第1章 一元二次方程（复习课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过知识图谱将相关概念、四种解法、判别式与韦达定理等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层目标设计，通过题型全解与针对训练，如实际应用中的增长率问题建模、根与系数关系的代数式变形推理，培养数学运算、模型意识和逻辑推理能力。这种设计让不同水平学生巩固提升，教师能精准把握学情，提高复习效率。

第一章 一元二次方程 复习课件 苏科版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程，掌握一元二次方程一般形式，正确识别二次项、一次项、常数项以及各项系数。 02 工具掌握 熟练解一元二次方程；会用根的判别式判断方程根的情况；掌握根与系数的关系并进行简单计算。 深化理解 能根据实际问题列一元二次方程求解，体会转化、降次的数学思想，会检验方程的根是否符合实际意义。 思想与应用 梳理本章知识体系，归纳易错点，建立方程模型意识，提升运算准确性、逻辑推理与数学应用的严谨性。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.配方应用：配方法的变形过程；利用配方法求代数式最值。 2.易错辨析：运用根的判别式时二次项系数不为0的隐含条件；根与系数关系中符号处理。 3.实际应用：从实际问题中抽象出一元二次方程模型，对求得的根进行实际意义检验与取舍。 1.核心概念：一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式，二次项、一次项、常数项及各项系数识别。 2.运算体系：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 3.拓展计算：根的判别式判断根的情况；一元二次方程根与系数的关系简单运算。 4 知识图谱 相关概念 一元二次方程 定义 一元二次方程解法 直接开方法 根的判别式 根与系数的关系 实际应用 一般形式 项与系数 配方法 公式法 因式分解法 解题步骤 ∆=b2-4ac 5 考点串讲 ——1：一元二次方程的概念 判定条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数a≠0. 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项:ax2 二次项系数：a 一次项:bx 一次项系数：b 常数项:c 【注意】 判断方程类型，不可忽略a≠0这个隐含条件。 6 考点串讲 ——2：一元二次方程的四种解法 直接开平方法：适合(x+m)2=n (n≥0)形式 配方法：移项→化二次项系数为1→配方→开平方；可用于求代数式最值 公式法：求根公式x=(a≠0)，通用解法 因式分解法：化成A∙B=0，得A=0或B=0，优先选用 【注意】 二次项系数不为1时，必须先化为1，再进行配方。 7 考点串讲 ——3：根的判别式 根的判别式：∆=b2-4ac ∆>0：方程有两个不相等的实数根 ∆=0：方程有两个相等的实数根 ∆<0：方程没有实数根 【注意】 含参数题目，先保证a≠0，再讨论∆。 8 考点串讲 ——4：根与系数的关系（韦达定理） 前提：a≠0且∆=b2-4ac≥0，方程两根为x1、x2 根与系数的关系： 常见变形： 【注意】 使用韦达定理，必须保证方程有实数根，留意符号不要出错。 9 考点串讲 ——5：一元二次方程实际应用 常考模型：增长率问题、面积问题、销售利润问题 解题步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答 关键点：舍去不符合现实条件的解 【注意】 不可省略检验步骤，不能直接把解全部作为答案。 10 题型全解 题型01 一元二次方程的定义 例（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A．x+2y=1 B．x2+y=2 C．2x−x2=3 D．x+ =4 C 【解析】A、含有两个未知数x和y，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元二次方程； B、含有两个未知数x和y，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元二次方程； C、整理为−x2+2x−3=0，只含一个未知数x，含未知数最高次项的次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； D、方程x+1/x=4，分母含有未知数，是分式方程，不符合“整式方程”的条件，不是一元二次方程；故选项C符合题意． 11 题型全解 题型01 一元二次方程的定义 方法总结 方法1：条件判定法 化简方程，核对4个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数≠0，全部满足才是一元二次方程。 方法2：参数限定法 已知是一元二次方程，同时列出：未知数次数等于2、二次项系数≠0，联立求解参数。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）下列方程为一元二次方程的是（   ） A．x2−2=x(x−3) B．x2−=1 C．x2−4x=−1 D．4x2−6xy=5 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（k−1）x2−2x−3=0有实数根，则k的取值范围______． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）关于x的方程(m−2)x|m|+3mx−4=0是一元二次方程，则m=_____． C k≥且k≠1 -2 题型全解 题型02 一元二次方程的解 例 （2026·江苏扬州·一模）若x=1是关于x的一元二次方程2x2−5x+a=0的一个解，则a的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】∵x=1是一元二次方程2x2−5x+a=0的一个解， ∴2×12−5×1+a=0， 整理得a−3=0， 解得a=3．故选A. A 14 题型全解 题型02 一元二次方程的解 方法总结 分类1：根代入法 ①整数：把已知方程的根代入原方程，得到关于参数的等式，求出参数的值。 分类2：函数估值法 利用表格函数值正负变化，确定一元二次方程解所在的取值区间。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）若一元二次方程x2−2x+a=0的一个根为1，则a的值为（　　） A．1 B．−1 C．2 D．−2 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值： 判断关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的一个解x的范围是（   ） A．x<1.21 B．1.21<x<1.22 C．1.22<x<1.23 D．x>1.23 A C 针对训练 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中，实数a，b，c满足4a−2b+c=0，则此方程必有一根为________． -2 题型全解 题型03 直接开平方法 例 （25-26九年级上·江苏常州·期末）方程(x+1)2=4的根是（    ） A．x1=x2=1 B．x1=1,x2=−1 C．x1=3,x2=5 D．x1=1,x2=−3 D 【解析】x+12=4 x+1=±2 解得x1=1，x2=−3 故选：D． 18 题型全解 题型03 直接开平方法 方法总结 方法1：直接开方求解法 整理方程为式子2=常数，两边同时开平方，注意带上±，解两个一元一次方程。 方法2：整体换元法 将括号内代数式看作整体，不展开，直接对整体进行开平方运算。 针对训练 1．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程x2−9=0的根为 （　　） A．3 B．−3 C．3或−3 D．0 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程m(x−h)2−k=0（m，h，k均为常数且m≠0）的解是x1=2，x2=5，则关于x的一元二次方程m(x+h+1)2=k的解是（   ） A．x1=−2，x2=−5 B．x1=−4，x2=−1 C．x1=1，x2=4 D．x1=−3，x2=−6 D C 题型全解 题型04 配方法 例 （25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程x2+6x−1=0转化为(x+m)2=n的形式，则m+n的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 C 【解析】∵x2+6x−1=0， ∴移项得x2+6x=1， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方32=9，得x2+6x+9=1+9， 整理得(x+3)2=10， 对比(x+m)2=n可得m=3，n=10， ∴m+n=3+10=13．故选C. 21 题型全解 题型04 配方法 方法总结 方法1：配方法解方程 二次项系数化为1，移常数项到右边，两边加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方求解。 方法2：配方求最值法 二次三项式配成完全平方±常数，利用平方的非负性求代数式最大、最小值。 针对训练 1．（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程x2+10x+9=0，变形后的结果正确的是（     ） A．(x+5)2=16 B．(x+5)2=25 C．(x+5)2=−9 D．(x+5)2=−16 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：m(x−a)2+b=0与n(x−a)2+b=0，称为“同类方程”．如2(x−1)2+3=0与6(x−1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x的一元二次方程：2(x−1)2+1=0与(a+6)x2−(b+8)x+6=0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+2022能取的最大值是_________． A 2023 针对训练 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）解下列方程： (1)(x−1)2−4=0； (2)x2−4x=2． 解：(x−1)2=4 ∴x−1=2或x−1=−2 ∴x1=3，x2=−1； 解：x2−4x+4=2+4 （x−2）2=6 ∴x−2=6或x−2=−6 ∴x1=+2，x2=−+2． 题型全解 题型05 因式分解法 例 （25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）一元二次方程x(x−1)=0的解是（     ） A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=−1 C 【解析】∵x(x−1)=0， ∴x=0或x−1=0， 解得x=0或x=1．故选C. 25 题型全解 题型05 因式分解法 方法总结 方法1：因式分解求解法①移项使方程右侧等于0，左侧因式分解，令每一个因式分别等于0，得到方程的两个根。 方法2：公式分解法 选用提公因式、平方差公式对多项式分解，切忌等式两边直接除以含未知数的代数式。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程x2=x的根是（    ） A． x1=0，x2=1 B．x1=0，x==−1 C．x1=x2=0 D．x1=x2=1 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于x的方程x2+(m+3)x+2m+2=0有一个小于1的非负数解，那么m的取值范围是（     ） A．−1≤m<0 B．−1<m≤0 C．−2≤m<−1 D．−2<m≤−1 A D 针对训练 3．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）解方程： (1)x2−4x−5=0； (2)(4y−1)2−25=0． 解：x2−4x−5=0， ∴(x+1)(x−5)=0， ∴x+1=0或x−5=0， 解得：x1=−1，x2=5； 解：(4y−1)2−25=0 ∴(4y−1+5)(4y−1−5)=0， ∴(4𝑦+4)(4𝑦−6)=0， 解得：y1=−1，y2=． 题型全解 题型06 公式法 例 （25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程x2+bx−1=0的较大的一根小于1，则实数b的取值范围是（    ） A．一切实数 B．b>2 C．b>1 D．b>0 D 【解析】解方程x2+bx−1=0得：x=， ∴<1， 解得b>0，故选：D． 29 题型全解 题型06 公式法 方法总结 方法1：求根公式直接求解 整理成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，读出a、b、c，计算判别式，Δ≥0时代入求根公式计算。 方法2：判别式预判法 先计算Δ，若Δ＜0，直接判定方程无实数根，不再代入公式运算。 针对训练 1．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）解方程 (1)x2−7x+11=0； (2)2(x−3)=3x(x−3)． 解：x2−7x+11=0 a=1,b=−7,c=11， ∵Δ=b2−4ac=−72−4×1×11=5， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴ 解：2（x−3）=3x(x−3） （x−3）（2−3x）=0 针对训练 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）解方程： (1)x2−8x−1=0 (2)x（2x+1)=8x−3 解：x2−8x−1=0， a=1,b=−8,c=−1， ∵Δ=b2−4ac=−82−4×1×−1=68>0 ∴方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴ 解：整理，得2x2−7x+3=0 ∴（x−3)（2x−1）=0 ∴x−3=0或2x−1=0 题型全解 题型07 根据判别式判断一元二次方程根的情况 例 （25-26九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程x2+5x−6=0的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 A 【解析】解：Δ=b2−4ac=52−4×1×(−6)=29>0， 故一元二次方程x2+5x−6=0有两个不相等的实数根， 故选：A． 33 题型全解 题型07 根据判别式判断一元二次方程根的情况 方法总结 方法1：判别式计算法 确定a,b,c，算出Δ，依据Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况判断根的个数。 方法2：前提校验法 先确认二次项系数a≠0，再进行判别式计算判断根的情况。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）一元二次方程x2−2x−1=0的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A．x2+4=0 B．4x2−4x+1=0 C．x2+x+3=0 D．x2+2x−1=0 D D 针对训练 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的一元二次方程x2+kx+k−2=0的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 A 题型全解 题型08 根据一元二次方程的根的情况求参数 例 （25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，则k的取值范围是（   ） A．k<1 B．k≤1 C．k<2 D．k≤1且k≠0 B 【解析】∵一元二次方程x2−2x+k=0有实数根， ∴Δ=4−4k≥0， ∴k≤1， 故选：B． 37 题型全解 题型08 根据一元二次方程的根的情况求参数 方法总结 方法1：二次方程限定法 题目明确为一元二次方程，保证二次项系数≠0，结合根的情况列Δ的等式或不等式求参数。 方法2：分类讨论法 未说明是一元二次方程，分二次项系数=0（一次方程）、二次项系数≠0（二次方程）两种情况讨论。 针对训练 1．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）若关于x的一元二次方程(k+3)x2+4x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．k>4且k≠−3 B．k>−5 C．k>−3 D．k>−7且k≠−3 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为________． 3．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）若关于x的方程(k−5)x2+2kx+k+2=0有实数根，则k的范围是_____；若方程有两个不相等的实数根，则k的范围是______． D 1 k≥- k≥- 题型全解 题型09 一元二次方程的根与系数的关系 例 （2026·江苏常州·一模）一元二次方程x2−2x+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（   ） A．2 B．−2 C．1 D．−1 A 【解析】 一元二次方程x2−2x+1=0的两根为x1、x2， 则x1+x2=2． 故选A. 40 题型全解 题型09 一元二次方程的根与系数的关系 方法总结 方法1：韦达定理直接计算满足a≠0，Δ≥0，直接套用x1+x2=-b/a，x1x2=c/a进行计算。 方法2：代数式整体变形法 把目标代数式变形为含有x1+x2、x1x2的形式，整体代入求值。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）当a=1，b=m，c=−15时，若代数式的值为3，则代数式的值为（    ） A．5 B．−5 C．1 D．−1 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）若x1,x2是方程x2+x−2026=0的两个实数根．则代数式x1+x2+x1x2的值等于___________． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知x1,x2是一元二次方程x2−x−2=0的两个根，则+的值为________ B -2027 - 题型全解 题型10 一元二次方程的实际应用 例 （25-26八年级下·江苏南通·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 A 【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x， 初始有1人患病，第一轮传染后共有1+x人患病，第二轮传染中，新增患病人数为x(1+x)，两轮后总患病人数为1+x+x(1+x)， 根据题意得1+x+x(1+x)=100，整理得(1+x)2=100， 解得x1=9，x2=−11（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为9．故选A. 43 题型全解 题型10 一元二次方程的实际应用 方法总结 方法1：建模列方程法 审题设未知数，结合增长率、面积、利润、传播等实际模型列出一元二次方程并求解。 方法2：实际检验取舍法 检验方程的解，舍去不符合现实意义的根，写出完整作答。 针对训练 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A．6000(1+x)2=9000 B．6000(1−x)2=9000 C．6000(1+2x)2=9000 D．6000(1−2x)2=9000 A 针对训练 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长3.5m，宽2.5m的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为8m2．设粘贴区宽度为x m，则可列方程（     ） A．(3.5+2x)(2.5+2x)=8 B．(3.5−2x)(2.5−2x)=8 C．(3.5+x)(2.5−x)=8 D．(3.5−x)(2.5+x)=8 B 针对训练 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 针对训练 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可以多卖出2个．现网店决定降价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为y个． (1)y关于x的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于50元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个40元，该网店能否达到2600元的利润？ 针对训练 （1）解： 由题意可得，销售单价为x元时，降价金额为(60−x)元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为2(60−x)个， 总销量y=100+2(60−x)， 整理得y=−2x+220(0<x<60)； （2）解：由题意得x≥50，结合(1)可得50≤x<60， 函数y=−2x+220中，−2<0， ∴y随x的增大而减小， 当x取最小值50时，y取得最大值， 将x=50代入得y=−2×50+220=120； 答：最大销售量为120（个）. 针对训练 （3）解：由题意， (x−40)(−2x+220)=2600 ， 展开整理得x2−150x+5700=0， ∵Δ=1502−4×1×5700=22500−22800=−300<0， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到2600元的利润. 针对训练 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当t=2时，△DPQ的面积为__________cm2； (2)在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； 针对训练 （1）解：当t=2时，由题意得AP=1×2=2cm，BQ=2×2=4cm， ∴BP=6−2=4cm，CQ=12−4=8cm， ∴S△DPQ=S矩形ABCD−S△APD−S△BPQ−S△DCQ =6×12−×2×12−×4×4−×8×6 =72−12−8−24 =28cm2， 故答案为：28； (2)解：△DPQ的面积不能为26cm2，理由如下： 由题意得，AP=tcm，BQ=2tcm， ∴BP=(6−t)cm，CQ=(12−2t)cm， 针对训练 ∴S△DPQ=S矩形ABCD−S△APD−S△BPQ−S△DCQ =6×12−×t×12−×(6−t)×2t−×(12−2t)×6 =t2−6t+36， 当△DPQ的面积为26cm2时，则t2−6t+36=26， 即t2−6t+10=0， ∵Δ=(−6)2−4×1×10=−4<0， ∴方程无实数解， ∴△DPQ的面积不能为26cm2． 单元总结/易错复盘 ·方法选用 一元二次方程四种解法，依据方程特征灵活选取； 直接开平方法适用于平方式等于常数；优先因式分解法；配方法可求代数式最值；公式法为通用解法。 ·核心概念 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)； 判别式:∆=b2-4ac，判断三种根的情况； 韦达定理：∆>0时，x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。 ·答题注意事项 判定方程勿忘a≠0隐含条件；使用韦达定理要保证∆>0；配方先将二次项系数化为1；实际问题需检验，舍去不合题意的根；韦达定理代数式变形注意符号。 54 苏科版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $