第2章 2.5 圆的方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件聚焦圆的方程核心内容，涵盖标准方程、一般方程及点与圆位置关系，通过知识辨析衔接基础概念与应用考点，构建从概念理解到问题解决的学习支架。 其亮点在于以问题驱动深化概念理解，如知识辨析引导学生探究方程表示圆的条件，典例解析呈现多种解法培养数学思维与表达能力。结合数学眼光观察几何关系，助力学生掌握解题方法，教师可高效开展分层教学。

知识点 1 圆的标准方程与一般方程 2.5 圆的方程 必备知识 清单破 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中圆心为点(a,b),半径为r. 2.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0: 当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形; 当D2+E2-4F=0时,表示一个点 ; 当D2+E2-4F>0时,表示以 为圆心,以  为半径的圆. 　　注意:二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的图形为圆时,需满足A=B≠0,C=0. 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 点与圆的位置关系 点(x0,y0)与 圆的位置关系 判断方法 圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F= 0 点在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2<r2  + +Dx0+Ey0+F<0 点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2  + +Dx0+Ey0+F=0 点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2  + +Dx0+Ey0+F>0 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗? 2.方程(x+2)2+(y+2)2=5是否表示圆心为点(2,2),半径为 的圆? 3.过原点的圆的标准方程可以表示为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)吗? 4.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圆吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示一个圆. 2.不是.圆心应为点(-2,-2). 3.可以.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由原点在圆上得a2+b2=r2≠0,因此过原点的圆 的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0). 4.一定.方程可化为x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因为a2+(-a)2-4×0=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-2ay=0 (a≠0)一定表示圆. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 圆的方程的求法 关键能力 定点破 1.直接代入法 　　先确定圆心和半径,再代入圆的标准方程即可. 　　确定圆心和半径的方法如下: (1)利用条件确定圆心及半径. (2)利用几何性质确定圆心及半径. ①圆心与切点的连线垂直于圆的切线; ②圆心到切线的距离等于圆的半径; ③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2; ④圆的弦的垂直平分线过圆心; ⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直 线l的交点为圆心. 第1讲　描述运动的基本概念 2.待定系数法 (1)根据题意,设出所求圆的标准方程或一般方程; (2)根据已知条件,建立关于参数的方程组; (3)解方程组,求出参数的值; (4)将参数代入所设方程,即可得到所求圆的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求符合下列条件的圆的方程: (1)圆心为点(4,-1),且过点(5,2); (2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5); (3)经过A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一(直接代入法):由题意得,圆的半径为 = , 又圆心为点(4,-1),故所求圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=10. 解法二 (待定系数法):设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把(5,2)代入可得r2=10,故所求圆 的方程为(x-4)2+(y+1)2=10. (2)解法一:设C为圆心, 因为点C在直线x-2y-3=0上, 所以可设点C的坐标为(2a+3,a). 由于圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|, 所以  = , 解得a=-2,因此圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= ,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题意知 解得  故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法三:易得线段AB的中点坐标为(0,-4),kAB= = , 所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2, 因此弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0.又圆心在直线x-2y-3=0上, 所以圆心是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点, 联立 解得  所以圆心坐标为(-1,-2), 第1讲　描述运动的基本概念 因此圆的半径r= = , 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (3)解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 因为点A,B,C在圆上, 所以 解得  故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25. 解法二:易得kAB= = ,kAC= =-3,所以kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是以∠A为直角 的直角三角形,其外心是线段BC的中点,坐标为(1,-1),其外接圆半径r= |BC|=5. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=25. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 2 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:计算已知点与圆的圆心之间的距离,与半径作比较即可判断. (2)代数法:把点的坐标代入圆的方程,比较式子两边的大小,并作出判断. 2.点与圆的位置关系的灵活运用 　　若已知点与圆的位置关系,则可利用以上两种方法列出方程或不等式,求解参数的值或 范围. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P (3,5)是在圆上、圆内,还是在圆外; (2)已知圆C的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0),若点P(3,3),Q(5,3)中有一点在圆内,另一点在圆 外,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设圆心为C(a,b),半径为r. 由C为线段P1P2的中点,得a= =4,b= =6,即C(4,6). 由两点间的距离公式,得r=|CP1|= = ,故所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-6)2=5. |CM|= = > , |CN|= = , |CP|= = < , ∴点M在圆外,点N在圆上,点P在圆内. (2)由题意得,圆心C的坐标为(5,6), ∵|PC|= = , |QC|= =3,∴|PC|>|QC|, ∴点P在圆外,点Q在圆内, ∴3<a< ,即a的取值范围是(3, ). 第1讲　描述运动的基本概念 $