专题03 整式的除法重难点题型专训（2个知识点+8大题型+自我检测）-2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

本讲义聚焦整式的除法核心知识点，系统梳理单项式除以单项式（系数、同底数幂分别相除）和多项式除以单项式（每一项分别除单项式）的法则，以同底数幂除法、零指数幂等为基础，通过8大基础题型及2类提高题型构建从基础到综合应用的学习支架。 资料特色在于分层设计与素养融合，基础题型如幂的混合运算强化运算能力，提高题型如幂的新定义计算发展推理意识，结合科学记数法、面积问题等实例培养应用意识。课中辅助教师分层教学，课后自我检测助力学生查漏补缺，提升知识掌握度。

专题03 整式的除法重难点题型专训（2个知识点+8大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、同底数幂的除法运算 1 题型二、同底数幂除法的逆用 2 题型三、零指数幂 3 题型四、幂的混合运算 4 题型五、计算单项式除以单项式 5 题型六、用科学记数法表示数的除法 6 题型七、多项式除以单项式 7 题型八、整式四则混合运算 8 第二部分·练提高题型 题型一、幂的新定义计算 1 题型二、整式除法与单项式求值计算 2 第三部分・自我检测 知识点01 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）计算：__________（）． 知识点02 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图是一道残缺不全的题目，被遮住的式子是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期末）计算的结果是__________． 【基础题型一 同底数幂的除法运算】 【例1】（25-26七年级下·北京·期末）下列运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）计算________． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则=__________． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【基础题型二 同底数幂除法的逆用】 【例1】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【例2】（25-26八年级上·广东湛江·期中）若，，则______． 1．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为______． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）已知：． (1)求的值； (2)求的值． 【基础题型三 零指数幂】 【例1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如果式子有意义，则满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河北邯郸·二模）计算：________． 1．（25-26七年级上·上海·期中）定义：如果 （，），那么x叫做以a为底N的对数，记作 ．例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ．则在下列4个下列说法：① ；② ；③ ；④ 中，正确的个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有意义，则a的取值范围是________． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）阅读解答 (1)填空（答案填在括号里）： ；；…… (2)探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)计算：． 【基础题型四 幂的混合运算】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川达州·期末）计算：_______． 1．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）下面是某同学在作业中的计算摘录：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中计算正确的是（    ） A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦ 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【基础题型五 计算单项式除以单项式】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）若，则的值为（     ）． A．2 B．4 C． D． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）填表： 被除式 除式 商 填表为________、________、________． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【基础题型六 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）_____． 1．（2026·河南焦作·二模）纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西运城·阶段检测）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 3．（24-25七年级下·山西运城·阶段检测）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【基础题型七 多项式除以单项式】 【例1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）弟弟不小心把小华的作业本撕掉了一角，留下了一道不完整的题目，如图所示，这是一道整式乘法题，被撕掉的是一个一次三项式，则被撕掉的多项式是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中、是两个关于，的二项式．请仔细观察图中的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为________，多项式为________，例题的计算结果为________； (2)计算：； 【基础题型八 整式四则混合运算】 【例1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）有一种游戏的规则如下：你任意想一个数，将这个数乘，加上，除以，最后减去你所想的这个数，结果就会出来，那么结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）任意给一个非零数m，按下列程序进行计算，输出的结果仍是m，则程序中的第二个方框中应该填的是__________． 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）边长分别为m和的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么a与b的数量关系是______． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【提高题型一 幂的新定义计算】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则______． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 3．（25-26七年级下·江苏常州·阶段检测）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2． 理解运用： (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝　 　，d（1）＝　 　； (2)“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），；根据运算性质，填空：＝　 　；（a为正数） (3)若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）； (4)若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p． 【提高题型二 整式除法与单项式求值计算】 【例1】（2026·河北沧州·模拟预测）墨迹覆盖了整式计算“”的一部分，则被覆盖的部分不可能是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）已知 ，则 的值为__________． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）计算： (1)利用乘法公式进行计算： ①； ②； ③； ④ (2)计算： ①； ② 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中“”是关于的单项式． 化简：． 解： (1)求单项式． (2)写出该例题的完整解答过程． (3)当时，计算原式的值． 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东日照·期末），，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知，，，下列给出，，三个数之间的四个关系式，其中不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆·期中），其中为正整数．各项系数各不相同，且均不为0．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称其为原多项式的“博雅式”． ①多项式共有8个不同的“博雅式”； ②若，则常数项； ③若多项式，则的系数之和为128； ④若多项式，则． 以上正确的说法有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是_________． 7．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则的值为_____． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）化简：_______； _________； ___________； ________； _____； __________． 9．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）先在如图1边长为的正方形纸片中剪下一个边长为1的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个如图2的长方形．若图2的长方形的宽为，则长为________（用含的代数式表示）． 10．（25-26七年级上·湖北鄂州·阶段检测）图1的小长方形纸片的长为，宽为，将7张小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，它们的周长与面积分别记为，当的值一定时，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定为定值的式子的序号是________． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）某种液体每升含有个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌，现在若要将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为，要用多少升？ 14．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为，底面长方形的宽为，求长方形纸板的周长． 15．（25-26七年级上·北京·期中）如图为小明家住房的结构（单位：米） (1)小明家住房面积为 平方米；（用含，的代数式表示，化为最简形式） (2)现小明家需要进行装修，装修成本为元/平方米，若，，则全部装修完的成本为 元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的除法重难点题型专训（2个知识点+8大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、同底数幂的除法运算 1 题型二、同底数幂除法的逆用 2 题型三、零指数幂 3 题型四、幂的混合运算 4 题型五、计算单项式除以单项式 5 题型六、用科学记数法表示数的除法 6 题型七、多项式除以单项式 7 题型八、整式四则混合运算 8 第二部分·练提高题型 题型一、幂的新定义计算 1 题型二、整式除法与单项式求值计算 2 第三部分・自我检测 知识点01 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算乘方，再根据单项式除法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）计算：__________（）． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ． 知识点02 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图是一道残缺不全的题目，被遮住的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期末）计算的结果是__________． 【答案】/ 【详解】解：． 【基础题型一 同底数幂的除法运算】 【例1】（25-26七年级下·北京·期末）下列运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项中与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B选项：，故本选项符合题意； C选项：，故本选项不符合题意； D选项：，故本选项不符合题意； 【例2】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）计算________． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则=__________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算性质，利用同底数幂除法法则将所求式子变形，再代入已知数值计算即可，用到的知识点是同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】解：已知， ∴ 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，求解即可； （2）先根据同底数幂的乘除法，积的乘方，算出每一项，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ． 【基础题型二 同底数幂除法的逆用】 【例1】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆用； 利用指数运算的性质，将所求表达式分解为已知指数的形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·广东湛江·期中）若，，则______． 【答案】/0.6 【分析】根据同底数幂的除法的逆运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 1．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法运算性质，解题的关键是将转化为进行计算． 利用同底数幂的除法法则，将变形为，再代入已知条件计算． 【详解】解： ∵，， ∴． 故选：D 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为______． 【答案】/ 【分析】利用同底数幂的除法法则将所求代数式变形，再代入已知数值计算． 【详解】解：∵， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）已知：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)9 (2)3 【分析】（1）利用幂的乘方的逆应用进行求解； （2）利用同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】注意掌握幂的运算的逆应用． 【基础题型三 零指数幂】 【例1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如果式子有意义，则满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零指数幂的定义，底数不为0时零指数幂才有意义，据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据零指数幂的定义，零指数幂的底数不能为，式子才有意义． ∴ 解得． 【例2】（2026·河北邯郸·二模）计算：________． 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的乘方和零指数幂． 应用有理数乘方法则和零指数幂法则进行计算，再作差即可． 【详解】解：． 1．（25-26七年级上·上海·期中）定义：如果 （，），那么x叫做以a为底N的对数，记作 ．例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ．则在下列4个下列说法：① ；② ；③ ；④ 中，正确的个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据题目给出的对数定义，结合乘方运算，逐项判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④，共3个． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有意义，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）阅读解答 (1)填空（答案填在括号里）： ；；…… (2)探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)计算：． 【答案】(1)0；1；2 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据（1）中式子的规律写出第个等式，再逆用同底数幂的乘法说明即可； （3）利用（2）中的规律简便计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）中式子的规律，第个等式为； 说明：左边 右边； （3）解： ． 【基础题型四 幂的混合运算】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．先根据积的乘方法则计算小括号，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后化简负整数指数幂，即得答案． 【详解】 ． 故选A． 【例2】（25-26七年级下·四川达州·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 1．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）下面是某同学在作业中的计算摘录：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中计算正确的是（    ） A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦ 【答案】D 【分析】根据零指数幂的运算法则判断①，根据同底数幂的乘法运算法则判断②，根据负整数指数幂的运算法则判断③，根据幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的运算法则判断④，根据合并同类项的运算法则判断⑤，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断⑥，根据积的乘方，同底数幂的除法运算法则判断⑦． 【详解】解：①，原计算错误； ②，原计算正确； ③，原计算错误； ④，原计算正确； ⑤，原计算正确； ⑥，原计算错误； ⑦，原计算正确； 其中计算正确的是：②④⑤⑦． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 【基础题型五 计算单项式除以单项式】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）若，则的值为（     ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ，， ，， ． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）填表： 被除式 除式 商 填表为________、________、________． 【答案】 【分析】根据被除式除式商的关系，计算未知项，利用单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：第一个空求商，计算得； 第二个空求除式，由除式被除式商，计算得； 第三个空求商，计算得． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式的除法法则计算除法，即可得到结果． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 【答案】15 【分析】先计算出大长方形的面积为，而C类卡片的面积为，即可确定需要15张C类卡片． 【详解】解：大长方形的面积， ∵C类卡片的面积是， ∴， ∴小明需要准备C类卡片15张． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础题型六 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【例2】（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）_____． 【答案】 【分析】根据单项式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 1．（2026·河南焦作·二模）纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求出1立方米立方纳米，即可求解． 【详解】解：1纳米米， 1立方米立方纳米， 的空间可以放个的物体， 故选：D． 【点睛】本题考查了单位之间的转化，解题的关键是：要掌握纳米与米之间的转化． 2．（24-25七年级下·山西运城·阶段检测）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 【答案】或500 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：500 3．（24-25七年级下·山西运城·阶段检测）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，求出长方体的体积，再除以速度，即可得出结果． 【详解】解：长方体废水池中废水的体积为， ∵净化速度为， 净化废水所需时间为． 答：这池废水需要能净化完． 【基础题型七 多项式除以单项式】 【例1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过多项式除以单项式计算即可. 【详解】解：长方形的面积为，一边长为， 另一边长为． 故选： D． 【例2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式计算，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式运算法则． 将多项式的每一项分别除以单项式，然后合并结果即可． 【详解】解： 故答案为：． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）弟弟不小心把小华的作业本撕掉了一角，留下了一道不完整的题目，如图所示，这是一道整式乘法题，被撕掉的是一个一次三项式，则被撕掉的多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是根据题意，列出算式，熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相乘法则． 根据乘数积另一个乘数，列出算式，利用多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中、是两个关于，的二项式．请仔细观察图中的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为________，多项式为________，例题的计算结果为________； (2)计算：； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可知多项式，多项式，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得到多项式A和B；根据合并同类项的运算法则计算即可得到计算结果； （2）根据（1）中所求结果代入，利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，； ； 计算结果： 原式 ； （2）解：原式 ． 【基础题型八 整式四则混合运算】 【例1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）有一种游戏的规则如下：你任意想一个数，将这个数乘，加上，除以，最后减去你所想的这个数，结果就会出来，那么结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握代数式求值是解题的关键； 根据题意，设这个数为，列式子求解即可； 【详解】解：设这个数为， ； 故选：B 【例2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）任意给一个非零数m，按下列程序进行计算，输出的结果仍是m，则程序中的第二个方框中应该填的是__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据程序由输入值以及输出结果进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）边长分别为m和的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，根据阴影部分的面积两个正方形的面积之和两个三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：由图可得： 图中阴影部分的面积为， 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么a与b的数量关系是______． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与无关即可求出与的关系式，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ∵，即， ∴，即， ∴阴影部分面积之差， ∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变， ∴，即， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【答案】(1) (2)8，21 (3)证明：根据二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，可得 ， ∵x为整数， ∴是整数， ∴是24的倍数，即能被24整除． 【分析】(1)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律先确定展开式中各项的系数，再确定每一项中对应的次数即可得到展开式； (2)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律得到展开式的项数比n大1，即项数为，可得的展开式中的项数，再根据展开式中的系数规律得到从左到右各项的系数即可得出答案； (3)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数及系数的规律将代数式展开并化简，再提取公因数即可证得结论． 【详解】（1）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，5，10，10，5，1，每一项中a的次数按降幂排列从5降到0，b的次数按升幂排列从0升到5， ∴； （2）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律可知，展开式的项数比n大1，即项数为， ∴的展开式中共有(项)； 根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中从左到右第三项的系数是21； （3）略 【提高题型一 幂的新定义计算】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 【例2】（25-26六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则______． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下运算，幂的乘方，同底数幂的乘除运算，原式利用题中的新定义计算即可求出值．按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照幂的乘方，同底幂除法运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，新定义运算的含义； （1）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （2）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （3）由新定义运算的含义可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得：. 2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 3．（25-26七年级下·江苏常州·阶段检测）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2． 理解运用： (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝　 　，d（1）＝　 　； (2)“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），；根据运算性质，填空：＝　 　；（a为正数） (3)若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）； (4)若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p． 【答案】(1)﹣3，0 (2)3 (3)0.6020，0.6990 (4) ∵d（2）＝2m+n， ∴d（4） ＝d（2×2） ＝d（2）+d（2） ＝2d（2） ＝2（2m+n） ＝4m+2n， d（8） ＝d（2×2×2） ＝d（2）+d（2）+d（2） ＝3d（2） ＝3（2m+n） ＝6m+3n ∵d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p， ∴ ∴解得：m＝n＝p， 【分析】（1）根据“劳格数”的定义即可求得； （2）由“劳格数”运算性质及乘方的意义，即可求解； （3）由d（4）＝d（2×2）、d（5）=，再根据“劳格数”运算性质及已知即可求解； （4）由d（4）＝d（2×2）＝2d（2）、d（8）＝d（2×2×2）＝3d（2），以及已知可得关于m、n、p的方程组，即可得m、n、p的关系． 【详解】（1）∵10b＝10﹣3， ∴b＝﹣3， ∴d（10﹣3）＝﹣3， ∵10b＝1＝100， ∴b＝0， ∴d（1）＝d（100）＝0， 故答案为：﹣3，0． （2） ＝ ＝ ＝ ＝3； 故答案为：3． （3）∵d（2）＝0.310， ∴d（4） ＝d（2×2） ＝d（2）+d（2） ＝2d（2） ＝2×0.3010 ＝0.6020， d（5） ＝ ＝d（10）﹣d（2） ＝1﹣0.3010 ＝0.6990； （4）略 【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的乘方意义，读懂题中的新定义及新定义的运算性质，结合有理数乘方的意义进行解答是解题的关键． 【提高题型二 整式除法与单项式求值计算】 【例1】（2026·河北沧州·模拟预测）墨迹覆盖了整式计算“”的一部分，则被覆盖的部分不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、单项式的乘除法则判断即可． 【详解】解∶ A．，故A不符合题意， B．与不能合并同类项，故B符合题意， C．， 故C不符合题意， D．， 故D不符合题意． 【例2】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）已知 ，则 的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，以及求代数式的值，先计算积的乘方运算，再根据单项式除以单项式得出，，进而求出a，b的值，再计算单项式除以单项式，最后再代入a，b的值计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 故答案为：． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）计算： (1)利用乘法公式进行计算： ①； ②； ③； ④ (2)计算： ①； ② 【答案】(1)①；②；③；④ (2)①；② 【分析】①利用平方差公式进行计算，即可解答； ②利用完全平方公式进行计算，即可解答； ③利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； ④利用平方差公式进行计算，即可解答； ①先算乘方，再算乘除，即可解答； ②先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解：①； ② ； ③ ； ④ ； （2）解：① ； ② ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中“”是关于的单项式． 化简：． 解： (1)求单项式． (2)写出该例题的完整解答过程． (3)当时，计算原式的值． 【答案】(1) (2) 解： ， ； (3) 【分析】本题考查了整式的乘除法和整式的加减法，以及代数式求值； （1）根据题意利用单项式除以单项式法则计算即可； （2）利用单项式乘以单项式法则，积的乘方法则，0指数幂以及整式的加减法法则计算即可； （3）将代入，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）略 （3）解：当时，． 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用积的乘方、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法法则，逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 2．（25-26八年级上·山东日照·期末），，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可． 【详解】解：， = =1.5 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知，，，下列给出，，三个数之间的四个关系式，其中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“底数相同的幂相等时，指数相等”逐一验证各选项即可得到不正确的关系式． 【详解】解：∵ ，，， 验证选项A：∵ ， ， ∴ ，可得，A正确，不符合题意； 验证选项B：∵ ， ∴ ，B正确，不符合题意； 验证选项C：∵ ， ∴ ，C正确，不符合题意； 验证选项D：∵ ， ， ∴ ，可得，D错误，符合题意． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查多项式除以单项式．根据题意得到，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【详解】解：． 故选C． 5．（24-25七年级上·重庆·期中），其中为正整数．各项系数各不相同，且均不为0．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称其为原多项式的“博雅式”． ①多项式共有8个不同的“博雅式”； ②若，则常数项； ③若多项式，则的系数之和为128； ④若多项式，则． 以上正确的说法有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，代数式求值，理解题目中的计算，掌握代数式求值是解题的关键．根据的计算可得的系数为，根据“博雅式”的定义即判定①；由时，，可判定②；时，，可判定③；当时，，当时，，当时，由此可判定④；即可求解． 【详解】解：， ∴，其中系数分别为，共有6个， 交换任意两项的系数， 当分别和，，，，交换，共得到5种不同的“博雅式”； 当分别和，，，交换，共得到4种不同的“博雅式”； 当分别和，，交换，共得到3种不同的“博雅式”； 当分别和，交换，共得到2种不同的“博雅式”； 当和交换，得到共1种不同的“博雅式”； 故共有种不同的“博雅式”，故①错误； 若， 则， 当时，， 则常数项，故②正确； 若多项式， 则， 当时，， 则的系数之和为，故③正确； 若多项式， 当时，， 当时，， 两式相加得，， ∴， ∴， 当时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共2个， 故选：B ． 6．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是_________． 【答案】或0或 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，方程成立需考虑三种情况：底数为1；指数为0且底数不为0；底数为且指数为偶数，即可求解． 【详解】解：当底数时， 解得，此时指数为，得到，等式成立； 当指数时， 解得，此时底数为，得到，等式成立； 当底数时， 解得，此时指数为，为偶数，得到，等式成立； 其他情况均不满足等式， 故答案为：或0或． 7．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】逆用同底数幂相除法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）化简：_______； _________； ___________； ________； _____； __________． 【答案】 1 【分析】本题考查了整式的运算，利用整式的混合运算法则以及零指数幂的性质一一计算即可． 【详解】解：； ； ； ； ； ． 故答案为：；；；；1；． 9．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）先在如图1边长为的正方形纸片中剪下一个边长为1的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个如图2的长方形．若图2的长方形的宽为，则长为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算与图形的面积转化，熟练掌握平方差公式和长方形、正方形的面积公式是解题的关键． 先分别求出图1阴影部分的面积，再根据图2长方形的面积与阴影部分面积相等，结合长方形的宽求出长． 【详解】解：∵阴影部分面积为， ∴长方形的长为， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖北鄂州·阶段检测）图1的小长方形纸片的长为，宽为，将7张小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，它们的周长与面积分别记为，当的值一定时，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定为定值的式子的序号是________． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了整式的加减，设，根据图形可得左上角矩形的长为，宽为，右下角矩形的长为，宽为，再根据矩形周长公式和面积公式将分别表示出来，可得①，不是定值；②，是定值；③，不是定值，④，是定值，即可进行解答．解题的关键是正确理解题意，根据图形得出的表达式． 【详解】解：设， 由图可知： ， ， ， ， ①，不是定值，不符合题意； ②，是定值，符合题意； ③，不是定值，不符合题意； ④，是定值，符合题意； 综上，是定值的有②④； 故答案为：②④． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】同底数幂除法法则：底数不变，指数相减，据此计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 12．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）某种液体每升含有个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌，现在若要将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为，要用多少升？ 【答案】要用这种杀菌剂滴，要用升 【分析】先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解， 本题考查了同底数幂乘除法的实际应用，解题的关键是：理解题意正确列式． 【详解】解：根据题意知，要用这种杀菌剂（滴）， 要用（升）， 要用这种杀菌剂滴，要用升． 14．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为，底面长方形的宽为，求长方形纸板的周长． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式的实际应用，由长方体的容积，及长方体的高、底面的宽可得底面的长，从而可得原长方形纸板的长和宽是解题的关键. 【详解】解：由题意可知，长方体纸盒的长为：， 则长方形纸板的长为， 长方形纸板的宽为， ∴长方形纸板的周长为： ． 15．（25-26七年级上·北京·期中）如图为小明家住房的结构（单位：米） (1)小明家住房面积为 平方米；（用含，的代数式表示，化为最简形式） (2)现小明家需要进行装修，装修成本为元/平方米，若，，则全部装修完的成本为 元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）住房的总面积长宽的客厅的面积长宽的厨房的面积长宽的浴室的面积长宽的卧室的面积； （2）将，代入算出小明家住房面积，再乘以每平方米装修成本，即可得出全部装修完的成本． 【详解】（1）解： （平方米）． 故答案为：； （2）解：，， ， （元）． 答：全部装修完的成本为元． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，解题的关键是熟练掌握法则进行计算． 学科网（北京）股份有限公司 $