精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2025届高三上学期10月月考数学试题

25届高三上学期10月月考 数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（    ） A. 4 B. 8 C. 3 D. 6 7. 已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. B. 函数与不是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C. 命题为真命题的充要条件是 D. 不等式解集为，则 11. 已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上任意，都有成立，则实数的取值范围是______． 13. 已知是定义在上的减函数，且对于任意､，总有，若使成立的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围为___________. 14. 已知函数，.若，则_____________；若函数的图象与的图象有3个公共点，则的取值范围是_________________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 16. “民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表： 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 （1）①完成上面列联表； ②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？ （2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人数，求的分布列和期望． 附：参考公式和临界值表，其中，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的通项公式. （3）求数列的前项和 18. 如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且. （1）求证：平面DEC； （2）求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）求点D到平面BEF的距离. 19. 设函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25届高三上学期10月月考 数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合的并交补运算即可得解. 【详解】因为，， 又， 所以，. 故选：B. 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，解得，由，解得， 而集合真包含集合， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的最小值为. 故选：D. 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数，分，，由求解. 【详解】因为函数，且， 当时，，即， 解得或， 当时，，无解， 综上：， 所以， 故选：A 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 6. 已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（    ） A. 4 B. 8 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用计算即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 7. 已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，判断每段的单调性，继而列出满足题意的不等式，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】时，，单调递增，在上的最小值为， 时，，单调递减，在上无最小值. 则由已知得，即， 设，该函数为上的增函数， 因为，所以. 故选：A. 8. 已知函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，判断函数的对称性及单调性，再比较大小即可. 【详解】函数定义域为，，则函数的图象关于直线对称， 而函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则， 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. B. 函数与不是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据元素与集合之间的关系分析判断即可；对于B：根据函数相等分析判断；对于C：根据抽象函数的定义域分析判断；对于D：利用配凑法结合对勾函数值域分析求解. 【详解】对于选项A：因为为自然数集，所以，故A错误； 对于选项B：因为，可知函数与的对应关系不同， 所以函数与不是同一函数，故B正确； 对于选项C：若的定义域为， 对于函数，可得，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于选项D：因为， 由对勾函数可知的值域为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C. 命题为真命题的充要条件是 D. 不等式解集为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，考虑时，，满足要求，A错误；B选项，考虑时，满足要求，B错误；C选项，转化为在上有解，求出的最小值，得到答案；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，得到答案. 【详解】A选项，，又， 当时，，满足， 当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，中，当时，满足要求，B说法不正确； C选项，在上有解， 其中在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，最小值为， 故，C说法正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故，， 则，，故，D说法不正确. 故选：ABD 11. 已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用的奇偶性与条件，结合赋值法依次得到，从而判断AB；利用的相关性质推得的周期性，从而判断CD，由此得解. 【详解】对于A，因为为偶函数， 所以，则， 令，得， 因为，， 令，得， 又，所以，故A正确； 对于B，在中， 令，得，即，得， 在中，令，得，故B错误； 对于CD，因为，所以， 所以，又，， 则，所以，故， 所以函数是周期为6的函数， 故，故C错误，D正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上任意，都有成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可判断在上单调递增，列出式子即可求解. 【详解】由函数在上任意，都有成立， 则在上单调递增，所以，解得. 故答案为： 【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方. 13. 已知是定义在上的减函数，且对于任意､，总有，若使成立的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】抽象函数求出单调性，再利用已知条件，求出取值范围 【详解】令，则， 对任意的､，有，则. 令，得，得， 令时，则，即， 是定义在上的减函数，在上单调递减. 已知对于任意的实数，恒有， 整理得：， 即，由于是减函数， ，即. 当时，不等式的解集为，不满足题意，舍去； 当时，不等式的解集为； 若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为0，1，则. 当时，不等式的解集为. 若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为，，则. 综上所述，实数的取值范围为：. 故答案为： 14. 已知函数，.若，则_____________；若函数的图象与的图象有3个公共点，则的取值范围是_________________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分段函数的定义直接计算可得第一空；作出两个函数的图象，利用数形结合分类讨论即得. 【详解】若，则，显然， 则； 如图所示作出的大致图象， 易知过原点，要满足题意需与有两个交点， 当过时，此时，不满足题意， 当时，与只一个交点， 数形结合可知，当的斜率介于时满足题意，即. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求出C； (2)根据已知条件平方相减可得到再根据余弦定理可得出，根据三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理边角互化，以及恒等变换可得 内角，所以 则可得，又因， 所以 【小问2详解】 根据余弦定理可知， 则可得， 又因，且， 可得， 可得 则 16. “民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表： 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 （1）①完成上面列联表； ②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？ （2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人数，求的分布列和期望． 附：参考公式和临界值表，其中，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）① 满意 不满意 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 吕计 60 40 100 ② （2） 【解析】 【分析】（1）①依题意补全列联表；②计算值和临界值比较，得到把握性； （2）根据分层抽样，得到男性4人和女性2人，从而可知的可能取值为，再利用古典概型求出相应取值的概率，即可求出分布，再利用期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 ①由题意，问卷调查人数为（人），其中，男性60人，女性40人， 得完整列联表如下表： 满意 不满意 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 吕计 60 40 100 ②，而． 所以有的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用分层抽样分别抽取男性4人和女性2人， 易知的可能取值为， ，， ， 所以的分布列为 . 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的通项公式. （3）求数列的前项和 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的通项公式及前项和公式列方程组求得和公比，然后可得通项公式； （2）由（1）得，两边同时除以构造等差数列求解； （3）用错位相减法求和． 【小问1详解】 设等比数列的公比为，因为，所以， 则，解得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 ，即，所以， 所以是以为首项，公差的等差数列， 所以，得到. 【小问3详解】 ， 所以①， 则②， ①②，得. 则. 18. 如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且. （1）求证：平面DEC； （2）求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）求点D到平面BEF的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量为，则由，即可证得平面DEC； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，则利用向量坐标运算，求得平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）由平面的一个法向量为，，利用点到平面的距离公式即可求得点D到平面BEF的距离. 【小问1详解】    由已知，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD， 由平面ABCD，所以，又， ，平面， 所以平面， 以D为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知， 则，所以， 易知平面的一个法向量为， 得，又平面， 所以 平面. 【小问2详解】 由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则. 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 19. 设函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，. 【答案】（1）减区间，增区间 （2）在内有一个极值点 （3）证明：猜想：，恒成立． 证明如下： 由（2）得在上单调递增，且，． 因为当时，， 所以． 故在上存在唯一的零点，设为．由 0 单调递减 单调递增 知，，， 又，而时，， 所以（1）． 即，． 所以对任意的正数，都存在实数，使对任意的，使． 补充证明 令，．， 所以在上单调递增． 所以时，，即． 补充证明 令，．， 所以在上单调递减． 所以时，，即． 【解析】 【分析】（1）求解，利用，，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间． （2），其中，再次构造函数令，分析的零点情况．，令，，列表分析得出单调性，判断，由，可判断的零点个数，即可判断的极值点个数． （3）先猜想，恒成立．再运用导数判断证明．令，．，求解最大值，得出即可． 【小问1详解】 当时，，， 令，，列表分析 1 0 单调递减 单调递增 故的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ，，其中， 令，，令，， 列表分析： 0 单调递减 单调递增 ， 而，，， 若，则，，， 因此在上有一个零点，所以在内有一个极值点； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是先猜想，恒成立，再运用导数判断证明，对于存在性问题，找到一个可存在的情况进行证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $