陕西渭南市瑞泉中学2026-2027学年上学期高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 开学检测卷聚焦基础巩固与能力衔接，通过函数、几何等核心知识考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配高中起始阶段学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|集合、函数概念、不等式|结合生活情境考查数感与符号意识| |填空题|4/20|数列、立体几何初步|设置开放问题发展创新意识| |解答题|6/82|函数导数、立体几何、概率统计|综合题融合推理能力与数据分析，贴近高考命题趋势|

瑞泉中学高二开学考试数学试题参考答案 满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知复数z=(7-81)i,则z的虚部为() A.7 B.-8 C.7i D.-8i 答案：A 解析： 思路：由复数的乘法结合虚部的定义可得」 解答过程：z=(7-81)i=7i+8,所以虚部为7. 故选：A. 2.已知集合A={xx2<2x,B={yly=sinx},则AnB=() A.(0,1) B.(0,1] c.(-1,0] D.[-1,0) 答案：B 解析： 思路：由一元二次不等式的解法、正弦函数的值域求集合，再由集合的交运算求集合. 解答过程：由x2<2x,得0<x<2,故A=(0,2), 由y=sinx的值域为[-1,1]，故B=[-l,1, 所以A⌒B=(0,1] 故选：B 3.过点A(3,-4),B(-2,m)的直线1的斜率为-2，则m的值为() A.6 B.1 C.2 D.4 答案：A 解析：由题意知k若2，∴m6 4.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB=3AF,则EF=() 上AB-4AD B.-14B-AD 6 6 C.5AB-AD D.-54B-AD 6 6 答案：B 解析： 思路：应用向量的加法减法及线性关系计算求解， 解答过程：因为平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB=3AF, 所以AB=3AF, 则乐=不-正}西-（而+列）丽-（而+西名-而 故选：B. 5.已知a=log052,b=l0g20.2,c=201,则() A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c 答案：D 解析： 思路：根据题意，由对数函数的单调性即可比较大小。 解答过程：log20.2<log20.5=-1=logo52<log05l=0<201,所以b<a<c. 故选D 6.已知正数m,n满足1+3=2，则m+3的最小值为() m n A.8 B.7 C.6 D.5 答案：A 解析： 思路：由基本不等式的乘“1”法可得 5n3m=8, m n 2 n 当且仅当m=n=2时，取得等号. 故选：A 7.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，M、N分别是CD、CC,的中点，则异面直线AM与DN所 成角的大小是() D C1 B B A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：D 解析： 思路：若E为CN中点，连接ME,AE有ME/DN,异面直线所成角即为∠AME,进而求其大小. 解答过程：若E为CN中点，连接ME,AE,又M是CD的中点，则MEDN, D C B D B 所以AM与DN所成角，即为AM与ME所成角∠AME, 令正方体棱长为2，则AM=3,4E=V④，ME=5 2 在△AME中AM2+ME2=AE2,则∠AME=90° 故选：D &已知函数()=c0r+到(@>0)在区间(0)上至少有3个零点，则心的取值范用是() D 答案：C 解析： 思路：由已知得冬0r十飞m士结合条件可得om十沉 3 ,求解即可」 3 32 解答过程：因为(0，)，所以<ox+工<om+ 元 、3 因为酒数f()-=c0ar+写o>0)在区间Q,列上车少有3个零点， +3>2解得0 π、5π 所以om+”> 所以心的取值范周是 13 6 ,0 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.一组样本数据如下：62,63,65,65,65,66,67,67,68,69，则这组数据的() A.众数为65 B.极差为7 C.平均数为65.4 D.80%分位数为67.5 答案：ABD 解析： 思路：根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案。 解答过程：由题意知样本数据从小到大排列如下：62,63,65,65,65,66,67,67,68,69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确： 极差为69-62=7，故B正确： 平均数T=62+63+65+65+65+66+67+67+68+69=65.7,故C错误： 10 80%×10=8,所以80%分位数为67+68=67.5，故D正确. 2 故选：ABD 10.已知直线：x+2my+1=0,圆E:x2+y2=3,则下列说法正确的是(). A直线1必过点(-1,0) B.直线1与圆E必相交 C.圆F:(x-3)P+0y-3√2)2-12与圆E有3条公切线 D.当m时，直线1被圆E截得的弦长为V14 答案：ABC 解析：由：x+2my+1=0,得直线1过定点(~1,0)，故A正确： 将定点(-1,0)的坐标代入圆E的方程，得(1)2+02=1<3，故点(-1,0)在圆内，即直线1与圆E必相交，故 B正确： 由题意知，圆E的圆心为(0,0)，半径r1=√3，圆F的圆心为(3,3v2),半径r2=2√3，所以EF=3V3=1+r2, 即两圆外切，故两圆有3条公切线，故C正确： 由题意知：x+1-0,则0,0)到直线1的距离2竖故直线1被圆E截得的弦长为2居-那一而。 故D错误 11.已知幂函数f(x)=(m-1)x"(m∈R),则下列说法正确的是() A.m=3 B.函数f(x)为偶函数 C.不等式f(x)<2x+8的解集为(-2,4) -f(x),x≤0， D.若函数g(x)= 。（a>0,且a≠1)在R上单调递增，则实数a的取值范围为 logn（x+1)+2-a,x>0 (1,2) 答案：BC 解析： 思路：利用幂函数的概念求解析式，从而可判断ABC,利用分段函数单调性，结合分界点x=0的端点值 大小比较，可判断D 解答过程：由幂函数的定义，知m-1=1,故m=2,所以f(x)=x2,A错误： 由f(-x)=(-x)=x2=f(x),得函数f(x)为偶函数，B正确： 由f(x)<2x+8,得x2-2x-8<0,解得-2<x<4,C正确： a>1, 若函数g(x)在R上单调递增，必有 解得1<a≤2，D错误. log1+2-a≥0 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若圆台上、下底面直径分别为2和4，高为√5，则此圆台的体积为 答案： 7V3元 3 解析： 解答过程：设圆台上底面的半径为r=1,下底面的半径为R=2,高为h=√5， 则顶台的体制r-(p+R+R)-x5心+2+12小-5 13.已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若P(A)=0.4,P(C)=0.3,则P(BC)= 9 答案：0.18# 50 解析： 思路：根据对立事件的概率公式求出P(B),根据独立事件的概率公式求出P(BC). 解答过程：因为A与B对立，所以P(B)=1-P(A)=1-0.4=0.6, 又B与C相互独立，所以P(BC)=P(B)P(C)=0.6×0.3=0.18. 故答案为：0.18. 14.已知圆M:(-oP+0wP=4,从点N3,4)向圆M作两条切线MP,Ng,切点分别为P,Q,若∠Pg号 则点M的轨迹方程为(2分)：点M到直线3x+4y+25=0的最小距离为 (3分). 答案：(x-3)2+y-4)2=166 【解析】从点N3,4)向圆M作两条切线NP,NO,且∠PNg骨 可得在Rt△MPN中，∠PWMG,IPM=2,所以MN=4, 所以点M的轨迹是以N(3,4)为圆心，4为半径的圆，故点M的轨迹方程为(x-3)2+0y-4)2=16. 因为点v到直线3x+4+250的距离0， 所以点M到直线3x+4y+25=0的最小距离为10-4=6. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.己知直线1经过1：2x-y-3=0和12：4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直. (1)求直线1的方程：(6分) (2)若圆C的圆心为(3,0)，直线1被该圆截得的弦长为2√2，求圆C的标准方程.(7分) 20回-3=0， 解析：(1)由题意知 93g解得日=子 .直线l1:2x-y-3=0和12：4x-3y-5=0的交点为(2,1). 设直线1的斜率为k,,直线1与直线x+y-2=0垂直，∴.=1， .直线1的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0. 13-0-11 (2②)设圆C的半径为>0)，圆心C3,0)到直线1：x少10的距离√-2，由垂径定理得 2-+()2-(2+(22）2-4,解得2，圆C的标准方程为x3y+2-4 16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2+ab=(a+b)2. (1)求C: (2)若a+b=6,△ABC的面积为2√5，求c. 答案：(1) 2π (2)2万 3 解析： 思路：(1)先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. (2)已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出αb=8,再结合给定条件利用余弦定理建立方程， 即可算出c边. (1)由c2+ab=(a+b)2,得a2+b2-c2=-ab. 由余弦定理，得cosC-+-c2ab1 2ab 2ab 2 又0<C<π，所以C=2π 3 (2)由△ABc的面积为25，得。absinC=2√5，所以ab=8. 由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcosC=(a+b)}-ab=28, 所以c=2√万： 17.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均 在[40,100]之间)，将样本数据分为6组：[40,50)、[50,60)、、[80,90)、[90,100]，绘制成频率 分布直方图（如图所示）. 频率 组距 0.028 0.022 0.018 0.004 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中α的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据 所在区间中点的值作代表)： (2)在样本中，从成绩在40,60)内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在50,60)内的概率， 答案：(1)a=0.006;76.2 (2) 3解析： 10 思路：(1)利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可： (2)先计算出「40,60)内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计 算即得 (1)由频率分布直方图可得，(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得，a=0.006: 这50名学生的物理成绩的平均数为： 0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75+0.22×85+0.18×95=76.2: (2)由频率分布直方图可知，成绩在[40,60)内的学生有50×(0.04+0.06)=5人， 其中[40,50)内有2人，设为a,b,[50,60)内有3人，设为x,y,2, “从成绩在40,60)内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： 2={ab,ax,ay,az,bx,by,bz,xy,xz,z},而事件A=“2人成绩都在50,60)内”={xy,xz,yz}, 由古典概型概率公式可得，P(④= 10 即这2人成绩都在[50,60)内的概率为3 0 18.已知fy=5 sin x cosx-cos2ox-(o>0,x∈R),且f)的图象上相邻两条对称轴之间的 电离为号 (1)求函数f(x)的解析式 (2)求函数f(x)的单调递减区间： (3)若方程f(x)-m=0在x∈[0，二有两个根，求m的取值范围. 答案：(1)fm)=sin(2x-乃)-1； 6 (2)+k,6 3 π+km]k∈Z): 3 (3)-2≤m<0. 2 解析： 思路：(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出⊙即可. (2)利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得 5 (3)探讨函数f(x)在[0，上的性质，借助直线y=m与函数y=f(x)的图象交点问题求解. 6 )函数f)=5 1 sin 2ox--(cos2@x+1)-=sin(2@x-")-1 6 由f)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得)的最小正周期2红=元，解得0=1， 20 所以函数f(x)的解析式为f)=sin(2x-乃)-1. （2)由经+2≤2x-君s经+2太eZ,解得+m5x≤5江+，k∈Z, 6-2 3 6 所以函数)的单调进减区同是肾+远无 3 ,5+k]k∈Z☑. (3)当x∈[0, ]时，2x-元∈[-元3] 6 6 【由2x-e.得x0 3 在0，上调递增，函数值从-。增大到0，在3，石上单调递减，函数值从 2 3 当-二≤m<0时，直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个交点， 2 5 即方程f(x)-m=0在x∈0，二有两个根， 6 所以m的取值范围一2 ≤m<0 19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，AD=2AB,M,N分 别为PD,AD的中点，PN⊥平面ABCD. B二 (1)求证：PB∥平面ACM: (2)求证：平面PBW⊥平面PCW; (3)若AB=2,PN=√5，求PA与平面PCD所成角的正弦值. 答案：(1)连接BD交AC于点O,连接OM. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD中点. 又M是PD中点，所以OM//PB 因为PBE平面ACM,OMC平面ACM, 所以PB∥平面ACM. (2)由题知，在△ABN中，AB=AN,∠BAD=120°， 由余弦定理，得BN2=AB2+AN2-2AB.ANcos120°=3AB2,所以BN=√3AB, 在△CDN中，CD=ND,∠CDN=60°，所以△CDN是等边三角形，所以CN=CD=AB, 所以BN2+CN2=4AB2=BC2,即BW⊥NC. 因为PN⊥平面ABCD,BWC平面ABCD,所以PN⊥BN, 又PNONC=N,PN,NCc平面PCN,所以BN⊥平面PCN. 因为BNc平面PBN,所以平面PBN⊥平面PCN. (3)V42 解析： 思路：(1)连接BD交AC于点O,连接OM,根据线面平行的判定定理证明即可； (2)根据余弦定理结合勾股定理可得BN⊥NC,再由线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明 即可； (3)根据等体积法计算点A到平面PCD的距离，再由线面角的定义计算求解， (1)略 (2)略 (3)因为PN⊥平面ABCD,NC,NDc平面ABCD,所以PN⊥NC,PN⊥ND. 由(2)知NC=ND,所以PC=PD. 设点A到平面PCD的距离为h. 因为AB=2,PN=V3,所以PA=PC=PD=√7， ac0上的离为PC-(Dj广=6，所以Sw-子26=6。 所以形m号5amh=×V6. 1 3 区点C到4D的距离为B,所以SA4cD二7×4×V3=2N3 所以m=5mPN=}x25x5-xV6h,解得h=6. 3 3 记P1与平面PCD所成角为0，则sin6=力三6=V2 PA√77 所以PA与平面PCD所成角的正弦值为V4瑞泉中学高二开学考试数学试题 满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数z=(7-81)i,则z的虚部为() A.7 B.-8 C.7i D.-8i 2.已知集合A={xx2<2x,B={y川y=sinx,则A∩B=() A.(0,1) B.(0, c.(-1,0] D.[-1,0) 3.过点A(3,4),B(-2,m)的直线1的斜率为-2，则m的值为(). A.6 B.1 C.2 D.4 4.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB=3AF,则EF=() A丽-而 B名亚-而 C.5AB-AD D.-54B-AD 6 6 5.已知a=logo52,b=1og20.2,c=201,则() A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c 1.3 6.已知正数m,n满足二+三=2，则m+3n的最小值为() m n A.8 B.7 C.6 D.5 7.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，M、N分别是CD、CC的中点，则异面直线AM与DN所 成角的大小是() D C A B N B A.30 B.45° C.60° D.90° 8.已知函数了()=coor+写@>0）在区间(0，)上至少有3个零点，则0的取值范围是（) B. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.一组样本数据如下：62,63,65,65,65,66,67,67,68,69，则这组数据的() A.众数为65 B.极差为7 C.平均数为65.4 D.80%分位数为67.5 10.已知直线：x+2my+1=0,圆Ex2+y2=3,则下列说法正确的是() A.直线1必过点(-1,0) B.直线1与圆E必相交 C.圆F:(x-3)2+0y-3V2)2=12与圆E有3条公切线 D.当m时，直线1被圆E截得的弦长为V4 11.己知幂函数f(x)=(m-1)x"(m∈R),则下列说法正确的是() A.m=3 B.函数f(x)为偶函数 C.不等式f(x)<2x+8的解集为(-2,4) D.若函数g(x)= log,(:+1)+2-a,x>0(a>0,且a≠)在R上单调递增，则实数a的取值范围为 -f(x),x≤0， (1,2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若圆台上、下底面直径分别为2和4，高为√3，则此圆台的体积为 13.已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若P(A)=0.4,P(C)=0.3,则P(BC)= 14.已知圆M:(K-o+oP=4,从点M3,4)向圆M作两条切线NP,NQ,切点分别为P,Q,若∠PNQ-号 则点M的轨迹方程为(2分)：点M到直线3x+4y+25=0的最小距离为 (3分). 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知直线1经过1：2x-y-3=0和2：4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直 (1)求直线1的方程：(6分) (2)若圆C的圆心为(3,0)，直线1被该圆截得的弦长为22，求圆C的标准方程.(7分) 16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2+ab=(a+b)2. (1)求C: (2)若a+b=6,△ABC的面积为2√3，求c. 17.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均 在[40,100]之间)，将样本数据分为6组：[「40,50)、[50,60)、、[80,90)、[90,100]，绘制成频率 分布直方图（如图所示）· 频率 组距 0.028 0.022 0.018 0.004 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中α的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据 所在区间中点的值作代表)： (2)在样本中，从成绩在[40,60)内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[50,60)内的概率 18.已知f(x)=√3 sin @xcos wx-cos2ox- 二(o>0,x∈R),且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的 距离为号 (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)的单调递减区间： (3)若方程f(x)-m=0在x∈[0，二)有两个根，求m的取值范围 6 19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，AD=2AB,M,N分 别为PD,AD的中点，PN⊥平面ABCD. B-- (1)求证：PB∥平面ACM: (2)求证：平面PBN⊥平面PCN: (3)若AB=2,PN=√3，求PA与平面PCD所成角的正弦值.