3.1.1 椭圆的定义与标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义与标准方程，通过“温故而知新”回顾圆的定义，结合学生实验（细绳固定两点画椭圆）和动画演示，从旧知自然过渡到新知，明确定义中常数与焦距的关系，构建学习支架。 其亮点在于实验探究与问题链设计，学生动手操作抽象椭圆定义培养数学眼光，问题“常数为何大于焦距”引导推理发展数学思维，例题及轨迹方程应用强化模型观念。学生能深化理解，教师可高效开展教学。

2.1.1 椭圆的定义与标准方程 福建省漳州市 霞葛中学高二数学选修2-1 湖南湘教版 主讲教师：江阿情 圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹 温故而知新 (1)取一条细绳 (2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 学生实验 动画演示 1、椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a 的动点P的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距。即|F1F2|=2c P 2、椭圆定义式：|PF1| + |PF2| = 常数 则P点的轨迹是椭圆. （大于|F1F2|） 总结实验结论 F1 F2 P 若绳长小于 |F1F2| ，则轨迹为＿＿＿＿。 若绳长等于 |F1F2|，则轨迹为＿＿＿＿。 线段 不存在 ①若|PF1| + |PF2| = |F1F2| , 则P点的轨迹是线段F1F2. ② 若|PF1| + |PF2| < |F1F2| , 则P点的轨迹不存在. 3、注意事项： “为何‘常数’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？” P P F1 F2 试一试 平面内到两定点F1（-2，0）和 F2（2，0）的距离之和为4的点P的 轨迹是（ ） A.椭圆 B.线段 C.圆 D.以上均不正确 B 解：因为 所以 . 于是点 的轨迹方程为线段 . 7 标准方程的推导 ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁” O x y P F1 F2 方案一 O x y 方案二 F1 F2 P F1 F2 x y P( x , y ) F1 F2 x y P( x , y ) 椭圆上的点M满足|PF1|+|PF2|为定值， 设定值为2a, ︳F1F2︱=2c ，且2a>2c 即： O 标准方程的推导 即： 则|PF1|+|PF2|=2a ♦建 ♦设 ♦限 ♦代 ♦化 观察左图， 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗？ a2- c2 有什么几何意义？ 则方程可化为 思考 ？ 当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢? 类比 ① ② 这是焦点在 轴上的椭圆的标准方程。 标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上! 标 准 方 程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦 点 坐 标 a、b、c 的关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 y x M O F1 F2 变式训练1 若椭圆的方程为 则a = ,b = ,c = ，. 10 6 8 运用新知，认识椭圆 椭圆标准方程中　和　对应的分母哪个大， 则焦点在哪个轴上． 解题反思 例1、椭圆 中a = ____, b= ___， = ___. c 焦点坐标是 ，焦距是 ,椭圆上任一点到两焦点的距离之和为 。 焦点坐标是 。 8 例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,-2),(0,2), 并且经过点（3，2）.求它的标准方程. 应用一——求椭圆的标准方程 解:设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又因为 ,所以 因此, 椭圆的标准方程为: 有其他方法吗？ ② ① 设：定焦点， 设方程 求：从定义，椭圆上的点， 等方面求解. 另解:设椭圆的标准方程为: 因此, 椭圆的标准方程为: ∵焦点的坐标为 又∵椭圆经过点（3，2）， 联立①②,解得 变式训练2 求解满足下列条件的椭圆的标准方程： (1) 两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）, 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 两点的椭圆的标准方程。 (1) 两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）, 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； 解：设椭圆方程为 依题可知， 则 所以椭圆的标准方程是 . (2)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 两点的椭圆的标准方程。 解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为 依题意，有 解得 所以椭圆的标准方程是 当焦点在y轴时，设椭圆方程为 依题意，有 解得 （舍去） 综上所述，可知椭圆的标准方程是 . (2)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 两点的椭圆的标准方程。 另解： 解：设椭圆方程为 依题意，有 解得 所以椭圆方程为 . 解题反思 设椭圆方程的方法： 1.焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 2.焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 3.不确定焦点的位置，设椭圆方程为 1、学到了哪些知识？ 一个定义；两类方程；三个字母。 2、巩固了哪些数学方法？ 用坐标法求椭圆标准方程 3、运用了什么数学思想？ 数形结合 化归思想 课堂小结 课本 35页第2题 ， 40页习题1 第1题 作业布置 第二课时 C B 椭圆 的左、右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ） （A）32 （B）16 （C）8 （D）4 B O x y A F1 F2 B 1、 应用：求周长 应用：求面积 应用：轨迹方程 1. 已知B，C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。 解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy, 即|BC|=8，可知B(－4，0)，C(4，0)， 由|AB|+|AC|+|BC|=18，得|AB|+|AC|=10，因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 练习 即 2a=10，但A点不在x轴上， 由a=5，c=4，解得b2=9， 因此点A的轨迹方程是 再见 Lavf58.20.100 Tencent CAPD MTS (T-tech) 　已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(4y2,75)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 【精彩点拨】　因为∠F1PF2＝60°，所以要求Seq \s\do10(△F1PF2)，只要求|PF1|·|PF2|，可根据|PF1|＋|PF2|＝2a及|F1F2|＝2c，结合余弦定理求解． 【自主解答】　在△F1PF2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，且a2＝25，b2＝eq \f(75,4)， ∴c2＝25－eq \f(75,4)＝eq \f(25,4). ∴c＝eq \f(5,2)，即|F1F2|＝2c＝5. ∴25＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2| 25＝100－3|PF1||PF2|. ∴|PF1||PF2|＝25. ∴Seq \s\do10(△F1PF2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)×25×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(25\r(3),4). 1．椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义． 2．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq \f(1,2)absin C，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． [再练一题] 2.已知椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图2­1­1)．求△PF1F2的面积． 图2­1­1 【解】　由已知得a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1，从而|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4. 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4， 所以|PF2|＝4－|PF1|. 从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝eq \f(3,2). 所以△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×2＝eq \f(3,2)，即△PF1F2的面积是eq \f(3,2). 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆B：(x－3)2＋y2＝4，圆P与圆A内切，与圆B外切，求圆心P的轨迹方程． 【提示】　设圆P的半径为r，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|PA|＝10－r，,|PB|＝2＋r，)) 所以|PA|＋|PB|＝12>6＝|AB|， 故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝12，,2c＝6，)) 所以c＝3，a＝6，∴b2＝27， 所以点P的轨迹方程是eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1. 　已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，垂足为P′，点M在PP′上，并且eq \o(PM,\s\up12(→))＝2eq \o(MP′,\s\up12(→))，求点M的轨迹． 【点拨】eq \x(设动点Mx，y，Px0，y0) eq \x(找M，P的关系) eq \x(用点M坐标表示点P坐标) eq \x(代入圆方程) eq \x(得点M轨迹) 【解析】设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 则x0＝x，y0＝3y. ∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上， ∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝9. 将x0＝x，y0＝3y代入得x2＋9y2＝9，即eq \f(x2,9)＋y2＝1. ∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,9)＋y2＝1. eq \o(1.)用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．如需建系，注意应使椭圆是标准形式． eq \o(2.)（代换）当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为 (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)． (2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝gx，y，,y1＝hx，y.)) (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． [再练一题] 如图,P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程． 【解】　∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，连结AQ， ∴|AQ|＝|PQ|， ∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6， ∴点Q的轨迹为以A、B为 焦点的椭圆，且2a＝6,2c＝4， ∴点Q的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1. 2．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(y2,400)＋eq \f(x2,336)＝1 C.eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,36)＝1 D．eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,12)＝1 【解析】　由方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆知： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0，,2m－1＞0，,m≠2m－1，))解得m＞eq \f(1,2)且m≠1. 【答案】　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞\f(1,2)))且m≠1)) 3．设椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,m2－1)＝1(m＞1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m＝________. 【解析】　由题意椭圆焦点在x轴上，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2. 4．若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则m满足的条件是__________. 5．求经过点P(－2,3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点的椭圆． 【解】　椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±eq \r(5))，则可设所求椭圆的方程为eq \f(x2,λ)＋eq \f(y2,λ＋5)＝1(λ>0)． 把x＝－2，y＝3代入，得eq \f(4,λ)＋eq \f(9,λ＋5)＝1. 解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1. $