1.4空间向量的应用 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量应用同步练，分层设计梯度合理，从基础概念到综合应用递进，适配新授课知识巩固与空间观念、运算能力等核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方向向量/法向量夹角、点到直线距离|选择1-3直接考查公式应用，填空9-10强化运算能力| |中档层|几何体中向量应用、法向量概念辨析|选择4-6结合正方体/堑堵情境，多选7-8深化概念理解| |综合层|空间向量综合证明与探究|解答题11-12通过动点、面面垂直等问题，培养推理与空间观念|

数学人教A版选择性必修第一册 1.4空间向量的应用 同步练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为(      ) A. B. C. D. 2．若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则(      ). A. B. C. D.l与相交 3．若两平面的法向量夹角的余弦值为，则这两个平面所成的角为(      ) A. B. C. D. 4．在棱长为4的正方体中，E是棱BC的中点，则点到直线DE的距离是(      ) A. B. C. D. 5．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点P为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为(      ) A. B. C. D. 6．在棱长为1的正方体中，若点P在正方体内部且满足，则点P到直线AB的距离为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．下列说法不正确的是(   ) A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.一个平面的单位法向量是唯一的 D.如果a，b与平面共面，且，，那么n就是平面的一个法向量 8．已知平面α过点，其法向量为，则下列各点在平面α内的有(      ) A. B. C. D. 三、填空题 9．点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是__________ 10．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为________. 四、解答题 11．如图,在棱长为a的正方体中,E,F分别是棱,上的动点,且,其中,以O为原点建立空间直角坐标系. (1)写出点E,F的坐标； (2)求证：. 12．如图,在四棱锥中,底面,,,,． (1)求证：平面平面； (2)若点N在棱上,且平面与平面夹角的余弦值为,请确定点N的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第一册 1.4空间向量的应用 同步练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为(      ) A. B. C. D. 2．若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则(      ). A. B. C. D.l与相交 3．若两平面的法向量夹角的余弦值为，则这两个平面所成的角为(      ) A. B. C. D. 4．在棱长为4的正方体中，E是棱BC的中点，则点到直线DE的距离是(      ) A. B. C. D. 5．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点P为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为(      ) A. B. C. D. 6．在棱长为1的正方体中，若点P在正方体内部且满足，则点P到直线AB的距离为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．下列说法不正确的是(   ) A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.一个平面的单位法向量是唯一的 D.如果a，b与平面共面，且，，那么n就是平面的一个法向量 8．已知平面α过点，其法向量为，则下列各点在平面α内的有(      ) A. B. C. D. 三、填空题 9．点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是__________ 10．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为________. 四、解答题 11．如图,在棱长为a的正方体中,E,F分别是棱,上的动点,且,其中,以O为原点建立空间直角坐标系. (1)写出点E,F的坐标； (2)求证：. 12．如图,在四棱锥中,底面,,,,． (1)求证：平面平面； (2)若点N在棱上,且平面与平面夹角的余弦值为,请确定点N的位置． 参考答案 1．答案：C 解析：因为，， 所以. 所以和夹角的余弦值为. 故选：C 2．答案：B 解析：, 由已知可得,则,因此,. 故选：B. 3．答案：A 解析：设两个平面所成的角为，则，故. 4．答案：A 解析：以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接，如图所示，则，，，从而，，故点到直线DE的距离是.故选A. 5．答案：D 解析：由题意可知：，平面， 以C为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为点P为线段的中点，则， 可得，， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 故选：D. 6．答案：C 解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，因为，所以，所以，，所以点P到直线AB的距离为. 7．答案：CD 解析：对于A，根据平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A不符合题意； 对于B，一个平面的所有法向量与平面都垂直，所以它们都互相平行，故B不符合题意； 对于C，一个平面的单位法向量有两个，方向相反，故C符合题意； 对于D，如果a，b与平面共面，且，， 那么当a，b共线时，n不一定是平面的一个法向量，故D符合题意. 选CD. 8．答案：AD 解析：对于A，设，则，因为， 所以点在平面α内，故A正确； 对于B，设，则，因为， 所以点不在平面α内，故B错误； 对于C，设，则， 因为， 所以点不在平面α内，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以点在平面α内，故D正确. 故选：AD. 9．答案： 解析：由题意，点和，可得，且， 所以点到直线l的距离是. 故答案为：. 10．答案： 解析：依题意，， 所以点到的距离. 故答案为：. 11．答案：(1), (2)证明见解析 解析：(1)根据空间直角坐标系可得,. (2),, ,. 即, , 故. 12．答案：(1)见解析 (2)点N为靠近C的三等分点 解析：(1)底面,底面, , 又,且,平面, 平面,又平面, 平面平面； (2)由(1)知平面,又平面, ,,, 又底面, 故以为原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系, 设,则, ,,, 则, 设, 则, 设平面的法向量为,, 则,令,则, 设平面的法向量为,, 则,令,则, 平面与平面夹角的余弦值为, , 整理得：, 解得或（舍去）, 因此,点N为靠近C的三等分点． 学科网（北京）股份有限公司 $