专题04 直线基础与两线位置关系（高效培优专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 以直线核心概念为起点，通过六类题型构建从概念辨析到综合应用的递进训练体系，注重数学思维的逻辑推理与数学语言的精确表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倾斜角与斜率|6题|概念辨析与基本计算|从定义出发，建立倾斜角与斜率的对应关系，强化数学抽象能力| |倾斜角与斜率的取值范围|8题|范围求解与条件转化|深化概念应用，通过几何情境培养逻辑推理与运算能力| |三点共线|2题|共线条件的代数表达|斜率公式的延伸应用，体现数学建模思想| |直线方程|18题|方程形式与综合应用|覆盖多种方程形式，构建从表示到应用的知识链条，发展数学表达能力| |直线过定点|5题|参数方程的定点探究|方程参数处理技巧，培养数学眼光的敏锐性| |直线的位置关系|7题|平行垂直的判定与应用|综合概念与方程，强化空间观念与逻辑推理|

专题04 直线基础与两线位置关系 题型一 倾斜角与斜率 题型二 倾斜角与斜率的取值范围 题型三 三点共线 题型四 直线方程 题型五 直线过定点 题型六 直线的位置关系 题型一：倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·海南三亚·期中）下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】逐个分析四个命题，结合倾斜角和斜率的定义判断对错. 【详解】命题①，任何直线都有唯一的倾斜角（范围），故①正确； 命题②，当直线倾斜角为时，斜率不存在，故②错误； 命题③，倾斜角为的直线（垂直于轴的直线）存在，故③错误； 命题④，倾斜角为的直线有无数条（与轴平行或重合的直线），故④错误. 综上，正确的命题有1个. 故选：B 2．（25-26高二上·辽宁·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，即可求得直线的倾斜角． 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 故选：D． 3．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分、必要条件的定义结合倾斜角和斜率关系判断. 【详解】若，则， 又，可得， 所以或， 所以中较大的倾斜角在内，其斜率为负， 较小的倾斜角在内，其斜率为正，所以， 所以“”是“”的充分条件， 若，不妨取，此时， 所以， 所以“”不是“”的必要条件. 故选：A. 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系列式求值. 【详解】因为直线的倾斜角为，且斜率为， 所以，解得． 故选：D 5．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 6．（21-22高二上·辽宁大连·阶段检测）直线l经过，两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率的定义得到，根据倾斜角，求出答案. 【详解】因为两点横坐标不同，故倾斜角不为， 由题意得， 因为，所以. 故选：B 题型二：倾斜角与斜率的取值范围 7．（24-25高二上·山东·阶段检测）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即直线的斜率. 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 8．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 【答案】． 【分析】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 9．（23-24高二上·辽宁·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解. 【详解】当时，方程为，倾斜角为 当时，直线的斜率， 因为，则， 所以； 综上所述：线的倾斜角的范围是. 故选：C． 10．（23-24高二上·山东·阶段检测）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 11．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 12．（20-21高二上·辽宁阜新·期末）已知坐标平面内三点，，，若为线段上一动点，求直线的斜率的取值范围___________. 【答案】 【分析】做出图形，根据图形得，进而根据斜率公式计算即可. 【详解】解：做出图形，如图，为线段上一动点， 所以直线的斜率满足 由于， 所以 故答案为： 13．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】将转化为上的点和构成的直线的斜率，然后求斜率即可. 【详解】   可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 14．（20-21高二上·辽宁锦州·期末）已知点，若直线与线段不相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出图形，分别求出、所在直线的斜率，则答案可求． 【详解】解：直线过点，如图所示， ，， 又直线与线段不相交， 由图可知，直线的斜率的取值范围为． 故选：C. 题型三：三点共线 15．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则________. 【答案】 【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得. 【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 16．（19-20高二上·辽宁·阶段检测）（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值. （2）若，，三点共线，求实数的值. （3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程. 【答案】（1）2（2）5（3） 【分析】(1)由题意结合斜率公式得到关于m的方程，解方程即可确定m的值； (2)由题意得到关于t的方程，解方程可得t的值； (3)首先求得直线的斜率，然后利用点斜式可得直线方程. 【详解】(1)由题意可得：，解方程可得：； (2)由题意可得：，即：，解方程可得：； (3)设直线的倾斜角为，则，， 由点斜式可得所求直线方程为：，整理为一般式即：. 【点睛】本题主要考查直线的斜率公式及其应用，二倍角的正切公式，三点共线的充分必要条件，直线的点斜式公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 题型四：直线方程 17．（2026·辽宁大连·二模）已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．与、的具体值有关 【答案】B 【详解】由题意，， 所以， 因为，， 所以. 18．（24-25高二下·河南南阳·期末）设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】A 【分析】由分母不为0可判断A；分和两种情况讨论可得两直线的位置关系判断B；由已知可得，可判断C；由已知可得，且，进而可判断D. 【详解】对于A选项，若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故A不正确； 对于B选项，当时，若，则，整理得， 此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上， 故过、两点的直线与直线平行； 当时，若，则，整理得， 此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾， 故，所以， 即， 所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确； 对于C选项，若，则 即，， 直线经过线段的中点，即C正确； 对于D选项，若，则， 或， 所以，且， 所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等， 所以直线与线段不平行．故D正确． 故选：A． 19．（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 20．（24-25高二上·广东深圳·期中）写出满足下列条件的直线的方程. (1)经过点，斜率是； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在轴上的截距是7； (4)在轴上的截距是2，且与轴平行； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用点斜式求出直线方程； （2）依题意直接得到直线方程为； （3）利用斜截式求出直线方程； （4）依题意可知斜率为，即可得到直线方程； 【详解】（1）经过点，斜率是， 则直线方程为，即. （2）经过点，且与x轴垂直， 则直线方程为，即. （3）斜率是，在y轴上的截距是7， 则直线方程为，即. （4）在y轴上的截距是2，且与x轴平行， 则直线方程为，即. 21．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（1）分直线经过原点、直线不经过原点两种情况讨论，根据条件求出方程即可； （2）得出直线斜率，利用点斜式求方程. 【详解】（1）当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 因直线过点，则直线的方程为； 当直线不经过原点时，若它在两坐标轴上的截距相等，则斜率， 因直线过点，则直线的方程为，即． 综上所述，所求直线方程为或； （2）因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为1或， 因直线过点，则直线方程为，即或． 22．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 23．（19-20高二下·上海·课后作业）若点在过两点的直线上，则实数的值是________. 【答案】 【分析】先由直线过两点，求出直线方程，再利用点在直线上，求出的值. 【详解】由直线过两点，得， 则直线方程为：，得， 即，又点在直线上，得，得. 故答案为： 【点睛】本题考查了已知两点求直线的方程，直线方程的应用，属于容易题. 24．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知三角形的三个顶点，求： (1)AC边所在直线的方程 (2)BC边上中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线方程的截距式方程列式，化简即得AC边所在直线的方程； （2）由线段的中点坐标公式，算出BC中点D的坐标，从而得到直线AD的斜率k，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边上中线所在直线的方程． 【详解】（1）， ∴直线AC的截距式方程为，化简得 即AC边所在直线的方程为：； （2） ∴BC中点为D（，）， 直线AD的斜率为k 因此，直线AD的方程为y（x+5）， 化简得，即为BC边上中线所在直线的方程． 25．（21-22高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知直线l：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)． （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）当O(0，0)点到直线l的距离最大时，求直线l的方程． 【答案】（1）x+y+2=0或3x+y=0；（2）x-3y-10=0． 【分析】（1）求得横截距和纵截距，由此列方程求得的值，从而求得直线的方程. （2）求得直线所过定点，根据求得直线的斜率，由此求得直线的方程. 【详解】（1）依题意得，a+1≠0． 令x=0，得y=a-2；令y=0，得x=． ∵直线l在两坐标轴上的截距相等， ∴a-2=，化简，得a(a-2)=0， 解得a=0或a=2． 因此，直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0． （2）直线l的方程可化为a(x-1)+x+y+2=0． 令解得因此直线l过定点A(1，-3)． 由题意得，OA⊥l时，O点到直线l的距离最大． 因此，kl==，∴直线l的方程为y+3=(x-1)，即x-3y-10=0． 26．（22-23高二上·四川绵阳·阶段检测）直线l过点，且横截距为纵截距的两倍，则直线l的方程是_____.（请用直线方程的一般式作答） 【答案】或 【分析】当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，结合题意即可求解 【详解】当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， 所以，解得， 所以直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得，解得， 所以直线方程为，即； 综上可知所求直线方程为或， 故答案为：或 27．（20-21高二·全国·课后作业）若直线过点，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先由直线方程求出截距分别为和，结合直线过，可得，由基本不等式“1”的妙用即可求解 【详解】因为直线，当时，，当时，，所以该直线在x轴与y轴上的截距分别为b，a，又直线过点，所以，即，所以，当且仅当时等号成立．所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4. 故选：D． 28．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如果，，那么直线经过的所有象限是________． 【答案】一，三，四 【分析】将直线方程化为斜截式，即可得到斜率与纵截距，从而判断. 【详解】因为，，所以，，均不为零， 直线即， 所以，，所以直的斜率且与轴交于负半轴， 所以直线经过一、三、四象限. 故答案为：一、三、四 29．（25-26高二上·辽宁大连·期末）（多选）下列命题正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．与直线关于轴对称的直线方程是 C．若点在直线上，则直线方程还可以写成 D．若直线方程为，则直线倾斜角为 【答案】BC 【分析】对A，由直线方程求出斜率进而判断；对B，由对称性求得直线斜率，再根据点斜式求出直线方程；对C，由题可得，进而得，化简得解；对D，由直线方程求得斜率，进而求得倾斜角得解. 【详解】对于A，直线的斜率，而方向向量对应直线的斜率为，故A错误； 对于B，直线的斜率为，与轴交于点，所以关于轴对称的直线斜率为，且过点， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于C，由点在直线上，得， 所以，即，故C正确； 对于D，直线的斜率为，所以倾斜角为，故D错误. 故选：BC. 30．（18-19高二上·上海徐汇·期末）若直线过点，且平行于向量，则直线的点方向式方程为________． 【答案】 【分析】利用平行向量求出直线斜率，可得点斜式方程，化简即可得结果. 【详解】因为直线过点，且平行于向量， 所以直线的斜率， 直线方程为， 则直线的点方向式方程为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线的点方向式方程，正确理解点方向式方程的定义是解题的关键. 31．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线的一个方向向量为，直线经过点，且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解即得 【详解】直线的一个方向向量为，则直线的斜率为， ∵， ∴直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 32．（21-22高二·全国·课后作业）若直线的点法式方程为，则下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项代入方程验证即可. 【详解】将、、、代入显然只有使等式成立. 故选：A. 33．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）（多选）平面直角坐标系中直线的方程为：，则下列说法正确的有（   ） A．直线没有经过第三象限 B．直线的一个方向向量为 C．直线的一个法向量为 D．直线在两坐标轴上的截距之和等于 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜截式方程判断斜率和截距，再根据直线的方向向量和法向量的知识点判断即可. 【详解】选项A：将直线方程化为斜截式方程. 斜率为，直线下降，截距为，直线与轴正半轴相交，因此直线不经过第三象限，故选项A正确. 选项B：，因此不是该直线的方向向量，故选项B错误. 选项C：因为直线的方程为，所以其一个法向量为。由于，所以也是该直线的一个法向量，故选项C正确. 选项D：直线的方程为：，令，则；令，则. 所以截距之和为：.故选项D正确. 故答案为：ACD. 34．（23-24高二上·辽宁·阶段检测）直线经过点且一个法向量为，则直线的一般式方程为______. 【答案】 【分析】由直线的法向量可得直线的方向向量，进而可得直线的斜率，由直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】因为直线的法向量为， 则直线的方向向量为， 直线的斜率为， 由点斜式可得：， 即， 故答案为：. 题型五：直线过定点 35．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 36．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）方程转化成，由且，得到，再由，得到； （2）由中点坐标公式得到的中点坐标即可求解； （3）法一：由动点在上运动和动点在上运动，由斜率的几何意义即可求解；法二：确定线段的方程为且，设，联立得到，即可求解. 【详解】（1） 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点         设，则， 故则， 解得，故 （2）由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，             综上可得.        法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③     设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 37．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 38．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段检测）当点到直线的距离最大时，直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，则当时，点到直线的距离最大，再通过斜率计算即可得，即可得直线的一般式方程. 【详解】可化为， 令，解得，即直线过定点， 则当时，点到直线的距离最大， 即有，解得， 此时直线为， 化简得. 故选：A. 39．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 题型六：直线的位置关系 40．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 41．（18-19高二上·江西赣州·阶段检测）是直线与直线平行的 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【详解】当m=4，则两直线方程分别为：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，满足直线平行， 当m=0时，直线方程分别为：， ，两直线不平行； 当3m - 4=0，即时，直线方程分别为： ，2x+y+3=0，两直线不平行； 由直线与直线平行，可知两直线斜率相等， 即 ，解得m=2或m=4； 当m=2时，两直线重合，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选C. 【点睛】考查存在斜率的两直线平行的充要条件，根据直线方程求直线斜率，以及充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念,注意求出m值后，代入直线方程，验证两直线是否重合，直线平行不包括直线重合这一情况. 42．（24-25高二上·四川南充·阶段检测）（多选）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意； 故选：ACD． 43．（21-22高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 【答案】ABD 【分析】举例即可说明A、C；分以及，得出直线与直线的关系，即可得出B项；根据直线垂直列出方程，求解方程，即可说明D项. 【详解】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 故选：ABD. 44．（21-22高二上·湖北孝感·期中）已知，动直线：过定点A，动直线：过定点，若直线与相交于点异于点A，，则周长的最大值为___________. 【答案】 【分析】由动直线的方程可得动点A，的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得的值，再由不等式的性质可得的最大值，进而求出周长的最大值. 【详解】解：因为动直线：过定点， 动直线：，整理可得，可得定点， 因为， 所以两条直线垂直，设交点为，则， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以周长为， 故答案为：. 45．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线和的方程，求得定点的坐标，可判定A正确，B不正确；根据两直线位置关系的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 46．（19-20高二上·辽宁大连·阶段检测）已知两直线和 （1）若，求实数的值； （2）试判断与是否平行. 【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）根据垂直关系可得，解方程组即可得解； （2）假设两直线平行，求解参数的取值，检验重合情况即可得解. 【详解】（1）由已知条件得，故所求实数的值为. （2）由，得，即，解得或. 当时，的方程为，的方程为，显然两直线平行. 当时，的方程为，的方程为，显然两直线重合. 所以，当时，；当时两直线不平行. 【点睛】此题考查根据两条直线的位置关系求解参数的取值，需要注意在根据公式解决直线平行问题时应考虑直线重合情况. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线基础与两线位置关系 题型一 倾斜角与斜率 题型二 倾斜角与斜率的取值范围 题型三 三点共线 题型四 直线方程 题型五 直线过定点 题型六 直线的位置关系 题型一：倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·海南三亚·期中）下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（25-26高二上·辽宁·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 6．（21-22高二上·辽宁大连·阶段检测）直线l经过，两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：倾斜角与斜率的取值范围 7．（24-25高二上·山东·阶段检测）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 9．（23-24高二上·辽宁·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山东·阶段检测）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 12．（20-21高二上·辽宁阜新·期末）已知坐标平面内三点，，，若为线段上一动点，求直线的斜率的取值范围___________. 13．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为__________. 14．（20-21高二上·辽宁锦州·期末）已知点，若直线与线段不相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：三点共线 15．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则________. 16．（19-20高二上·辽宁·阶段检测）（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值. （2）若，，三点共线，求实数的值. （3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程. 题型四：直线方程 17．（2026·辽宁大连·二模）已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．与、的具体值有关 18．（24-25高二下·河南南阳·期末）设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 19．（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·广东深圳·期中）写出满足下列条件的直线的方程. (1)经过点，斜率是； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在轴上的截距是7； (4)在轴上的截距是2，且与轴平行； 21．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 22．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 23．（19-20高二下·上海·课后作业）若点在过两点的直线上，则实数的值是________. 24．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知三角形的三个顶点，求： (1)AC边所在直线的方程 (2)BC边上中线所在直线的方程． 25．（21-22高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知直线l：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)． （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）当O(0，0)点到直线l的距离最大时，求直线l的方程． 26．（22-23高二上·四川绵阳·阶段检测）直线l过点，且横截距为纵截距的两倍，则直线l的方程是_____.（请用直线方程的一般式作答） 27．（20-21高二·全国·课后作业）若直线过点，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 28．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如果，，那么直线经过的所有象限是________． 29．（25-26高二上·辽宁大连·期末）（多选）下列命题正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．与直线关于轴对称的直线方程是 C．若点在直线上，则直线方程还可以写成 D．若直线方程为，则直线倾斜角为 30．（18-19高二上·上海徐汇·期末）若直线过点，且平行于向量，则直线的点方向式方程为________． 31．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线的一个方向向量为，直线经过点，且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 32．（21-22高二·全国·课后作业）若直线的点法式方程为，则下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）（多选）平面直角坐标系中直线的方程为：，则下列说法正确的有（   ） A．直线没有经过第三象限 B．直线的一个方向向量为 C．直线的一个法向量为 D．直线在两坐标轴上的截距之和等于 34．（23-24高二上·辽宁·阶段检测）直线经过点且一个法向量为，则直线的一般式方程为______. 题型五：直线过定点 35．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 37．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段检测）当点到直线的距离最大时，直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 题型六：直线的位置关系 40．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 41．（18-19高二上·江西赣州·阶段检测）是直线与直线平行的 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 42．（24-25高二上·四川南充·阶段检测）（多选）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 43．（21-22高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 44．（21-22高二上·湖北孝感·期中）已知，动直线：过定点A，动直线：过定点，若直线与相交于点异于点A，，则周长的最大值为___________. 45．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 46．（19-20高二上·辽宁大连·阶段检测）已知两直线和 （1）若，求实数的值； （2）试判断与是否平行. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $