第二十六章_二次函数(培优讲义)2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学二次函数单元复习讲义通过知识体系全景梳理表格系统构建知识脉络，涵盖概念、图象性质、解析式互化等模块，明确核心内容、关键方法及易错提醒，结合解题方法图表记忆法呈现配方法、待定系数法等技巧，突出数形结合等重难点，培养几何直观与抽象能力。 讲义亮点在于分层进阶的题型设计，基础型如二次函数概念判定，提高型如拱桥模型应用，奥数型如含参数定点问题，结合易错避坑指南强化运算能力，数学活动探究乘积最大值培养模型观念，分层达标自测及解析支持不同学生提升，助力教师实施精准教学。

第二十六章 二次函数 核心素养与单元目标 1 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 3 第二部分 单元考点精讲与题型突破 4 考点一 二次函数的概念与三种解析式 4 考点二 配方法，一般式化为顶点式 5 考点三 二次函数图象性质、符号判断 7 考点四 二次函数与一元二次方程 9 考点五 二次函数实际应用（培优综合） 11 第三部分 数学活动与拓展探究 13 第四部分 单元易错避坑指南 14 易错点1：忽略二次函数条件 14 易错点2：配方法二次项系数不为1，常数项没有同步乘系数 14 易错点3：求实际问题最值，直接使用顶点纵坐标，忽略自变量取值范围 15 易错点4：顶点式中混淆的符号 15 易错点5：二次函数与轴交点式盲目使用，不判断 15 易错点6：解二次函数对应的不等式，开口方向搞反，区间写反 15 第五部分 单元分层进阶达标自测 16 第六部分 达标自测精准解析 19 学科网（北京）股份有限公司 核心素养与单元目标 核心素养 运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识。 单元目标 1. 知识技能：理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性）；能通过配方法将一般式化为顶点式；理解二次函数与一元二次方程的联系，能利用函数图象求方程根的近似值；会使用一般式、顶点式、交点式求解二次函数解析式。 2. 数学思考：经历二次函数图象的探究过程，体会数形结合、分类讨论、转化思想；能从图象中读取代数信息，由代数解析式想象图象特征，建立数与形的双向对应。 3. 问题解决：能运用二次函数解决最值、拱桥、利润、运动轨迹等实际问题；掌握实际问题中自变量取值范围分析方法，会在限定区间内求解函数最值，建立函数模型解决现实情境问题。 4. 情感态度：通过乘积最大值、刹车距离等数学活动，体会抛物线在生活中的广泛应用；提升探究意识，感受函数模型的实用价值。 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 本单元是初中函数板块的核心重难点，在一次函数、一元二次方程的基础上，研究抛物线图象与变化规律。本章是中考压轴题高频考查内容，同时为高中继续学习幂函数、解析几何打下重要基础。 一、知识体系全景梳理 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 二次函数概念 定义、一般式，二次项系数，三种解析式形式 定义判定法；一般式、顶点式、交点式互化 忽略；分不清整式与分式函数；交点式使用前提是抛物线与轴存在交点 二次函数图象与性质 开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值；符号与图象对应关系 配方法；公式法求对称轴顶点；数形结合读图 顶点横坐标容易漏掉负号；不区分全体实数与自变量受限区间求最值；混淆“左同右异”符号规则 解析式互化 一般式配方化为顶点式；已知条件选择合适解析式 配方法；待定系数法 配方时二次项系数不为1，只对部分项乘常数；顶点式中符号出错 二次函数与一元二次方程 判别抛物线与轴交点；利用图象求方程近似根；韦达定理在抛物线中的应用 图象观察法；判别式分析法 混淆函数值为0与函数值大于0的意义；忽略才能使用交点式 二次函数实际应用 利润最值、拱桥模型、运动轨迹、变化率问题 建模四步法：审题→设元→列函数→限定自变量范围→求最值检验 直接拿顶点纵坐标当作实际最值，忽略自变量取值范围；实际结果不做检验取舍 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 配方法化顶点式 一般式转顶点式，求顶点、最值 ①提取二次项系数；②括号内配方，加上并减去一次项系数一半的平方；③整理得到 一提二配三整理，括号外面常数要同步乘回 待定系数法求解析式 已知点坐标求二次函数 ①根据条件选解析式形式；②代入点得到方程组；③解方程组回代写出解析式 知顶点选顶点式，知与轴交点选交点式，多点坐标选一般式 区间内求二次函数最值 实际问题自变量不是全体实数 ①求对称轴；②判断对称轴是否落在自变量取值区间；③在顶点或区间端点取到最值 对称轴在区间看顶点，对称轴在外看端点 数形结合分析法 图象判断及代数式符号，根的分布 ①看开口定；②看对称轴定；③看与轴交点定；④代入特殊值判断代数式正负 开口看，轴看，交点看，特殊点代数值 二次函数建模法 拱桥、利润、运动轨迹、刹车距离实际题 ①设定自变量、因变量；②根据等量关系写解析式；③写明自变量实际取值范围；④结合性质求解，检验实际意义 建模不忘定义域，最值要看范围里 三、奥数思维提升 1. 数形结合思想：建立解析式与抛物线图象双向转化 核心要点：由解析式读出开口、对称轴、顶点；由图象读出系数符号、特殊点函数值；代数条件翻译成图象特征，图象信息翻译成代数等式、不等式。 示例：抛物线全部在轴上方，翻译为且。 2. 分类讨论思想：含参数二次函数、动轴定区间、定轴动区间最值 核心要点：参数改变开口、对称轴位置，需要对对称轴和自变量区间的相对位置分类，做到不重不漏。 示例：动对称轴二次函数，在固定自变量范围上求最值，需要分对称轴在区间左侧、内部、右侧三类讨论。 3. 转化思想：二次函数与一元二次方程互相转化 核心要点：抛物线中令就得到一元二次方程；方程的根对应抛物线与轴交点横坐标；可以用方程工具解决图象交点问题，用图象直观理解方程根。 示例：求抛物线与直线交点，联立解析式转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数。 4. 模型思想：实际情境抽象二次函数模型 核心要点：从利润、运动轨迹、几何面积、刹车数据中抽象出自变量、因变量，建立函数，必须同步确定自变量取值限制，不能直接套用全体实数下的顶点最值。 示例：商品降价利润问题，降价幅度不能让售价小于成本。 5. 整体思想：抛物线对称点、代数式整体代换求值 核心要点：利用抛物线上点满足解析式，整体代入变形代数式，避免求解复杂参数。 示例：已知抛物线上一点，不求参数，整体代入化简高次代数式求值。 第二部分 单元考点精讲与题型突破 考点一 二次函数的概念与三种解析式 典型例题1（基础型） 题目：下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 解题步骤： ①选项A是一次函数，自变量最高次数为1，不符合； ②选项B分母含有自变量，属于分式函数，不是整式，不符合； ③选项C为整式，自变量最高次数2，二次项系数，符合二次函数定义； ④选项D展开化简：，化简之后二次项抵消，为一次函数； ⑤综上，答案选C。 【答案】C 【知识点睛】 ① 考点定位：二次函数的概念判定； ② 解题方法：判断二次函数，必须先把式子展开化简，再核对三点：整式、自变量最高次数为2、；不能只看原始表面形式； ③ 易错提醒：分式、根式解析式一定不是二次函数；化简后二次项抵消不再是二次函数。 典型例题2（提高型） 题目：已知二次函数图象顶点坐标是，并且图象经过点，求这个二次函数的解析式。 解题步骤： ① 设顶点式解析式：； ② 将点代入：，； ③ 解得，； ④ 解析式：；展开一般式。 【答案】（或） 【知识点睛】 ① 考点定位：顶点式求二次函数解析式； ② 解题方法：题目给出顶点、对称轴、最值条件，优先用顶点式，减少方程组计算量；顶点代入顶点式，注意符号； ③ 易错提醒：顶点横坐标是，代入括号写成，不要写成。 典型例题3（奥数型） 题目：已知抛物线过，，三点，求抛物线解析式。 解题步骤： ① 设交点式：； ② 代入，，； ③ 解得；解析式，展开。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：交点式求二次函数解析式； ② 解题方法：题目直接给出抛物线与轴两个交点，优先交点式；交点式使用前提：抛物线与轴有交点，即； ③ 易错提醒：交点式中是，即使交点横坐标是正数，也为减号，不要写成加号。 考点二 配方法，一般式化为顶点式 典型例题1（基础型） 题目：用配方法，把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标、对称轴。 解题步骤： ① ； ② ； ③ ；顶点，对称轴直线。 【答案】顶点式，顶点，对称轴直线 【知识点睛】 ① 考点定位：配方法（二次项系数为1）； ② 解题方法：二次项系数等于1，括号内加上“一次项系数一半的平方”，同时减去，保证式子恒等变形； ③ 易错提醒：配方属于恒等变形，不能只加常数，不减去对应常数。 典型例题2（提高型） 题目：用配方法，将化为顶点式。 解题步骤： ① ； ② ； ③ 。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：配方法（二次项系数不为1，培优高频）； ② 解题方法：提取二次项系数只提取含的项；括号内部配的常数，要乘括号外面的再和外面常数合并； ③ 易错提醒：很多同学忘记把括号中新配常数乘外面的系数，直接加减常数，造成恒等变形出错。 典型例题3（奥数型） 题目：已知二次函数，求证：无论取何非零数值，抛物线恒经过两个定点，并求出定点坐标。 解题步骤： ① ； ② 令，解得，； ③ 将代入得；将代入得；抛物线恒过定点，。 【答案】定点， 【知识点睛】 ① 考点定位：含参数二次函数过定点问题； ② 解题方法：把解析式整理成参数乘以代数式，加常数；令参数的乘数等于0，消去参数，得到固定，再求； ③ 易错提醒：定点含义：不管参数怎么改变，点一定在抛物线上；不要把顶点当成定点。 考点三 二次函数图象性质、符号判断 典型例题1（基础型） 题目：已知二次函数，写出开口方向、对称轴、顶点坐标，说明增减性与最值。 解题步骤： ① ，抛物线开口向下； ② 对称轴直线，顶点坐标； ③ 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； ④ 函数有最大值，最大值为，无最小值。 【答案】开口向下；对称轴直线；顶点；递增，递减；最大值。 【知识点睛】 ① 考点定位：顶点式读取图象性质； ② 解题方法：开口向上，顶点最低点；开口向下，顶点最高点；以对称轴为分界线描述增减； ③ 易错提醒：顶点式，对称轴是，括号是即，不要写成。 典型例题2（提高型） 题目：二次函数图象如图，开口向上，对称轴在轴左侧，抛物线交轴负半轴，判断符号。 解题步骤： ① 开口向上，所以； ② 对称轴在轴左侧，，，得； ③ 抛物线交轴负半轴，时； ④ 综上，，。 【答案】，， 【知识点睛】 ① 考点定位：由图象判断系数符号； ② 解题方法口诀：开口定；“左同右异”定；轴交点定；对称轴在轴左边同号；对称轴在轴右边异号； ③ 易错提醒：“左同右异”针对对称轴，不要搞反符号。 典型例题3（奥数型） 题目：已知二次函数，当自变量在范围内，求函数的最大值与最小值。 解题步骤： ① 配方；对称轴直线，开口向上； ② 情况一：，区间全部在对称轴右侧，函数在单调递增；取最小；取最大； ③ 情况二：，对称轴落在区间内；顶点取最小值；比较两端，当，最大；当，最大； ④ 情况三：，区间全部在对称轴左侧，函数单调递减；取最小；取最大。 【答案】见分类讨论结果 【知识点睛】 ① 考点定位：动轴定区间，限定自变量范围求二次函数最值； ② 解题方法：开口向上，顶点是全局最小；区间上最值：对称轴落在区间，顶点参与；对称轴不在区间，最值全部出现在区间端点；需要对对称轴位置分类讨论； ③ 易错提醒：不看自变量范围，直接拿顶点纵坐标当作最值，这是实际应用题最高频错误。 考点四 二次函数与一元二次方程 典型例题1（基础型） 题目：抛物线，求抛物线与轴交点坐标，对应写出一元二次方程的根。 解题步骤： ① 令，； ② 因式分解，解得，； ③ 抛物线与轴交点、；方程根，。 【答案】交点、；方程根， 【知识点睛】 ① 考点定位：二次函数与一元二次方程的联系； ② 解题方法：抛物线与轴交点横坐标令得到一元二次方程的实数根；两个交点；一个交点；无交点； ③ 易错提醒：交点坐标是有序实数对，不要只写数字，漏掉纵坐标0。 典型例题2（提高型） 题目：已知抛物线。求证：无论取何实数，抛物线总与轴有交点。 解题步骤： ① 对应方程； ② ； ③ 恒成立，恒成立；抛物线总与轴有交点。 【答案】证明见解析 【知识点睛】 ① 考点定位：判别式证明抛物线与轴交点存在性； ② 解题方法：抛物线与轴有无交点看；把判别式配方，借助完全平方非负证明恒成立； ③ 易错提醒：计算判别式时，是整体带符号代入，不要只带入数字。 典型例题3（奥数型） 题目：抛物线，当，直接写出的取值范围。 解题步骤： ① 令，，解得，； ② 开口向下，图象在轴上方部分，两根之间； ③ 所以 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：利用二次函数图象解简单一元二次不等式； ② 解题方法：求出抛物线与轴交点，结合开口方向；开口向下，取两根中间；开口向上，取两根外侧； ③ 易错提醒：不等号方向，不要把区间写反。 考点五 二次函数实际应用（培优综合） 典型例题1（基础型·利润最值） 题目：某商品每件进价40元，市场调查：售价每件元，每月销售量件，其中；求每月销售最大利润以及此时的售价。 解题步骤： ① 设每月利润元；单件利润； ② ，整理得； ③ 配方；对称轴，在之内； ④ ，当，取得最大值4000。 答：售价每件60元，每月最大利润4000元。 【知识点睛】 ① 考点定位：利润最值实际应用题； ② 解题方法：总利润=单件利润×销量；写出解析式必须写明自变量取值；先判断对称轴是否落在实际允许区间，再取最值； ③ 易错提醒：不写自变量范围，不判断顶点是否可用，直接拿顶点当作实际答案。 典型例题2（提高型·拱桥模型） 题目：一座抛物线型拱桥，建立平面直角坐标系，以桥拱顶点为原点，水平向右轴，竖直向下轴；桥拱跨度24米，距离顶点向下4米处，桥拱宽度12米。求拱桥抛物线解析式。 解题步骤： ① 设解析式； ② 向下4米，宽度12米，点坐标在抛物线上；代入； ③ ，解得；解析式。 答：抛物线解析式为。 【知识点睛】 ① 考点定位：拱桥抛物线模型； ② 解题方法：拱桥题目第一步重点是建立坐标系，确定关键点坐标；优先以顶点为原点用顶点式； ③ 易错提醒：坐标容易把横纵坐标搞颠倒，看清坐标轴方向。 典型例题3（奥数型·运动轨迹） 题目：小球做斜抛运动，抛出之后高度（米）关于运动时间（秒）函数，； (1)小球抛出多少秒到达最高点？最大高度是多少？ (2)小球经过多少秒落地？ 解题步骤： ① ；； ② 秒，小球到最高点，最大高度20米； ③ 令，，解得（抛出时刻），； ④ 所以小球经过4秒落地。 答：(1)抛出2秒到达最高点，最大高度20米；(2)经过4秒落地。 【知识点睛】 ① 考点定位：运动轨迹二次函数实际模型； ② 解题方法：斜抛运动，顶点对应最高点；落地对应函数值等于0；自变量，负的时间根直接舍去； ③ 易错提醒：解方程得到是初始抛出，不是落地时间，要结合实际意义取舍。 第三部分 数学活动与拓展探究 活动一 探究乘积最大值规律 活动主题：两数和为定值，探究乘积的最大值规律。 活动目标 1. 通过列举、猜想，再用二次函数模型严格证明“和一定，两数越接近，乘积越大”； 2. 体会用二次函数处理最值的模型思想，理解周长固定矩形中正方形面积最大原理。 活动过程 任务1：观察：两个两位数，十位数字都是9，个位数字相加等于10：，，……，，猜想哪一组乘积最大。 任务2：设两数之和为定值，设其中一个数为，另外一个数为，写出乘积，整理二次函数； 任务3：分析二次函数开口、对称轴，求最大值；观察取最大值时候两个数字的关系； 任务4：迁移：周长固定的矩形，什么时候面积最大。 活动结论 两数之和为定值，当两个数相等的时候，乘积取得最大值；两个数差距越大，乘积越小；周长固定的矩形，当图形为正方形，面积取得最大值。 活动二 刹车距离与车速的函数关系，拓展生活中的抛物线应用 活动主题：采集刹车距离、车速数据，建立二次函数模型；拓展生活中的抛物线实例。 活动目标 1. 读懂实际测试数据表，描点观察图象，识别抛物线特征； 2. 用待定系数法建立刹车距离关于车速的二次函数模型； 3. 了解现实生活抛物线：喷泉、篮球投篮、拱桥、卫星天线等，感受抛物线广泛应用。 活动过程 任务1：给出测试数据表，车速为横坐标，刹车距离纵坐标，平面直角坐标系描点，观察点分布形状，猜想函数类型； 任务2：选取表格三组数据，设，解三元一次方程组，得到刹车距离函数； 任务3：代入已知刹车距离，反求车速，判断车辆是否超速； 任务4：拓展举例：喷泉水流、投掷物体、拱桥都是现实抛物线实例。 活动结论 汽车刹车距离与车速近似满足二次函数关系；现实大量运动、建筑问题可以抽象抛物线二次函数模型。 第四部分 单元易错避坑指南 易错点1：忽略二次函数条件 错误示例：若函数是二次函数，直接得到，解得。 正确分析：二次函数必须同时满足：次数等于2，并且二次项系数不等于0；，所以。 修正方法：只要题目说“二次函数”，第一反应写上二次项系数不等于0的限制条件。 易错点2：配方法二次项系数不为1，常数项没有同步乘系数 错误示例：。 正确分析：括号内部加4，括号外面有系数，实际上整体是加上，原式需要再加上8，正确。 修正方法：提取系数之后，括号内所有加减的常数，全部要乘以括号外面的，再与外部常数合并。 易错点3：求实际问题最值，直接使用顶点纵坐标，忽略自变量取值范围 错误示例：利润题目，顶点横坐标，但是题目实际允许，仍然直接取顶点作为最大利润。 正确分析：顶点不在自变量允许区间，不能用顶点；最值要取区间端点函数值。 修正方法：实际应用题，写出解析式之后，第一行写明自变量取值范围；判断对称轴是否落在区间内，再求最值。 易错点4：顶点式中混淆的符号 错误示例：顶点，直接写成。 正确分析：，代入顶点式括号写成。 修正方法：顶点式括号永远是，是顶点横坐标，带入注意正负。 易错点5：二次函数与轴交点式盲目使用，不判断 错误示例：随便写，不管抛物线和轴有没有交点。 正确分析：交点式的前提条件：抛物线与轴存在交点，；无交点不能使用交点式。 修正方法：交点式使用前，确认抛物线与轴存在交点。 易错点6：解二次函数对应的不等式，开口方向搞反，区间写反 错误示例：开口向下抛物线，，写成或。 正确分析：开口向下，，图象在轴上方，取值在两根中间。 修正方法：先求交点，画简易草图，根据图象上下位置写范围。 第五部分 单元分层进阶达标自测 一、基础夯实篇（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列函数，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数，下面说法正确的是（ ） A.开口向上，顶点 B.开口向下，顶点 C.开口向上，对称轴 D.开口向下，对称轴 3. 将配方化为顶点式，结果为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数，抛物线与轴交点为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 某商品利润函数，自变量，则最大利润为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与轴只有一个交点，则________。 8. 抛物线的对称轴直线是________。 二、能力进阶篇（共7小题，每小题6分，共42分） 9. 已知二次函数顶点坐标，过点，求抛物线解析式。 10. 用配方法把化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标。 11. 已知抛物线，求证：抛物线一定和轴有两个交点。 12. 已知二次函数，求当时，自变量取值范围。 13. 某商店销售一种纪念品，每件成本30元，经市场调查，单价每提高1元，每周销量减少5件；原本单价40元，每周销售200件；设每件涨价元，写出周利润关于的函数解析式，并且写出自变量取值范围，求最大周利润。 14. 一座抛物线拱桥，以水面为轴，拱桥对称轴为轴；水面宽16米时，拱顶距离水面8米；求抛物线解析式。 15. 小球竖直上抛，高度（，单位米、秒），求小球最大高度与落地时间。 三、思维跃迁篇（共5小题，每小题5分，共26分） 16. 无论取何实数，二次函数恒过定点，请求出定点坐标。 17. 二次函数，在上，求函数的最小值（需要分类讨论）。 18. 已知抛物线，直线，若抛物线和直线有两个不同交点，求的取值范围。 19. 某工厂生产一批配件，每件成本为50元，售价元，销量，要求售价不低于成本，并且单件利润不能超过成本的80%，请求出最大利润。 20.【数学活动拓展】两个实数之和等于12，求两数乘积最大值；并且利用二次函数证明你的结论。 第六部分 达标自测精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】C 解题步骤： ① 根据二次函数判定条件：整式，自变量最高次数2，二次项系数不为0； ② A是一次函数；B含有分式；D化简之后二次项抵消为一次函数； ③ C满足全部条件。 【知识点睛】 ① 考点定位：二次函数概念判定； ② 解题方法：必须化简后再判定；分式解析式不是二次函数； ③ 易错提醒：不能只看原始式子有没有项。 2. 【答案】B 解题步骤： ① ，开口向下； ② 顶点式，顶点，对称轴直线。 【知识点睛】 ① 考点定位：顶点式读取图象性质； ② 解题方法：顶点，对称轴； ③ 易错提醒：看清括号里面符号。 3. 【答案】A 解题步骤： ① ； ② ； ③ 。 【知识点睛】 ① 考点定位：配方法； ② 解题方法：二次项系数为1，括号内加上一次项系数一半平方，同时减去； ③ 易错提醒：配方属于恒等变形，不能只加不减。 4. 【答案】B 解题步骤： ① 令，； ② 因式分解； ③ ，，交点。 【知识点睛】 ① 考点定位：抛物线与轴交点； ② 解题方法：令解一元二次方程，根就是交点横坐标； ③ 易错提醒：交点是有序数对，要写完整坐标。 5. 【答案】C 解题步骤： ① 顶点在轴上，说明对称轴是； ② ，得。 【知识点睛】 ① 考点定位：对称轴性质； ② 解题方法：轴就是直线，对称轴公式； ③ 易错提醒：不要混淆顶点在轴和顶点在原点。 6. 【答案】B 解题步骤： ① 对称轴，不在区间； ② ，开口向下，区间在对称轴左侧，函数递增； ③ ，。 【知识点睛】 ① 考点定位：限定自变量范围求最值； ② 解题方法：顶点不在取值区间，最值出现在端点； ③ 易错提醒：直接拿顶点1600当作答案，忽略不能取到30。 7. 【答案】9 解题步骤： ① 抛物线与轴只有一个交点，； ② ； ③ 解得。 【知识点睛】 ① 考点定位：判别式； ② 解题方法：抛物线与轴唯一交点等价； ③ 易错提醒：代入判别式注意符号。 8. 【答案】直线x=1 解题步骤： ① 交点式，抛物线与轴交点，； ② 抛物线对称轴是两个交点横坐标中点，。 【知识点睛】 ① 考点定位：交点式求对称轴； ② 解题方法：抛物线与轴两个交点，对称轴是两点横坐标的平均数； ③ 易错提醒：不要直接把括号里面数字拿来当对称轴。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】y=(x−1)2−4，一般式y=x2−2x−3 解题步骤： ① 设顶点式； ② 将点代入：，解得； ③ 解析式。 【知识点睛】 ① 考点定位：顶点式待定系数法； ② 解题方法：已知顶点优先顶点式； ③ 易错提醒：代入点坐标细心计算。 10. 【答案】y=−2(x+1)2+3；对称轴直线x=−1；顶点(−1,3) 解题步骤： ① ； ② ； ③ 。 【知识点睛】 ① 考点定位：二次项系数不为1配方法； ② 解题方法：提取二次项系数，括号内部配方，新增常数要乘以括号外系数； ③ 易错提醒：常数项容易算错。 11. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① ； ② ； ③ 恒大于0，所以抛物线一定有两个不等实数根，即与轴两个交点。 【知识点睛】 ① 考点定位：判别式恒成立证明； ② 解题方法：展开化简判别式，得到常数大于0； ③ 易错提醒：展开完全平方公式，不要漏项。 12. 【答案】x<−1或x>5 解题步骤： ① 令，，解得，； ② ，开口向下； ③ ，图象在轴下方，取两根外侧，或。 【知识点睛】 ① 考点定位：二次函数解不等式； ② 解题方法：求交点，结合开口方向，草图辅助； ③ 易错提醒：开口向下，取外侧，不要写成中间。 13. 【答案】W=−5x2+150x+2000；自变量x≥0，同时销量200−5x>0，即0≤x<40；最大利润3125元。 解题步骤： ① 单件利润：；销量； ② ； ③ 对称轴，落在；； ④ ，。 答：最大周利润3125元。 【知识点睛】 ① 考点定位：二次函数利润实际模型； ② 解题方法：利润=单件利润乘以销量；必须写明自变量实际限制； ③ 易错提醒：自变量不能只写，销量必须大于0。 14. 【答案】 解题步骤： ① 顶点，设顶点式； ② 水面宽16米，点在抛物线上，代入； ③ 解得，解析式。 【知识点睛】 ① 考点定位：拱桥抛物线； ② 解题方法：坐标系顶点在轴，优先顶点式； ③ 易错提醒：看清坐标轴，分清横纵坐标。 15. 【答案】最大高度19.6米；落地时间4秒 解题步骤： ① ； ② ，最大高度19.6米； ③ 令，，解得，； ④ ，落地时间4秒。 【知识点睛】 ① 考点定位：斜抛运动实际模型； ② 解题方法：顶点对应最高点；对应抛出和落地；舍去； ③ 易错提醒：不要把当作落地时间。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】定点 解题步骤： ① 整理解析式：； ② 令参数的因式，解得； ③ 代入得，故定点为。 【知识点睛】 ① 考点定位：含参数二次函数恒过定点； ② 解题方法：把含参数项合并，令参数的因式等于0； ③ 易错提醒：区分定点和顶点。 17. 【答案】 ①对称轴，开口向上； 当，取最小值； 当，顶点取最小值； 当，取最小值。 解题步骤： ① ，开口向上，对称轴； ②分三类：对称轴在区间左边；落在区间内部；对称轴区间右侧；分别计算最小值。 【知识点睛】 ① 考点定位：动轴定区间分类讨论求最值； ② 解题方法：开口向上，顶点最小，判断对称轴与自变量区间位置； ③ 易错提醒：不做分类，直接用顶点当作最小值。 18. 【答案】 解题步骤： ① 联立：；整理； ② 两个不同交点等价方程两个不等实根，； ③ ；，，。 【知识点睛】 ① 考点定位：抛物线与直线交点； ② 解题方法：联立解析式得到一元二次方程，判断交点数目； ③ 易错提醒：联立之后整理方程，符号不能出错。 19. 【答案】最大利润 24500 元 解题步骤： ① 成本50，单件利润；； ② 条件：；单件利润不超过成本80%，，即；自变量； ③ ，顶点，。 【知识点睛】 ① 考点定位：带多重约束条件的利润最值； ② 解题方法：挖掘题目隐藏不等式约束，确定自变量完整范围； ③ 易错提醒：漏掉“单件利润不能超过成本80%”条件。 20. 【答案】乘积最大值36 解题步骤： ① 设其中一个数为，另外一个数，乘积； ② ； ③ ，当，另一数；两数都等于6，乘积最大等于36。 【知识点睛】 ① 考点定位：数学活动，和定积最大，二次函数证明； ② 解题方法：设变量建立二次函数，利用顶点求最大值； ③ 易错提醒：注意本题实数范围，不需要限制整数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $