2.1.1等式性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程和不等式中的不等式性质，通过火车票身高规定、路段限速等实际情境导入，引导学生从生活问题抽象不等关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接不等式概念及作差法比较大小的探究。 其亮点在于以情境创设激活数学眼光，如用赵爽弦图引导发现基本不等式，体现数学审美与探究；通过作差法“三步一结论”培养数学思维，结合例题变式训练提升推理能力；用不等式组表示实际问题强化数学语言表达。学生能提升抽象与推理能力，教师可直接利用结构化内容高效教学。

2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 第二章 　一元二次函数、方程和不等式 ①理解各个不等符号的含义． ②会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． ③会用比较法(作差法)比较两实数(式)的大小． ④会用作差法证明不等式． 教学 目标 重点： 应用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,比较两实数(式)的大小． 难点： 准确地应用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,应用作差法比较两实数(式)大小过程中的变形． 教学 重难点 情境1 购买火车票有一项规定： 随同成人旅行,身高超过1.1m(含1.1m)而不超过1.5m的儿童,享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)；超1.5m时应买全价票． 每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票． 从数学的角度,应如何理解和表示“不超过”“超过”呢? 课堂 导入 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (1)某路段限速40 km/h； (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量应不少于2.3%； 解 设在该路段行驶的汽车的速度为 km/h,“限速40 km/h”就是的大小不能超过40,于是,． 解 由题意,得 情境2 课堂 导入 课堂导入 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短． 解 设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c, ab<c． 解 如图,设C是直线AB外的任意一点,CD垂直于AB,垂足为D,E是直线AB上不同于D的任意一点,则CD<CE． 情境2 课堂 导入 探究一　不等式的概念 1.不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式． 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤” 连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有 这些符号的式子,叫做_________． 不等式　 课堂 探究 课堂探究 2.不等式a≤b和a≥ b的含义 不等式 读作 含义 等价于 a≤b a小于或等于b a<b,或者a=b “a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确． a≥b a大于或等于b a>b,或者a=b “a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确． 探究一　不等式的概念 文字语言 符号语言 大于、高于、超过 >  小于、低于、少于 <  大于或等于、至少、不低于 ≥ 小于或等于、至多、不超过 ≤ 不等、不一样 ≠ 3.不等式与不等关系中常见文字语言与符号语言的转化 探究一　不等式的概念 (1)某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩不低于95分,文化课总分高于380分,体育成绩超过45分,用不等式组表示就是(　　) A. B. C. D. 【例题1】 解析 因为“不低于”即“≥”, “高于”即“>”, “超过”即“>”, 所以x≥95,y>380,z>45, 所以用不等式组表示为 D 【例题1】 解 提价后销售的总收入为(8－×0.2)x万元, 那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示的不等式为 (8－×0.2)x≥20． (2)某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本．据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2 000本．若把提价后每本杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢? 用不等式(组)表示不等关系的解题方法： 归纳新知 (1)要先读懂题, 设出未知量； (2)抓关键词, 找到不等关系； (3)用不等式(组)表示不等关系． 探究二　实数的不等关系 设𝑎,𝑏是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B, 当点A在点B的左边时,𝑎<𝑏； 当点A在点B的右边时,𝑎>𝑏； 当点A和点B重合时,𝑎=𝑏． A B B A A(B) 探究二　实数的不等关系 a>b⇔a－b>0； a=b⇔a－b=0； a<b⇔a－b<0． 关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实： 如果a－b是正数,那么a>b；如果a－b等于0,那么a=b；如果a－b是负数,那么a<b．反过来也对． 这个基本事实可以表示为 探究三　不等式的性质 不等式的性质 文字语言 性质1   性质2 性质3 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个正数,不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个负数,不等号的方向改变 【例题2】 解 运用作差法： 因为(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)－(x2+5x+4) =2>0, 所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)． 比较(𝑥+2)(𝑥+3)和(𝑥+1)(𝑥+4)的大小． 0是正数与负数的分界线,它为比较实数的大小提供了标杆． 【变式训练1】 解 因为2(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4) =x2+5x+8 =>0, 所以2(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)． 比较2(+2)+3)和(+1)(+4)的大小． 【变式训练2】 解 (x+2)(x+3)(2x+4)=x2+3x+2=(x+1)·(x+2), 因为x>1, 所以(x+1)(x+2)>0,所以(x+2)(x+3)>2x+4． 当x>1时,比较(x+2)(x+3)和2x+4的大小． 小结 作差法比较两个实数(式)大小的基本步骤： 小结 注意： (1)0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”． (2)以上基本步骤可概括为“三步一结论”——“判断”是目的,“变形”是关键． 【例题3】 解 设图中直角三角形的两条直角边的长为a,b． 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab, 当且仅当a=b时,等号成立． 　　如图,这是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标中的图案,该图案是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出相等关系和不等关系吗? 　　 【例题3】 证明 a2+b2－2ab=(a－b)2． 因为∀a,b∈R,(a－b)2≥0,当且仅当a=b时,等号成立,所以a2+b2－2ab≥0． 因此,由两个实数大小关系的基本事实,得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立． 　　如图,这是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标中的图案,该图案是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客． 　　能用等式或不等式表示你找出的相等关系和不等关系,并证明其成立吗? 探究一　不等式的概念 1.不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式． 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤” 连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有 这些符号的式子,叫做_________． 不等式　 课堂 探究 课堂练习 1.若x∈R,则的大小关系为　　　　　　.  答案: 解析:∵≤0, ∴. 2. 有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形．从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b(a≠b)的不等式表示出来(　　) A.(a2+b2)>ab　　　 B.(a2+b2)<ab C.(a2+b2)≥ab D.(a2+b2)≤ab A 解析：图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,面积S1=a2+b2, 图(2)是一个矩形,面积S2=ab,可得a2+b2)>ab(a≠b)．故选A． 3.设a>b>0,c<d<0,则下列不等式中,一定成立的是(　　) A.ac>bd B. C. D.ac2<bd2 B 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0.又a>b>0,∴-ac>-bd>0,即ac<bd<0,故A错误.由c<d<0,可知cd>0,又ac<bd<0,则两边同乘,可得,故B正确,C错误.由-c>-d>0,-ac>-bd>0,可得ac2>bd2,故D错误.故选B. 4.若x∈R,试比较3x2+6x与4x2−2x+16的大小． 解析：因为(3x2+6x)－(4x2－2x+16)=－x2+8x－16=－(x－4)2≤0, 当x=4时,等号成立, 所以3x2+6x≤4x2－2x+16． 5. 若x∈R,试比较a=与b=的大小关系． 解析： 因为a－b=≥0, 当x=1时,等号成立．所以a≥b． 6. 已知a=x2+2,b=2x,求证:a>b． 证明：因为a－b=x2－2x+2=(x－1)2+1>0, 所以a>b,得证． 1.基础知识归纳 (1)不等式的概念及各不等号的含义； (2)用不等式(组)表示不等关系； (3)应用比较两实数大小的基本事实比较数或式的大小． 2.思想方法总结：数形结合思想、作差法． 3.误区警示：忽视不等式中等号成立的条件；作差法中变形不彻底． 课堂 小结 1.认真整理本节所讲知识,梳理知识脉络,完成学案的核心素养专练； 2.预习不等式的性质． 布置 作业 谢谢大家 $