浙江省杭州高级中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

**基本信息** 杭高高三9月月考数学卷聚焦一轮复习需求，以函数、立体几何、导数、圆锥曲线等核心知识为载体，通过实际情境（如最佳射门点）与逻辑推理（如导数零点讨论）考查数学眼光、思维与语言，适配高三综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数性质、向量关系、统计残差|第8题概率模型结合不放回抽样，考查数学思维的严谨性| |填空题|3题/15分|百分位数、复数运算、圆锥曲线离心率|第14题以射门情境抽象圆锥曲线，体现数学眼光的建模能力| |解答题|5题/77分|数列证明与求和、解三角形、导数零点、圆锥曲线综合|第19题结合动点最值与多边形面积，关联高考真题中实际问题转化趋势，考查数学语言的表达与应用|

题号 1 2 3 4 答案 A B B 题号 9 10 11 答案 ACD AD BCD 12.9 13.4万+4 14.万 15.【详解】(1)由题意，当n=1时，4+S=24=3×1-1=2,解得4=1， 当n≥2时，由a。+S。=31-1①，可得a-1+S-1=3(n-1)-1②， ①-②，可得2a。=a+3,即-2a=-a1-3, 两边同时加6，可得6-2a=6-a-3=3-a1, 1 b=3-0,2b=b1即0=5力1 乌=3-4=3-1=2，数列0}是以2为首项，三为公比的等比数列， 数列色的通项公式为，-2日-周厂。 2)由山知，。-，则=3-m6-3m⑤ 工2周”+1周+j++-m目。 2+1+2-m+g-m, 两武相陵得-固周付++周(6-周 o哈安 T=4+n-1 2-了 16.(1)解：因为cos2A+cos2B+sinC=sin Asin B+2, 所以：1-sin2A+1-in2B+sim2C=sin Asin B+2, sin'C-sin'A-sin'B=sin AsinB, 由正弦定理得c2-a2-b2=ab,即a2+b2-c2=-ab, 由余流定理得oC:的。号 又ce(0,),所以c=2π (2)解：因为Sc=S4m+ScD, 所片a6m于-0骨片a4A0号解得cD-g 32 atb 由余弦定理得c2=d+b2-2 ab cosC,即4=a2+b2+ab, 设s=a+b,p=ab,则4=s2-p, 由基本不等式：b≤（生}=号，故=s2-4≤号。 解得s2≤兰，故s≤， 3 又s=a+b>c=2,所以se(2,, 因此cD===s-e(0,哥 【详解】(1)由4D=5,AB=26,D=,可得：AD+BD=+与4 3 2_8=AB 数学试题参考答案 5 6 D A C 8 B 杭高2026学年第一学期高三9月月考 （数学）试题卷 命题：贡院高三数学备课组 审题：钱江高三数学备课组 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方。 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。 4．考试结束后，只需上交答题纸。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则 （    ） A．4 B．2 C． D． 2．已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（    ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A． B． C． D． 4．已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.6 4.0 5.6 5.8 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 5．已知Q(4,3), N(2,0)，M为抛物线上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知关于的方程在内有2个不同的解，，则（    ） A． B． C． D．1 7．已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．某工厂某次送检的产品中有3件一等品和2件二等品，质检员每次从这批产品中随机抽取一件进行检测，若抽到一等品则放回，若抽到二等品则不放回（留作下一步检验）．记为进行了次检测后，二等品恰好全部被抽出的概率，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在三棱台中，底面，，分别为棱的中点，则下列判断正确的有（    ） A． B．平面 C．直线与直线共面 D．直线与直线异面 10．下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（    ） A．各项系数之和为 B．各项系数的绝对值之和为 C．不存在项 D．常数项为 11．已知函数交轴于点，（），交轴于点，则（    ） A．取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了8周的跑步数据（单位：千米）：，则这组数据的第40百分位数为________． 13．已知是正实数，复数，，若的实部与虚部相等，则的最小值为________． 14．如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点．而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上．则该曲线的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前项和为，且. （1）设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16．（15分） 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 17．（15分） 如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求四面体外接球的体积； （3）求的长． 18．（17分） 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）若，求实数的取值范围. 19．（17分） 已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为． （1）求曲线E的方程； （2）已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，． （ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率； （ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $