2.1.1 不等关系与不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“不等关系与不等式”，核心内容包括用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，以及用作差法比较两实数大小。通过身高比较、社团人数限制等具体问题导入，衔接初中实数大小比较知识，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，引导学生用数学眼光观察现实（如乘车行李尺寸规定），通过作差法步骤解析、公式应用（如平方差公式）培养数学思维，用符号语言精准表达不等关系发展数学语言。实例丰富（如装修工资预算、行程时间计算），方法归纳清晰（作差法步骤表），助力学生提升应用与推理能力，教师教学更高效。

第1课时 不等关系与不等式 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两实数的大小. 学习目标 用不等式(组)表示不等关系 一 (1)若小明的身高为x，小华的身高为y，小明比小华矮； 问题1 提示　x<y. 请用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系. (2)某社会团体要求，男性成员人数m应不多于50，女性成员人数n不少于10； 问题1 提示　 (3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 问题1 提示　设三角形的三条边为a，b，c， 则 不等关系与不等式 （1）在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“”“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号 的式子叫做不等式. （2）用“ ”或“ ”连接的不等式叫严格不等式；用“ ”或“ ”连接的不等式叫非 严格不等式. 7 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 ___  ___  ___ ___ 常见的文字语言与符号语言之间的转换 > < ≥ ≤ (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 注 意 点 <<< 9 例1 铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm,设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为(　　)　　　　　　　　　　 A.a+b+c>130 B.a+b+c<130 C.a+b+c≥130 D.a+b+c≤130 D 解析 由题意可知a+b+c≤130.故选D. 例2 ［教材改编P37问题2］完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工 需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元（工资总额不能超过预算），设木 工人，瓦工 人，则请工人需满足的关系式是_______________. 【解析】由题意知，，满足的不等式关系为 （不能超过预 算，因此为“”），即 . 11 例3[2026安徽合肥八中期中]某人元旦回家共 ，准备先坐动车再转汽 车，从动车转汽车耗时，转汽车时离家还有 ，已知动车的平 均速度为，汽车的平均速度为 ，若从坐动车开始能在1小 时内到家，则 应该满足的不等式为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由题意知坐汽车所用时间加上坐动车所用时间小于1小时，所以 （ 从动车转汽车耗时,即 .） ，即 . . . 12 作差 、作商法比较大小 在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 问题2 提示　如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 关于实数， 大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么；如果等于0，那么；如果 是负数，那 么 ．反过来也对. 这个基本事实可以表示为（等价符号）； ； ． 知识剖析 1.“ ”符号的左边反映的是实数的大小，右边反映的则是实数的运算性质，合起来 就是实数的大小与运算性质之间的关系．它是不等式这一章的理论基础，也是证明 不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据． 2.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大 小.（作差法） 15 基本事实 依据 a>b⇔ ； a=b⇔ ； a<b⇔___________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小 a-b>0 a-b=0 a-b<0 差 0 (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. 注 意 点 <<< 17 例3 ［教材改编P38例1](2026·上海市青浦区第一中学月考)已知, ，设 ,，则与 的值的大小关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】（作差法） 因为 （通常在作差后进 行配方，通过与0的大小关系比较大小），所以 ． 18 例4 试比较下面各组中两式的大小: (1)(x-2)2与(x-1)(x-3); (2)x2+2x与3x-1. 解 (x-2)2-(x-1)(x-3)=(x2-4x+4)-(x2-4x+3)=1>0. 因此,(x-2)2>(x-1)(x-3). 例5 (1)若a>b>0,比较的大小; 解 因为a>b>0, 所以<0, 即. (2)若x,y∈R,比较x2+2y2+7与2x-4y的大小. 解 因为(x2+2y2+7)-(2x-4y)=x2-2x+1+2(y2+2y+1)+4=(x-1)2+2(y+1)2+4>0, 所以x2+2y2+7>2x-4y. 例6 已知,，试比较与 的大小. 【解析】方法1：（作差法） .（利用平方差公式得 ） ， ， ,, ， ， . 21 方法2：（作商法） （利用立方和公式分解）. ,,, ,（在利用作商法比较大小时，要先判断符号） . 22 方法3：（平方法） , , . ,, , ,,故 . 在对多项式化简时，要注意数学公式的运用. 平方差公式： . 完全平方公式： ， . 立方差公式： . 立方和公式： . 完全立方公式： , . 24 作差法、作商法和平方法比较大小的依据、应用范围及步骤#1.1 依据 应用范围 步骤 作差法 ; ; 两数（式）的大小关系不 明显，作差后可化为积、 商且易于判断与0的大小 关系的形式 ①作差；②变形； ③判断差与0的大小 关系； ④下结论 25 依据 应用范围 步骤 作商法 , ,则 ; ; 同号的两数（式）比较大 小，两数（式）的大小关 系不明显，作商后易于判 断与1的大小关系 （利用作商法的前提是先 判断所给数与0的大小关 系） ①作商； ②变形； ③判断商与1的大小 关系； ④下结论 , ,则 ; ; 续表 26 依据 应用范围 步骤 平方法 若， ，则 应用于无理式大小的比较 ①平方；②变形； ③借助作差或作商分 别判断与0或1的大小 关系；④下结论 续表 27 作差法证明不等式 例7 (1)证明：∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 显然，∀a，b∈R，有(a-b)2≥0，即a2+b2-2ab≥0. 由两个实数大小关系的基本事实， 得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 29 (2)已知x，y∈R，求证：x2+2y2≥2xy+2y-1. 由x2+2y2-(2xy+2y-1) =x2+2y2-2xy-2y+1 =(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1) =(x-y)2+(y-1)2≥0， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以x2+2y2≥2xy+2y-1. 30 例8 设a>0,b>0,求证:a5+b5≥a4b+ab4. 证明 a5+b5-(a4b+ab4)=a5+b5-a4b-ab4 =a5-a4b+b5-ab4=a4(a-b)+b4(b-a) =(a-b)(a4-b4)=(a-b)(a2-b2)(a2+b2) =(a-b)2(a+b)(a2+b2), 因为a>0,b>0,所以(a-b)2≥0,a+b>0,a2+b2>0, 所以a5+b5-(a4b+ab4)≥0, 即a5+b5≥a4b+ab4. 作差法是证明不等式的一种常用方法，一般要将不等式转化为两个式子差的形式，再通过恰当的等价变形来确定差的符号，从而证明原不等式成立. 反 思 感 悟 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差 、作商法比较大小. (3)作差法证明不等式. 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区：实际问题中变量的实际意义. 课堂小结 随堂演练 1.（2025河南联考）在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙 班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为, ,则用不等式组表示 为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由甲班的分数大于乙班的分数可得 ，由甲班和乙班的分数之和大于170 可得，又不大于190，则 ，故D正确. 35 2.[2026广东深圳外国语学校段考]中国国家铁路集团有限公司关于乘车行 李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 .设携带品外部尺寸长、宽、高分别为,,（单位： ），若体积 不超过 ，则用不等式组表示为_ ________________. 【解析】 由长、宽、高之和不超过，得 ，由体积 不超过，得 . 36 3.已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,则(　　) A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q C 解析 因为P-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)2+(b-1)2≥0, 所以P-Q≥0,当且仅当a=-2,b=1时,等号成立,故选C. 4.已知，且，，则, 的大小关系为 ( ) C A. B. C. D.取决于 【解析】 由题意知， ，又 ，所以 . 38 5. 设,试比较与 的大小. 【答案】 两个多项式比较大小，一般先作差，分解因式，再比较大小.若两式相除 可以约去一些公共项，也可选用作商法. 方法一:作差法. . 因为，所以， ， 所以 ， 所以 . 方法二:作商法. 因为，所以， ，两式作商可得 ，所以 . 39 6.设，试比较与 的大小. 【解析】 （作差法） ， 因为，所以，，， ， 所以，所以 . （作商法）因为 ， 40 所以， ，（ 当两个数同正或同负时，才可以用作 商法.） ， 故 ， 所以 . 解 (x2+2x)-(3x-1)=x2-x+1=2+>0. 因此,x2+2x>3x-1. $