专题03 一元二次方程根的判别式的应用 专项训练 -2026‑2027学年人教九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式应用，通过梯度化题型构建"概念理解-参数计算-综合应用"的逻辑训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|基础判别式计算、根的个数判断、参数范围初步应用|从定义直接应用到含参方程转化，构建"Δ=b²-4ac"核心公式的认知框架| |填空题|6题|参数取值范围、新定义运算结合判别式|深化符号意识，训练将文字条件转化为数学表达式的建模能力| |解答题|7题|证明根的存在性、几何综合（等腰三角形/矩形）|通过问题链设计，实现从代数推理到数形结合的思维跃迁，发展逻辑论证能力|

专题03 一元二次方程根的判别式的应用 一、选择题 1．一元二次方程 的实数根的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断1 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 4．一元二次方程（x-1）（x+5）=3x+1的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 5.定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m有两个不相等的实数根，则m的值可以为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6.已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 7.方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 8.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 9.已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，c的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值（   ） A． B．3 C．2 D． 二、填空题 11．若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 12．若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________． 13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 14．在实数范围内，存在2个不同的的值，使代数式与代数式值相等，则的取值范围是 ． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 16．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 17.已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 18.已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根的差是2，求实数的值． 20．关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 21.已知的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 22.已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 23．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程根的判别式的应用 一、选择题 1．一元二次方程 的实数根的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断1 【答案】B 【详解】试题解析： ∴方程有两个相等的实数根； 故选B. 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 3．当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】 解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 4．一元二次方程（x-1）（x+5）=3x+1的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况． 【详解】解：∵（x-1）（x+5）=3x+1 ∴原方程可化为x2+x-6=0， ∵a=1，b=1，c=-6， ∴△=b2-4ac=12-4×1×（-6）=25＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 5.定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m有两个不相等的实数根，则m的值可以为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先根据新定义得到x2+3x＝﹣m，再把方程化为一般式得到x2+3x+m＝0，接着根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4m＞0，然后解不等式得到m的取值范围，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵x※3＝﹣m， ∴x2+3x＝﹣m， 即x2+3x+m＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝32﹣4m＞0， 解得m， ∴m的值可以为2． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算． 6.已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 【答案】D 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可． 【详解】解：A、当时，方程为， 解得， 故当时，方程有一个实数根，故A不符合题意； B、当时，关于的方程为一元二次方程， ， 当时，方程有相等的实数根，故B不符合题意， CD、当时，关于的方程为为一元二次方程， ， 当时，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键． 7.方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 8.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的判别式即可求出的取值范围，掌握根的判别式与一元二次方程解的情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故选：B． 9.已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，c的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C． 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于a与c的等式，即可求出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0， ∴1﹣2a+ac＝0， ∵a≠0， ∴c＝2． 故选：C． 【点睛】考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则有且，则，即，得，，然后代入所求代数式进行化简即可求解． 【详解】有两个相等的实数根， ，． ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及整体代入思想的运用能力．其中，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．掌握根的判别式，即一元二次方程有两个相等的实数根，则是解题的关键． 二、填空题 11．若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】1 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式，由此列出关于的方程，解此方程即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 代入得， 整理得， 解得． 12．若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________． 【答案】且k≠﹣1． 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且k≠﹣1． 故答案为：且k≠﹣1． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的不等式组是解题的关键． 13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 14．在实数范围内，存在2个不同的的值，使代数式与代数式值相等，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得方程有两个不相等的根，即判别式，即可求解． 【详解】解：由题意得，方程有两个不相等的根， 整理得， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系是解题的关键． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元一次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 16．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 三、解答题 17.已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 18.已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根的差是2，求实数的值． 【答案】(1)见详解 (2)1或 【分析】（1）将方程化为一般形式，计算判别式即可； （2）由因式分解法求出方程的解，根据两个根的差是2方程即可求出m． （1）证明：，∵∆≥0，∴方程总有两个实数根； （2）解：，∴（x-1）（x-m-2）=0，∴x1=1，x2=m+2，∵方程两个根的差是2，∴若，则；若，则．∴实数的值为1或． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式得到方程的根的情况，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键． 20．关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 21.已知的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)当k等于4或3时，△ABC是等腰三角形；当时，△ABC的周长为16，当时，△ABC的周长为14． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式求得 即可证明； （2）由（1）可得BC边为腰，先解方程，再分类讨论即可求出k值和三角形周长． 【详解】（1） 证明： ＞0 无论k为何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）解方程，得，． 当时，，则， 此时等腰△ABC的周长为：； 当时，，则， 此时等腰△ABC的周长为：； 综上，当时，等腰△ABC的周长为16，当时，等腰△ABC的周长为14． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 22.已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】(1)有两个实数根，见解析 (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为，解得． ∴这个矩形对角线的长是5． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 23．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 【答案】（1）见详解； （2）12． 【分析】（1）先计算出Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，代入方程求得k＝5，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵等腰三角形一腰长为5， ∴另外一边长度为5， ∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5， ∴25﹣5（k+2）+2k＝0， 解得k＝5， ∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0， ∴（x﹣5）（x﹣2）＝0， 解得x1＝5，x2＝2， 故△ABC的周长＝5+5+2＝12． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $