个，结果提前1小时完成， ∴提高速度后加工的时间为小时， 根据产品总数量相等列方程：， 解得， ∴产品总数为个． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 解：设每小时加工产品10个时，总加工小时，则实际加工小时， ， 整理得，解得， （个）， 答：该产品一共有80个． 15．（本题8分）智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 解：设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟， 由题意得：， 解得， 答：机器人单独工作的时长为分钟． 16．（本题8分）课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ （1）解：补充：问两人合作需要几天完成？ 设两人合作需天完成， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天， ∴， 解得：， 答：两人合作需要天可完成． （2）解：设徒弟先做天后，师傅徒弟一起还要天能完成剩余工作量， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天 ∴， 解得：， ∴徒弟共完成总工作量的，报酬为（元）； 师傅完成总工作量的，报酬为（元）． 答：师傅徒弟每人均应得元． 17．（本题8分）某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． （1）解：设乙队还需要完成任务的天数为天， 根据题意得，， 解得． 答：乙队还需要完成任务的天数为5天． （2）解：根据题意得，甲队所得报酬为（万元）， 乙队所得报酬为（万元）． 答：甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元． 18．（本题9分）为迎接东亚运动会我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲、乙两队合作一天，可完成总工作量的． (1)甲队一天可完成总工作量的_____； (2)乙队单独完成这项工程需要多少天? (3)已知每天需付甲队工程款与每天需付乙队工程款之比为．若该工程由甲队先做20天，再由甲、乙两队合作若干天全部完成，且完成此项工程需付甲乙两队的工程款共计360万元，求每天需付甲乙工程款各多少万元？ （1）解：． 故答案为：． （2）解： ， 答：乙队单独完成这项工程需要90天． （3）解：设甲、乙两队合作了天， 根据题意得：，解得． 设每天需付甲乙工程款分别为万元、万元， 根据题意得： ， 解得， ∴，， 答：每天需付甲队工程款6万元；每天需付乙队工程款4万元． 19．（本题10分）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． （1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 20．（本题12分）【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． （1）解：设两人合作需要x天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：两人合作需要天完成． （2）解：设两人合作还需y天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 师傅的工作量为，徒弟的工作量为，因为师傅和徒弟的工作量相同，所以报酬也相同，每人应得元． 答：师傅和徒弟各得225元． （3）解：（问题不唯一） 如：师傅与徒弟先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 解：设徒弟还需m天完成，由题意得：. $