30.3 正多边形与圆-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 9.(1)证明：连接0E, OF,ON,OG,在矩形ABCD b-2=c,解得=+b-巴.故答案为+b-c 2 2 中，∠A=∠B=90°，CD=AB=4. AD,AB,BC分别与⊙0相切 1.D2.B3.A469°5.Y36.8 3 于E,F,G三点，∠AEO= 7.(1)证明：如图1，连接BECD=CD, ∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴. ∠DAC=∠DBC,:点E是△ABC的内心，AE平分 四边形AFOE,FBGO均是正方 第9题答图 形，AF=OF,BF=OF,∴AE=BF ∠BAC,BE平分LABC,LBAE=∠CAE=号∠BAC, (2)解：：四边形AFOE是正方形，∴AE=OF=2. AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3.DM,AD,BM是⊙O的 ∠CBE=-∠ABE=号∠ABC,ZDBC=∠DAC,∠BAE 切线，.DN=DE=3,MN=MG,.CM=5-2-MW=3-MN ∠DBC,:∠BED是△ABE的一个外角，.∠BED= 在Rt△DMC中，根据勾股定理，得DMP=CD+CMP,. ∠ABE+∠BAE,'∠DBE=∠DBC+∠CBE,.∠DBE= 3+w广-(3-w4,M:号，DM=3+号-号 ∠DEB,.DE=DB. 33 10.50° 11.(1)证明：PA与⊙0相切于点A,.0A⊥ PA.PO平分∠APD,OB⊥PD,.OA=OB,.PB是 ⊙0的切线. (2)解：⊙0的半径为4，.0A=0B=4.0B1 PD,OC=5,.根据勾股定理，得BC=VOC-OB=3, AC=0A+0C=4+5=9,由(1)可知，PB是⊙0的切线， D D :PA与⊙0相切于点A,PA=PB,.设PA=PB=x,则 图1 图2 PC=x+3.在Rt△PAC中，∠A=90°，由勾股定理，得 第7题答图 PA+AC=PC,即x2+92=(x+3)2,解得=12.AP-12. (2)解：如图2，∠CBD=32°，连接BE,CE.由 30.2三角形的内切圆 (1)知∠DAC=∠CBD=32°，∴.∠BAC=2∠CAD=2×32°= 【知识点1】如图所示，点0即为所求 64°，在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-64°=116°，： 点E是△ABC的内心，.CE平分∠ACB,BE平分 ∠ABC,LBCE=LACE=LACB,∠CBE=LABB= ∠ABC,在△BCE中，∠BEC-I80P-∠CBE-∠BCE- 知识点1答图 I80P-7∠ABC2∠ACB=I80-7(LABC+LACB)= 【知识点2】相切三角形三条角平分线 180°-2×1162=12 圆的外切三角形 8.29.4 【例】解：(1)'△ABG的内切圆⊙0与 10.(1)证明：AB为直径，∠ACB=90°，：点 BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,∴点O是 P是△ABC的内心，.∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP= △ABC的内心.故答案为内. ∠EBP,.∠ABD=∠ACD=45°，.·∠DPB=∠BCP+ (2)△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB ∠CBP=45°+∠CBP.∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+ 分别相切于点D,E,F,AB=9,BC=14,CA= ∠EBP,.∠DPB=∠DBP,.BD=DP 13,AE=AF,BF=BD,CE=CD,设AF=x,则 (2)解：连接AD,过点B AE=AF=x,..BD=BF=AB-AF=9-x,CD=CE=AC- 作BH⊥CD于点H,如图所示. AE=13-x,.BC=BD+CD=9-x+13-x=14,解得x= AB是直径，∠ABD=45°， 4,.BF=9-x=5 .AB=6V2,△ABD是等腰直 B (3)如图，△ABC的 角三角形，：BD=2AB= 内切圆⊙O与BC,CA,AB 2 分别相切于点D,E,F连 V2x6V2=6.LBCD=45, 接OD,OE,OF,4E 2 第10题答图 AF,BF =BD,CE =CD. BH⊥CD,∴.∠BCH=∠CBH=45°，∴.BH=CH,BC= ∠OFB=∠ODB=90°.设⊙O 例题答图 V2 BH,.BD2=DH2+BH2,:36=(8-BH)2+BIP,.BH= 半径为r,则OD=OF=r,'∠B=∠OFB=∠ODB= 4+V2,.BC>AC,..BC=4V2+2. 90°，∴.四边形ODBF为矩形，又OD=OF,∴.四 11.48 边形ODBF为正方形，BD=BF=T,AE=AF=a 30.3正多边形与圆 r,CE=CD=b-r,.∴AC=AE+CE=a-r+b-r=c,.∴a+ 【知识点1】圆心半径圆心角距离 68 参考答案 360°1.B2.A 再有游客排队检票 (3)根据题意，开放n个检票窗口时，排队检票 【知识点2】半径R为半径半径为R 人数o与开园时间x之间的函数关系式为o=-?+ 正方形六 120x+160-14nx,整理，得w=-[x-(60-7n)2+(60-7n)2+ 【例】解：(1)如图所 160..该二次函数的对称轴为直线x=60-7m.由条件， 示，在弧CD上取一点P,连 可知60-7m≤15.解得m≥钙n的最小值为7， 接BP,AP,FP,FO,:六 B 边形ABCDEF是正六边形， 2.解：(1)∠A<∠B.证明如下：如图1，设AC 与⊙O交于点E,连接DE,则∠CED=∠B,∠CED= AF=AB,∠A0F=360 ∠A+∠ADE,∠CED>∠A,.∠B>∠A. 6 (2)将球传给乙，让乙射门好.理由如下：如图 0,∠APf=号∠A0F= 例题答图 2,连接AC,AD,BC,BD,同(1)理，得∠B>∠A, 球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进，将 30°，AF=AB,AB=AF,∴∠APB=∠APF 球传给乙，让乙射门好 30°，∴.∠BPF=∠APB+∠APF=60°. (2)①∠A0F=60°，A0=F0,.△A0F是 A -- 等边三角形，∴，∠DAF=60°. ②.：∠DAF60,∠ADF∠APF30P,∴LAFD 180°-∠DAF-∠DAF=90°，在Rt△AFD中，根据 勾股定理AD2AFP+FD,AD=2AF,DFV3AF, D Saw=号AF-0FAF2=2V万，4F=2. 图1 图2 2 (3)设经过A,B,M三 40=AF=2,即⊙0的半径为2 点的圆的圆心为O,如图3， 1.B2.B3.A4.12V35.18V36.729 过点O作AB的垂线，分别 7.解：(1)如图，正方形MNPQ为所作. 交AB,DP于点E,F,则 (2):四边形MNPQ为正方形，∴.∠MON=90°， AE=BE=4m,∠AOB= .根据勾股定理，得MN=VOMP+ON严=V4+4平= 2∠AMB=60°，又·.：OA=OB」 4V2.故答案为4V2. .△OAB是等边三角形， C .OM=OA=AB=8m,.EF⊥ 图3 六0 AB,∠C=90°，EF∥CQ, 第2题答图 .∠OFM=∠FDQ=45°，DP与⊙0相切，.OM⊥DP .∠MFO=∠MOF=45°，.MF=OM=8m,过点F作FHL CQ于点H,则FH=4+11=15(m),.DF=V2FH= 15V2(m),:DM=DF-MF=(15V2-8)(m). 第二十五章作业 1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.D8.D 9.B10.B 第7题答图 第8题答图 8.解：(1)90° 11.x=V3,x=-V312.113.9 (2)如图，过点F作FH⊥AE,H为垂足.六边 14.±V515.(x+7)x=300 形ABCDEF是正六边形，⊙0的半径为2cm,AF= 16.解：(1)a=1,b=-1,c=-1,△=(-1)2-4× EF=2cm,∠AFE=-120°，.∴.∠FAE=∠FEA=30°，..FH= 1 cm,.AH=VAF2-FIP=V3 cm...AE=2V3 cm. 1x-D5>0,=y5,1=+y5, 2 P是ED的中点，.EP=1cm,由(1)知∠AED=90°， 1-W5 AP=VAE2+EP=V12+1=V13 (cm). 2 9.D10.A (2)x(2x-1)=2(2x-1),.(x-2)(2x-1)=0,x1= 综合与实践 生活中的优化问题 2,7 1.解：(1)①由题意，开园xmin,6个检票窗 口已检票的人数为6x14x=84x.故答案为84x 17.解：(1)不正确；不正确. ②由题意，w=-x2+120x+160-84x=-x2+36x+160.故 (2)4x(2x+1)=3(2x+1),4x(2x+1)-3(2x+1)=0, 答案为w=-x2+36x+160. (2x+1)4-3)-0,2x+1=0或4-3-0，解得=号 (2)根据题意，不再有游客排队检票时，ω=0.将 0=0代人w=-x2+36x+160,得0=-x2+36x+160.解得= 40,2=-4(不符合题意，舍去).答：开园40min不 69数学 九年级上册（人教版） 30.3 正多边形与圆 知识梳理@形成联系 【知识点1】与正多边形有关的概念 ©一个正多边形的外接圆的 叫作这个正多边形的中心，外接圆的 叫作 正多边形的半径，正多边形每一边所对的 叫作正多边形的中心角，中心到 正多边形的一边的 叫作正多边形的边心距.正多边形的中心角的度数为 1.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是 ( A.4 B.5 C.6 D.7 2.如图30.3-1，正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙0的半径为2，则边 心距OM的长为() A.V3 B.V3 C. D.2V3 2 图30.3-1 【知识点2】圆内接正方形和圆内接六边形的尺规作图 ©对于一些特殊的正多边形，可以用圆规和直尺来作.正六边形的边长等于 所以在半径为R的圆上，依次以 画弧，就可以把圆六等分，顺次连接 各分点就得到 的正六边形.用直尺和圆规四等分圆周， 顺次连接各分点，便可以得到 如图30.3-2，若以AB为边长作⊙0的内接正多边形，则这个多边形 是正 边形 图30.3-2 例题点拨Q素养导向 【例】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O. (I)若P是CD上的动点，连接BP,FP,求∠BPF的度数. (2)已知△ADF的面积为2V3 ①求∠DAF的度数； ②求⊙0的半径. 图30.3-3 【点拨】要想求∠BPF,就需要求正六边的中心角，再根据圆周角和圆心角的关系求解 即可.求⊙O的半径，就是要找到直角三角形借助勾股定理求解，只需要证明直角即可！ 152 直线与圆的位置关系 第三十章 夯实四基U达标闯关 L.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点P是AE上一点，则∠CPD的度数是() A.30° B.36° C.45° D.72° 2.如图，把⊙O分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形A BCDEF如果⊙O 的周长为12π，那么正六边形的边长是() A.12 B.6 C.3 D.2 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，点A,B,C,D为一个正多边形的顶点，点O为这个正多边形的中心，若 ∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（) A.10 B.12 C.15 D.20 4.正六边形的半径是2V2,则它的面积为 5.如图，要拧开一个边长a=18mm的六角形螺帽，扳手张开的 开口b至少要 mm. 第5题图 能力提升螂综合拓展 6.如图，直线m是正五边形ABCDE的对称轴，点P是直线m上的动点， 当BP+CP的值最小时，∠BPC的度数是 7.已知⊙0如图所示. (1)求作⊙0的内接正方形.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若⊙0的半径为4，则它的内接正方形的边长为 第6题图 0 第7题图 @ 数学 九年级上册（人教版） 8.如图，已知⊙O的半径为2cm,正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，连接AE. (1)∠AED的度数为 (2)若P是ED的中点，连接AP,求AP的长. 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2025山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子 修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知 内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是() A.TT B.2m C.3m D.4T 0 第9题图 第10题图 10.(2026·内江)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为BC上的一点（点P不与点C 重合)，则∠CPD的度数为() A.36° B.45° C.60° D.72