14.2.5直角三角形全等的判定（HL）导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦直角三角形全等的HL判定，通过前置补偿复习全等三角形性质、判定及直角三角形概念，以“两边及对角对应相等在直角三角形中是否全等”的问题导入，搭建从SSA到HL的认知支架。 以叠合推理分步探究HL由来，培养几何直观与推理意识，小组合作辨析HL与SSA区别及判定方法选择，发展批判性思维，分层作业与规范书写训练提升数学语言表达，助力学生掌握判定逻辑与应用能力。

14.2.5 直角三角形全等的判定（HL）导学案【解析版】 【学习目标】 1. 深度研读课本探究 5 叠合推理过程，一步步推导 HL 判定的由来，理解为什么 “斜边和一条直角边对应相等” 可以判定直角三角形全等。 2. 掌握 HL 判定的文字描述、适用条件、规范几何书写；能辨析：普通三角形 “两边及其中一边对角” 不能全等，但直角三角形 HL 可以全等的本质原因。 3. 能区分直角三角形全部全等判定方法，会挖掘公共斜边、公共直角边、垂直带来的直角等隐含条件完成证明。 4. 通过小组合作探究，辨析易混模型，提升严谨推理、规范书写证明过程的能力。 学习重点：HL 判定；直角三角形全等证明书写。 学习难点：读懂课本探究 5 叠合说理；辨析 HL 与 “两边及其中一边对角” 的区别；综合选择判定方法解题。 【前置补偿】 1. 全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。 2. 三角形全等判定：SAS、ASA、AAS、SSS。 3. 直角三角形记作Rt△；直角三角形两个锐角的关系：互余。 4. 思考：举例说明。在三角形中，“两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等”。 设问：如果这个三角形是直角三角形，这个 “对角” 恰好是直角，此时两边（斜边、一条直角边）对应相等，三角形是否一定全等？ 答：普通三角形 SSA 会出现一锐、一钝两种不同三角形，不全等；直角三角形中，对角固定为 90°，不会出现两种情况，因此斜边、一条直角边对应相等，直角三角形一定全等。 【学生自学】 ①课本探究 5：叠合推理，一步步推导 HL 判定； ②辨析思考：为什么普通三角形 SSA 不行，直角三角形 HL 可行； ③例 6：运用 HL 完成证明； 探究一（ 课本探究 5）：斜边、直角边（HL）深度分步探究 已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，BC=B'C'，这两个三角形全等吗？ 第一步叠合操作：把两个直角三角形叠合，使点 C' 与点 C 重合；使射线 C'A' 落在射线 CA 上；射线 C'B' 落在射线 CB 上。因为 B'C'=BC，所以点 B' 与点 B重合。 第二步关键思考：现在点 B' 已经和点 B 重合，点 A' 落在射线 CA 上。 设问：射线 CA 上面有无数个点，为什么满足 A'B'=AB 时，点 A' 只能与点 A 重合？ （唯一推理：在射线 CA 上，从点 B 出发向射线 CA 上任意一点作连线，到点 B 距离等于线段 AB 的点有1个。） 已知条件 A'B'=AB，因此落在射线 CA 上的点 A' 只能与点 A重合。 第三步得出全等：三个顶点 A' 与 A，B' 与 B，C' 与 C 全部重合。 ∴Rt△A'B'C' 与 Rt△ABC 能够完全重合。 基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 简写：斜边、直角边 或 HL。 ⚠关键限定：HL 只能用于直角三角形，普通三角形不能使用 HL。 几何语言模板： 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90° { AB=A'B'（斜边） BC=B'C'（直角边） } ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL) 探究深度辨析 HL 的两组相等条件，一组必须是斜边，另一组必须是一条直角边。 HL 本质也是 “两边及其中一边的对角相等”，这里的 “对角” 是直角。普通三角形 SSA 不全等，直角三角形因为直角固定，消除了一锐一钝两种不同三角形的可能性，所以 HL 可以判定全等。 探究二 例 6：AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC=BD。求证：BC=AD。 分析引导： 由垂直，得到∠C=∠D=90°，因此△ABC、△BAD 都是直角三角形； 观察图形，AB 是两个直角三角形的公共斜边； 已知条件给出一组直角边相等 AC=BD，满足 HL 的条件。 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD（已知） ∴∠C=∠D=90°。 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中 { AB=BA（斜边，公共边） AC=BD（直角边，已知） } ∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) ∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）。 探究三 小组合作・合作探究 问题 1：有同学说：“只要两个直角三角形有两条边对应相等，就一定可以用 HL 证明全等。” 这个说法是否正确？结合例子说明你的理由。 答：说法错误。HL 要求必须是斜边 + 一条直角边对应相等；若相等的两条边都是直角边，则属于两边夹直角，应该用 SAS 判定全等，不能使用 HL。 问题 2：我们一共学习了五种判定直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL。请思考： ①已知一条直角边和一个锐角对应相等，可以选用哪几种判定？ASA、AAS ②已知斜边和一个锐角对应相等，可以选用哪几种判定？AAS ③已知两条直角边对应相等，可以选用哪几种判定？SAS、SSS 问题 3：图形中经常出现公共斜边，如图例 6，公共斜边 AB，它在两个直角三角形里面，它本身不提供直角边相等。思考：公共斜边作为 HL 条件使用，还必须再找到什么条件，才能用 HL 证全等？ 答：还需要再找到一组直角边对应相等，才满足 HL“斜边 + 一条直角边” 的完整条件。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 1. HL 适用对象仅限直角三角形；证明书写，一定要写明两个三角形是直角三角形。 2. HL 属于特殊版 “SSA”，因为直角固定，消除普通三角形 SSA 的两种不同图形的可能性，所以可以判定全等。 3. 直角三角形全等可以选用全部 5 种方法，优先观察条件，选择最简方法。 常见隐含条件：公共斜边、公共直角边、垂直得到 90°、同角（等角）的余角相等。 【课内自测】 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB。D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？ 解：D、E 到路段 AB 的距离相等。 证明： ∵C 是 AB 中点，∴AC=BC。 由题意两人速度相同同时到达，得 DC=EC。 ∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°。 在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中 { DC=EC AC=BC } ∴Rt△ACD≌Rt△BCE (HL) ∴DA=EB，即 D、E 到 AB 的距离相等。 2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE=BF。求证：AE=DF。 证明： ∵CE=BF，∴CEEF=BFEF，∴CF=BE。 ∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°。 在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中 { AB=CD BE=CF } ∴Rt△ABE≌Rt△DCF (HL) ∴AE=DF。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（C） A. 一条直角边和一个锐角对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一个锐角对应相等 2.如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是高，求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD. 证明： ∵AD 是高，∴∠ADB=∠ADC=90°。 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中 { AB=AC AD=AD } ∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD。 B 组【能力提升】 3. 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为 C，B，AB=DC. 求证：∠ABD=∠ACD。 证明： ∵AC⊥CB，DB⊥CB，∴∠C=∠B=90°。 在 Rt△ACB 和 Rt△DBC 中 { AB=DC BC=CB } ∴Rt△ACB≌Rt△DBC (HL) ∴∠ABC=∠DCB。 ∵∠ACB=∠DBC=90° ∴90°−∠ABC =90°−∠DCB 即∠ABD=∠ACD。 C 组【拓广探索】 4. 如图，从 A 地看 B、C 两地的视角是锐角，A 地与 B、C 两地的距离相等，B 地到路段 AD 的距离与 C 地到路段 AD 的距离相等吗？为什么？ 解：相等。 证明：过点 B 作 BE⊥AD 于 E，过点 C 作 CF⊥AD 于 F，∴∠AEB=∠AFC=90°。 ∵AB=AC，∴∠B=∠C。 在 Rt△ABE 和 Rt△ACF 中 { ∠AEB=∠AFC ∠B=∠C AB=AC } ∴Rt△ABE≌Rt△ACF (AAS) ∴BE=CF，即 B、C 两地到路段 AD 距离相等。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2.5 直角三角形全等的判定（HL）导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 深度研读课本探究5叠合推理过程，一步步推导HL判定的由来，理解为什么 “斜边和一条直角边对应相等” 可以判定直角三角形全等。 2. 掌握 HL 判定的文字描述、适用条件、规范几何书写；能辨析：普通三角形 “两边及其中一边对角” 不能全等，但直角三角形 HL 可以全等的本质原因。 3. 能区分直角三角形全部全等判定方法，会挖掘公共斜边、公共直角边、垂直带来的直角等隐含条件完成证明。 4. 通过小组合作探究，辨析易混模型，提升严谨推理、规范书写证明过程的能力。 学习重点：HL 判定；直角三角形全等证明书写。 学习难点：读懂课本探究 5 叠合说理；辨析 HL 与 “两边及其中一边对角” 的区别；综合选择判定方法解题。 【前置补偿】 1.全等三角形性质：全等三角形________边相等，________角相等。 2. 三角形全等判定： 、 、 、 。 3. 直角三角形记作________；直角三角形两个锐角的关系：________。 4.思考：举例说明。在三角形中，“两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等”。 设问：如果这个三角形是直角三角形，这个 “对角” 恰好是直角，此时两边（斜边、一条直角边）对应相等，三角形是否一定全等？ 【学生自学】 ①课本探究 5：叠合推理，一步步推导 HL 判定； ②辨析思考：为什么普通三角形 SSA 不行，直角三角形 HL 可行； ③例 6：运用 HL 完成证明； 探究一（ 课本探究 5）：斜边、直角边（HL）深度分步探究 已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，BC=B'C'，这两个三角形全等吗？ 第一步叠合操作：把两个直角三角形叠合，使点 C'与点C重合；使射线 C'A' 落在射线CA上；射线 C'B' 落在射线CB上。因为B'C'=BC，所以点B'与点 B______。 第二步关键思考：现在点B' 已经和点B重合，点A' 落在射线 CA 上。 设问：射线 CA 上面有无数个点，为什么满足A'B'=AB 时，点 A' 只能与点 A 重合？ （唯一推理：在射线 CA 上，从点B出发向射线 CA 上任意一点作连线，到点B 距离等于线段AB 的点有________个。） 已知条件 A'B'=AB，因此落在射线 CA 上的点A' 只能与点 A________。 第三步得出全等：三个顶点 A' 与 A，B' 与 B，C' 与 C 全部重合。 ∴Rt△A'B'C' 与 Rt△ABC 能够完全________。 基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 简写：____________ 或 ____________。 ⚠关键限定：HL 只能用于________三角形，普通三角形不能使用 HL。 几何语言模板： 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90° ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(______) 探究深度辨析 HL 的两组相等条件，一组必须是________，另一组必须是________。 HL 本质也是 “两边及其中一边的对角相等”，这里的 “对角” 是________角。普通三角形 SSA 不全等，直角三角形因为直角固定，消除了一锐一钝两种不同三角形的可能性，所以HL可以判定全等。 探究二 例 6：AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC=BD。求证：BC=AD。 分析引导： 由垂直，得到∠C=∠D=90°，因此△ABC、△BAD 都是________三角形； 观察图形，AB 是两个直角三角形的________； 已知条件给出一组直角边相等 AC=BD，满足 HL 的条件。 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD（已知） ∴________________。 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中 ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(______) ∴BC=AD（________________________________）。 探究三 小组合作・合作探究 要求：小组交流，结合本节课课本探究内容，讨论下面 3 个问题，小组形成统一观点，做好记录，准备全班展示。 问题 1：有同学说：“只要两个直角三角形有两条边对应相等，就一定可以用 HL 证明全等。” 这个说法是否正确？结合例子说明你的理由。 问题 2：我们一共学习了五种判定直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL。请思考： ①已知一条直角边和一个锐角对应相等，可以选用哪几种判定？________ ②已知斜边和一个锐角对应相等，可以选用哪几种判定？________ ③已知两条直角边对应相等，可以选用哪几种判定？________ 问题 3：图形中经常出现公共斜边，如图例6，公共斜边 AB，它在两个直角三角形里面，它本身不提供直角边相等。思考：公共斜边作为 HL 条件使用，还必须再找到什么条件，才能用HL证全等？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 1. HL适用对象仅限直角三角形；证明书写，一定要写明两个三角形是直角三角形。 2. HL属于特殊版 “SSA”，因为直角固定，消除普通三角形SSA 的两种不同图形的可能性，所以可以判定全等。 3. 直角三角形全等可以选用全部 5 种方法，优先观察条件，选择最简方法。 常见隐含条件：公共斜边、公共直角边、垂直得到 90°、同角（等角）的余角相等。 【课内自测】 1. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB。D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？ 2. 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE=BF。求证：AE=DF。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一条直角边和一个锐角对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一个锐角对应相等 2. .如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD. B 组【能力提升】 3.如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC.求证：∠ABD=∠ACD。 C 组【拓广探索】 4.如图，从地看两地的视角是锐角，地与两地的距离相等，地到路段的距离与地到路段的距离相等吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $