精品解析：山东淄博市实验中学、齐盛高级中学2026-2027学年第一学期高三9月开学考数学试题

2026－2027学年第一学期高3上9月开学考（实验、齐盛） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（ ） A. 如果那么 B. 如果那么 C. 如果那么 D. 如果，那么 3. 已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（ ） A. B. C. D. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 5. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 对于事件，，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 从1，2，3，…，10这十个数中随机抽取一个数记为X，再从1，2，…，X这X个数中随机抽取一个数记为Y，则数学期望（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，若越小，则与之间的线性相关程度越弱 B. 设随机变量，若，则 C. 若，且，则 D. 已知，之间的关系满足，设，若，之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则 10. 已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题 12. 若的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的第四项系数为________． 13. 已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 14. 无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生. （1）根据已知条件补充完整下表，并判断是否有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关； 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （2）采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；当时，有90%的把握判断变量，有关联；当时，有95%的把握判断变量，有关联；当时，有99%的把握判断变量，有关联. 16. 已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数的值； （2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围． 17. 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 18. 某智能出行科技公司测试甲、乙两款辅助驾驶系统的障碍物避让性能，分别搭载甲、乙系统的车辆各开展了120次模拟测试，其中甲系统避让成功96次，乙系统避让成功84次.假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）若从这120次甲系统测试中不放回地随机抽取5次测试，记为抽取的5次测试中甲系统成功避让的次数，求的数学期望. （2）现对乙系统追加2次独立测试，对甲系统追加1次独立测试，记为这3次测试里成功避让的总次数，求的分布列与数学期望； （3）现对甲系统追加次独立测试，记为这次测试中成功避让的次数，若用估计甲系统单次成功避让的概率，求（均方误差），并说明当增大时该值的变化趋势.（参考公式：） 19. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期高3上9月开学考（实验、齐盛） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，则， 由函数有意义，可得，解得，即， 故. 2. 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（ ） A. 如果那么 B. 如果那么 C. 如果那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 3. 已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 5. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 6. 对于事件，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出 ；结合 求出交事件概率 ；再用条件概率公式计算 . 【详解】条件概率性质：, ，得，而， 由条件概率公式，得 = ，又， 由条件概率公式得=，A正确. 7. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 8. 从1，2，3，…，10这十个数中随机抽取一个数记为X，再从1，2，…，X这X个数中随机抽取一个数记为Y，则数学期望（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，，其中，据此结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】由题可得的可能取值为，. 的可能取值为， ， ， ， 从而，其中， 则 ， 注意到， 则. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，若越小，则与之间的线性相关程度越弱 B. 设随机变量，若，则 C. 若，且，则 D. 已知，之间的关系满足，设，若，之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由相关系数与线性相关程度的关系可判断A；利用正态分布的对称性可判断B；根据方差的性质可判断C；根据线性回归的相关知识可判断D. 【详解】对于A，两个变量，的相关系数为，越小，与之间的线性相关程度越弱，故A正确； 对于B，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知若，则，故B错误； 对于C，，又，故，故C正确； 对于D，，则，，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用退一相减法及等比数列定义可求，即可判断A选项，再根据等差数列的定义判断B选项；利用作差法比大小可判断C选项，构造数列满足，计算数列的前项和，可判断D选项. 【详解】由，可得时，①， 当时，，两式相减，可得， 即，因数列为等比数列， 故公比为，由①可得，解得， 故，故A错误； 又因，， 所以，即数列是等差数列，故B正确； 又，即，故C正确； 因，设， 则的前项和为， 所以，故D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求的周期，再求，再举出不是奇函数但是满足题意的函数，最后根据周期性讨论的值. 【详解】由题可知：，由得，对两边求导得：，即得， 所以关于中心对称，所以，因为为偶函数，所以， 根据关于中心对称得，所以，所以， ，所以A正确，B正确； 对于C，令，其导数为偶函数，且满足，，但是不是奇函数，C错误； 对于D，因为，所以，即， 的周期为8，考虑的前八项，其中，，， ， 因为可为任意实数，所以不一定为，所以D错误. 三、填空题 12. 若的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的第四项系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，故， 展开式通项为， 当时，其第四项系数为. 13. 已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【详解】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 解得：， 所以不等式的解集为. 14. 无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 四、解答题 15. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生. （1）根据已知条件补充完整下表，并判断是否有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关； 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （2）采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；当时，有90%的把握判断变量，有关联；当时，有95%的把握判断变量，有关联；当时，有99%的把握判断变量，有关联. 【答案】（1） 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关. （2） 0 1 2 3 数学期望. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算进行判断； （2）因为的可能取值为0，1，2，3，根据古典概型计算公式、数学期望公式，列出分布列求期望即可. 【小问1详解】 因为喜欢军事的学生中有是男生， 所以喜欢军事的学生中有是女生， 所以喜欢军事的男生与女生人数之比为， 且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事， 因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名， 完善后的列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关． 因为， 因此可以认为不成立，即有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关． 【小问2详解】 由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为， 所以随机抽取15人中男生的人数为、女生人数为， 的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16. 已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数的值； （2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数； （2）利用导数讨论单调性，得出函数的极值，再解不等式即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于， 因为，所以切线斜率为， 所以，则，所以切点为， 又因为切点在直线上，所以， 所以． 【小问2详解】 ， 则． 当时，，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不满足题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不满足题意； 当时，，， 所以在上单调递增， 所以不是的极值点，不满足题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，满足题意， 综上，的取值范围是． 17. 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 18. 某智能出行科技公司测试甲、乙两款辅助驾驶系统的障碍物避让性能，分别搭载甲、乙系统的车辆各开展了120次模拟测试，其中甲系统避让成功96次，乙系统避让成功84次.假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）若从这120次甲系统测试中不放回地随机抽取5次测试，记为抽取的5次测试中甲系统成功避让的次数，求的数学期望. （2）现对乙系统追加2次独立测试，对甲系统追加1次独立测试，记为这3次测试里成功避让的总次数，求的分布列与数学期望； （3）现对甲系统追加次独立测试，记为这次测试中成功避让的次数，若用估计甲系统单次成功避让的概率，求（均方误差），并说明当增大时该值的变化趋势.（参考公式：） 【答案】（1） （2） . （3）均方误差为，当增大时，单调递减且趋近于. 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布的期望公式计算即可； （2）利用互斥事件概率公式，结合离散型随机变量的分布列与数学期望公式分析求解即可； （3）利用二项分布的期望、方差公式展开均方误差化简，再判断变化趋势. 【小问1详解】 由题意知服从超几何分布，记， 则. 【小问2详解】 用频率估计概率，甲系统单次成功的概率为， 乙系统单次成功的概率为， 由题分析可知可取， ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 所以 【小问3详解】 已知甲系统单次成功避让的概率，则， 所以， 展开均方误差： ， 当增大时，单调递减且趋近于. 19. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【答案】（1） 由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2） （3） 由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 【解析】 【分析】（1）求导，将问题转化为函数的零点问题，进而结合单调性与零点存在性定理求解即可； （2）根据函数定义，将问题转化为存在实数，使得有三个实数根问题，再构造函数求解即可. （3）由题将问题转化为存在实数根的充要条件为充分性的证明方面，先验证当时，函数具有性质，再讨论当且时，结合函数隐零点得存在满足，即成立；再证必要性：先说明不成立，再研究的性质得函数在严格减函数，严格增函数，进而得得矛盾即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $