四川仁寿一中北校区2027届高三上学期九月月考数学试题

**基本信息** 高三九月月考数学卷，以网络文学用户调查、短剧热点等现实情境为载体，融合集合、函数、概率统计等知识，通过分层设问考查数学抽象、数据意识与逻辑推理，适配高三一轮复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、函数单调性|基础概念辨析，如第6题线性回归估计| |多选|3/18|正态分布、函数定义域、偶函数性质|多选项综合判断，如第11题函数周期性与零点| |填空|3/15|二项式系数、排列组合、函数性质|简洁计算，如第13题项目选取计数| |解答|5/77|数列求通项与求和、导数极值与不等式、立体几何证明与夹角、统计独立性检验与概率分布|现实情境应用，如第18题网络文学性别关联检验与挑战赛概率分布；综合逻辑推理，如第19题导数零点与不等式证明|

仁寿一中北校区高三上学期九月月考 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 5．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 6. 某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下： （十万元） 5 6 7 8 9 （十万元） 55 60 70 75 80 由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（ ） A. 85.5 B. 86.5 C. 87.5 D. 88.5 7. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则 A. B. C. D. 8. 已知为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 用表示次伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有： D. 已知随机变量的分布列为，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 关于的不等式的解集为，. 若， 则 D. 若函数 在上单调递增，则的取值范围为 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. . C. 当时， D. 函数恰有7个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________. 13. 某高中运动会设有5个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有______. 14. 若函数，满足且，则 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 设函数，其中，且． （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极值点，且对任意，恒成立，求的取值范围． 17. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据． 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 45 60 105 不喜欢网络文学 55 40 95 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？ （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜． （i）在进行了3次挑战赛后，求甲组获胜次数X的分布列与数学期望； （ii）若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式. 附 ，其中n=a+b+c+d 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）若的图象在点和处的切线互相垂直，求实数的值． （2）若函数 在有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②当时，关于的不等式恒成立，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $