精品解析：山东省淄博实验中学2025-2026学年高三上学期开学教学限时检测数学试题

淄博实验中学高三年级教学限时检测 数学 2025.09 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，则（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 3 3. 在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ） A. B. C. 5 D. 4. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在单调递增，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 6. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当研究两个变量之间的关联程度时，若相关系数的绝对值越接近于0，则两个变量的线性相关程度越强 B. 在评估模型拟合效果时，决定系数越接近0，表示模型对数据的拟合效果越差 C. 通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D. 设关于分类变量与的独立性检验的原假设为：与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为与无关． 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，拐点处的切线方程为 B. 当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 13. “三支一扶”是指大学生在毕业后到农村基层从事支农、支教、支医和扶贫工作．为贯彻落实“三支一扶”政策，某地择优遴选了6名优秀大学毕业生分配到6个贫困乡镇承担农业科技推广等任务，若每个乡镇至少有1名大学毕业生，且1个大学生只去1个乡镇，则甲同学不到乡镇的分配方案有______种． 14. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； 16. 数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． （1）求数列和的通项公式； （2）求的前n项和． 17. 甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． （1）若，比赛采用3局2胜制． ①求甲获胜的概率； ②设表示比赛结束时需要完成的局数，求的分布列和期望． （2）若，比赛采用5局3胜制，比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的选手积3分，负者积0分．以取胜的选手积2分，负者积1分．如果甲、乙两位选手约定比赛两场，求甲、乙积分相等的概率． 18. 设数列满足 （1）证明：为等差数列并求； （2）设，求． （3）求 19. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 （1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； （3）记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学高三年级教学限时检测 数学 2025.09 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：A 2. 已知随机变量，则（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称， 因为， 所以，解得． 故选：A． 3. 在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理结合等比中项可求. 【详解】因为是函数的两个零点， 所以是方程的两个根，则，， 所以都为负数，又因为是等比数列，, 所以，则， 故选：B 4. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式计算可得． 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 5. 已知函数在单调递增，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 6. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】在第一次取得白球的条件下，袋子中还有9个球，其中红球5个，白球4个， 所以第二次取到红球的概率是. 故选：A 7. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 8. 已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【详解】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当研究两个变量之间的关联程度时，若相关系数的绝对值越接近于0，则两个变量的线性相关程度越强 B. 在评估模型拟合效果时，决定系数越接近0，表示模型对数据的拟合效果越差 C. 通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D. 设关于分类变量与的独立性检验的原假设为：与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为与无关． 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据相关系数的性质分析判断；对于B根据决定系数的性质分析判断；对于C根据回归方程过样本中心点分析判断；对于D根据独立性检验思想分析判断. 【详解】因为相关系数绝对值越接近1两个变量的线性相关程度越强，故A选项错误. 因为决定系数越接近0，表示模型对数据的拟合效果越差，故B选项正确. 因为回归直线一定经过样本均值点，故C选项正确. 因为，则没有充分证据推断不成立，即认为与有无，故D选项正确. 故选：BCD 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对二项式展开式赋值以及利用求导的方法来求解各项系数的值或系数之间的关系. 【详解】根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为， 所以，即，可得，故选项A正确； 二项式其展开式的通项公式为， 要求，也就是当时的系数， 将代入通项公式中， 先计算组合数， 则，故选项B错误； 令，则， 即，所以 又因为前面已经求得，那么，故选项C错误； 对两边同时求导。 左边求导为，右边求导为，即 令，则 即，所以，故选项D正确. 故选：AD. 11. 三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，拐点处的切线方程为 B. 当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题设定义求得，再利用导数的几何意义即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又由，得到，解得或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C正确， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得. 【详解】因为， 所以 ， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，即， 所以， 故答案为： 13. “三支一扶”是指大学生在毕业后到农村基层从事支农、支教、支医和扶贫工作．为贯彻落实“三支一扶”政策，某地择优遴选了6名优秀大学毕业生分配到6个贫困乡镇承担农业科技推广等任务，若每个乡镇至少有1名大学毕业生，且1个大学生只去1个乡镇，则甲同学不到乡镇的分配方案有______种． 【答案】600 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】第一步，甲同学不去乡镇，共有种分配方法； 第二步，剩下的5名同学去5个不同的乡镇，共有种分配方法， 由分步乘法计数原理可知共有种分配方案． 故答案为：600 14. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由牛顿数列的定义可得与的关系式，代入可得，进而通过等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】根据题意，，则， 所以， ， 因为， 则， 所以，即， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再结合点斜式方程即可求出切线方程； （2）根据函数单调性得出导函数大于等于0，再应用参数分离构造，最后应用导数得出函数最值即可得出范围. 【小问1详解】 当时，，，，， 所以曲线在点处的切线方程，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，， 所以，所以单调递增， ， 所以. 16. 数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． （1）求数列和的通项公式； （2）求的前n项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与前n项和的关系可求得；根据等比数列的概念可求得数列的通项公式，从而可得； （2）利用错位相减法以及等比数列的概念计算化简即可求解. 【小问1详解】 已知 ，当 时，； 当 时，； 验证时，，符合上式， 故数列通项公式为. 因为， 所以，等式两边同时加 可得， 即，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 数列通项公式为，所以. 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以， 记数列的前项和为 ， ，① 上式乘以公比2可得； ，② 由① ②可得： ， 即， ， 化简可得， 即. 17. 甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． （1）若，比赛采用3局2胜制． ①求甲获胜的概率； ②设表示比赛结束时需要完成的局数，求的分布列和期望． （2）若，比赛采用5局3胜制，比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的选手积3分，负者积0分．以取胜的选手积2分，负者积1分．如果甲、乙两位选手约定比赛两场，求甲、乙积分相等的概率． 【答案】（1）①甲胜的概率为；②分布列见解析；期望为 （2）甲、乙积分相等的概率为 【解析】 【分析】（1）①甲获胜有两种情况，连胜两局或前两局中胜一局，最后一局甲胜，利用独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式计算即可；②由题意可得的取值为2，3；求得对应概率可得分布列，利用期望公式计算即可； （2）两人各以3:0或3:1赢一局或两人以3:2各赢一局积分相同，计算即可. 【小问1详解】 ①由已知可得每局比赛甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为． 甲获胜有两种情况，连胜两局或前两局中胜一局，最后一局甲胜， 概率为； ②由题意可得的取值为2，3； 则，， 所以的分布列为： 2 3 ； 【小问2详解】 若，则每局比赛甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为． 可得甲以3:0或3:1取胜一局的概率为， 乙以3:0或3:1取胜一局的概率为， 两人各以3:0或3:1赢一局的概率为， 甲以3:2取胜一局的概率为， 乙以3:2取胜一局的概率为， 两人以3:2各赢一局的概率为， 故甲、乙积分相等的概率为． 18. 设数列满足 （1）证明：为等差数列并求； （2）设，求． （3）求 【答案】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， 所以，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件化为，即可利用等差数列的定义证明即可； （2）先求出的通项公式，代入函数并利用导数的运算法则求出导函数，当且时函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数，当时利用等差数列求和求解，再求出，即可求解函数表达式； （3）将代入（2）中的导函数求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1，所以，即， 在中，， 所以，所以， 当且时，两式相减得， 所以； 当时，； 当时，； 综上，； 【小问3详解】 当时， . 19. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 （1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； （3）记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出零假设，相关数据代入公式求出，判断与临界值的大小得出结论； （2）设次传球后球在乙手中的概率为，根据全概率公式写出的递推公式，利用构造法求的通项公式； （3）根据两点分布的期望及期望的性质写出，然后利用等比数列的求和公式化简，分析得出恒成立，由随奇数的增大而减小知. 【小问1详解】 零假设：学生性别与体育锻炼的经常性无关，则 ， 故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 【小问2详解】 设次传球后球在乙手中的概率为， 则第次传球后球不在乙手中的概率为， 所以， 所以，其中， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故， 故第次传球后球在乙手中的概率为； 【小问3详解】 由（2）知， 故 ， 所以， 又总成立，设，只需要， 当最大时，必定为奇数，而随奇数的增大而减小， 故当时，最大值， 所以，故实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $