精品解析：陕西西安铁一中滨河高级中学2026届高三第八次模拟考数学试卷

保密★启用前 西安铁一中滨河高级中学2026届高三八模数学 一、单选题（共40分） 1. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. － B. 1 C. －1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算及加减法运算求得复数z，再根据复数虚部的定义即可得出答案. 【详解】解：因为， 则，所以， 所以复数z的虚部为-1. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】，， 故选：C． 3. “函数是幂函数”是“函数值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先已知条件计算参数m的取值，再根据包含关系判断充分条件和必要条件即可. 【详解】“函数是幂函数”等价于：，即，故 或 ，即取值集合为； “函数值域为”等价于：中， 且， 即，故 ，即取值集合为. 故 是 的真子集，“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，即“函数是幂函数”是“函数值域为”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1） 是的必要不充分条件，等价于对应集合是 对应集合的真子集； （2） 是的充分不必要条件，等价于 对应集合是对应集合的真子集； （3） 是的充分必要条件，等价于 对应集合与对应集合相等； （4） 是的既不充分又不必要条件，等价于对应集合与 对应集合互不包含． 4. 某地为了促进消费，带动相关产业的发展，先后发放了6次消费券，且每次发放的消费券数额相同，下表为该地这6次发放消费券带动的消费金额 （单位：亿元）： 消费券发放次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 编号 1 2 3 4 5 6 消费金额 (亿元) 2.5 2.8 3.1 3.4 3.8 已知 与 具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则（ ） A. 1 B. 1.6 C. 2.9 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据经验回归直线必过样本点的中心及平均数的计算公式计算即可. 【详解】由题意可得， 因为经验回归直线必过样本点的中心， 所以将代入，可得， 故，解得 . 故选：D. 5. 函数的部分图像如图（粗实曲线），则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像知道定义域，从而求出参数的值，再代入点即可求出 的值. 【详解】由函数图像可知，函数定义域， 即的解集为，也就是即的解为, ∴，∴，∴， ∵函数图像经过点，∴，∴ . 故选：B. 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长可求出底面圆半径，进而求得圆锥的高，利用体积公式可得结果. 【详解】 设圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，高为 ，则， 由题意得，，解得， ∴， ∴圆锥的体积为. 故选：B. 7. 不等式对任意 恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意 有意义，则，即．然后分， ， 讨论求解. 【详解】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意 有意义，则，即．当时，若对任意 恒成立，则；当 时，对于 恒成立，则当时，，与已知矛盾；当 时，在 上单调递增，则要使得在 时恒成立，必有成立．所以，且，所以，当且仅当，即 时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 8. 如图，已知直线， 为之间一定点，并且点 到的距离为2，到的距离为1. 为直线上一动点，作 ，且使 与直线交于点 ，则△ 面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系．直线 的斜率存在，设方程为： ，，直线 的方程为：，可得 的面积，再利用基本不等式的性质即可得出．或者利用锐角三角函数，结合二倍角公式以及三角函数的性质及可求解. 【详解】解法一：不妨将图形顺时针旋转，然后以点 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 直线 的斜率存在，设方程为： ，． 则直线 的方程为：， ，． 的面积， 当且仅当时取等号． 的面积最小值为2． 故选：C． 解法二： 设角则，故 所以 的面积 由于，所以，故当时，面积取最小值2， 故选：C 二、多选题（共18分） 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线与直线 的距离为 D. 过点且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；根据两平行直线间的距离公式即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为 ，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线 化为， 则这两平行直线间的距离为，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在 轴， 轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 故选：BC． 10. 若公比为的等比数列的前 项积为，，，，则（ ） A. B. C. 中最小 D. 使成立的最小正整数 的值是4050 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等比数列通项公式，确定，再结合等比数列下标和的性质逐个判断即可. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以，所以，A对， 由，，可知单调递增， 又，所以， 所以，B对， 当时，，当时，， 所以最小，故C错， 因为为正项递增数列，且， 所以使成立的最小正整数 的值是4050，D对， 故选：ABD 11. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于，点 为该部分图象与 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿 轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部的点Q构成的集合.设集合，则 表示的区域的面积小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】在图2中，以点 为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据已知条件求出 的值，即可判断A；结合的取值范围求出的值，可判断B；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C；求出，结合扇形的面积公式可判断D. 【详解】函数的最小正周期为， 对于A，在图2中，以点 为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设点，则点、， ，因为 ，解得，故A正确； 对于B，，则，可得， 又因为函数在 附近单调递减，且，所以，， 所以，，故B错误； 对于C，因为，可得， 又因为点 是函数的图象在 轴左侧距离 轴最近的最高点，则，可得， 因为点 是函数在 轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得， 翻折后，则有、、、， 所以，，， 所以，在图2中，，故C正确； 对于D，在图2中，设点，， 可得， ，，， 易知为锐角，则， 所以，区域 是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部， 故区域 的面积，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（共15分） 12. 已知，为相互垂直的单位向量，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，为相互垂直的单位向量， 所以， 所以. 13. 一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数（第75百分位数）为 ，则展开式中的常数项为______. 【答案】10 【解析】 【分析】求数据中的四分位数得，利用二项式展开式通项求常数项即可. 【详解】由题设，则， 所以，展开式通项为， 当，则，即常数项为 . 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线 在第一象限交于点 ，若，则双曲线 的离心率______. 【答案】3 【解析】 【分析】先求出抛物线方程为，设点 的坐标为，求出，及，在中，，即可求解． 【详解】如图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 则，得，得抛物线方程为， 设抛物线与双曲线 在第一象限交于点 的坐标为， 过点 作 准线，交准线于点 ，则， 由，得，得， 再由及，解得， 由，得， 在中，， 整理得，得， 即，得. 故答案为：3 四、解答题（共77分） 15. 如图，已知四边形 是直角梯形， ， ，平面 ，， 是的中点. （1）证明：. （2）求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积证明线线垂直； （2）根据线面角的向量求法即可求出. 【小问1详解】 以 为原点， ， ，所在直线分别为 轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以. 【小问2详解】 在平面中，，，. 设平面的法向量为，则， 即，所以， 令 ，则 ， ，所以. 故直线 与平面所成角的正弦值为. 16. 已知函数. （1）若 ，求在上的最大值与最小值； （2）若在上单调递增，求实数 的取值范围. 【答案】（1）最大值为17，最小值为1； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到极值和端点值，比较后得到最值； （2）求导，参变分离得到在上恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案. 【小问1详解】 时，，， ， 在区间上，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 所以在上的最大值为17，最小值为1； 【小问2详解】 ， 在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立 故，从而实数 的取值范围为. 17. 在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系． （1）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据： 选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计 用户年龄段19—24岁 40 50 用户年龄段25—34岁 30 合计 是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？ （2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率； （3）元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点． 参考公式：，其中 ． 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论； （2）应用独立事件乘方公式、互斥事件概率加法，求小李第二天去乙直播间购物的概率； （3）由题设可得，利用导数研究其单调性求上的最大值即可. 【小问1详解】 列联表如下： 选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计 用户年龄段19—24岁 40 10 50 用户年龄段25—34岁 20 30 50 合计 60 40 100 所以，故有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关. 【小问2详解】 由题设，小李第二天去乙直播间的基本事件：{第一天去甲直播间，第二天去乙直播间}；{第一天去乙直播间，第二天去乙直播间}，两种情况， 所以小李第二天去乙直播间购物的概率. 【小问3详解】 由题设，设五人中下单成功的人数为 ，则， 所以，令， 所以，令， 所以， 开口向下，且在上递增，上递减，又， 故上，递减；上，递增； 由，，故上，即，上，即， 所以在上递增，上递减，即在上递增，上递减， 所以，即. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为， 为椭圆 上异于的两点． （1）求椭圆 的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线 过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线 的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【小问1详解】 依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 ①依题意由（1）知，直线 的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知， 在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 19. 已知数列（n是正整数），与数列（n是正整数）．记． （1）若，求r的值； （2）求证：当n是正整数时，； （3）已知，且存在正整数m，使得在中有4项为100，求r的值，并指出哪4项为100． 【答案】（1）4 （2）答案见解析 （3），为100 【解析】 【分析】（1）求出数列的前12项，利用，即可求 的值； （2）利用数学归纳法证明，当n是正整数时，； （3）写出的值，判断这12项中的4项为100，然后求出 的值，即可求出哪4项为100． 【小问1详解】 . ， . 【小问2详解】 用数学归纳法证明：当n是正整数时，. ①当 时，，等式成立. ②假设( 是正整数)时，等式成立，即， 那么当时， ，等式也成立. 根据①和②可以断定：当n是正整数时，. 【小问3详解】 (). 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 是奇数，，，均为负数， 这些项均不可能取到100. ，解得，， 此时为100. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 西安铁一中滨河高级中学2026届高三八模数学 一、单选题（共40分） 1. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. － B. 1 C. －1 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. “函数是幂函数”是“函数值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某地为了促进消费，带动相关产业的发展，先后发放了6次消费券，且每次发放的消费券数额相同，下表为该地这6次发放消费券带动的消费金额 （单位：亿元）： 消费券发放次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 编号 1 2 3 4 5 6 消费金额 (亿元) 2.5 2.8 3.1 3.4 3.8 已知 与 具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则（ ） A. 1 B. 1.6 C. 2.9 D. 3 5. 函数的部分图像如图（粗实曲线），则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式对任意 恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，已知直线， 为之间一定点，并且点 到的距离为2，到的距离为1. 为直线上一动点，作 ，且使 与直线交于点 ，则△ 面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线与直线 的距离为 D. 过点且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 10. 若公比为的等比数列的前 项积为，，，，则（ ） A. B. C. 中最小 D. 使成立的最小正整数 的值是4050 11. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于，点 为该部分图象与 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿 轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部的点Q构成的集合.设集合，则 表示的区域的面积小于 三、填空题（共15分） 12. 已知，为相互垂直的单位向量，则__________. 13. 一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数（第75百分位数）为 ，则展开式中的常数项为______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线 在第一象限交于点 ，若，则双曲线 的离心率______. 四、解答题（共77分） 15. 如图，已知四边形 是直角梯形， ， ，平面 ，， 是的中点. （1）证明：. （2）求直线 与平面所成角的正弦值. 16. 已知函数. （1）若 ，求在上的最大值与最小值； （2）若在上单调递增，求实数 的取值范围. 17. 在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系． （1）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据： 选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计 用户年龄段19—24岁 40 50 用户年龄段25—34岁 30 合计 是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？ （2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率； （3）元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点． 参考公式：，其中 ． 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为， 为椭圆 上异于的两点． （1）求椭圆 的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线 过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 19. 已知数列（n是正整数），与数列（n是正整数）．记． （1）若，求r的值； （2）求证：当n是正整数时，； （3）已知，且存在正整数m，使得在中有4项为100，求r的值，并指出哪4项为100． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $