山东淄博市实验中学、齐盛高级中学2026-2027学年高三第一次教学诊断训练数学试题

命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 淄博实验中学、淄博齐盛高中高三第一次教学诊断训练 数 学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.已知集合A={r2-x-6≤0}，B={xw=-x}，则AnB=（) A.[-1,1] B.[-2,1] C.(-∞，3] D.[0,1] 2.下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是() A.如果a=么那么只b B.如果<<0，那么a->b cc a b C.如果a>b那么11 D.如果a>b>0,meR,那么b<b+m aa+m 3.己知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a4=5,S=l8,则公差d=() A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有 () A.24种 B.36种 C.12种 D.48种 5.已知函数)=e-e,若正实数，n满足f(2m)+f(m-5列=f0),则2+L的最小值是（) m n+l A B号 对于事件A,,P到-房P-分P回4)-名则P国8=(） A.号 B.1o C.1o D.4 7.设奇函数f(9)的定义域为R,对任意的飞，飞∈(，0)且飞≠，都有不等式)-色>0，且(-3)=3， X1-X2 则不等式f(x-4)s9 的解集是() x-4 A.[1,+∞） B.[1,4)U[7,+o) C.（n,7] D.（-0,-1]U(4,7] 8.从1,2,3，.，10这十个数中随机抽取一个数记为X,再从1,2，.，X这X个数中随机抽取一个数记为Y, 则数学期望E()=() A号 B. 13 2 D. 2 试卷第1页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列命题正确的是() A.两个变量x,y的相关系数为”，若r越小，则x与y之间的线性相关程度越弱 B.设随机变量5N2,若P(G>)-p,则P(5<1)-}p 1 C.若XB62且y=2X-1,则D(四=6 D.己知x,y之间的关系满足)=c,设z=y,若x,z之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方 程为z=0.5x+1,则c=e 10.已知等比数列{a}的前n项和为S,且4+H=2S,+2,则下列选项中正确的有() A.0n=2.3” B.数列{lna}是等差数列 11 1 3 C.4<3” D. a+1a+1 02026+14 11.己知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记8(x)=f'(x),若g(x)为偶函数且∫(1+2x)=f(1-2x), g(0)=1, A.g(2026)=-1 B.g(x+4)=g(x) C.f(x)是奇函数 w蓉自时 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分.共15分） 12. 的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的第三项为 13.已知函数f(x)满足对x∈R都有f(x)+f(-)=0成立.当x≥0时，f(x)=x2+2x,则不等式 f(f(x)+f(x+4)<0的解集为 14.无穷等比数列{a}满足首项a>0,9>1,记1n={-y,y∈[a,a凸，a},若对任意正整数n集合1n是闭 区间，则9的取值范围是· 试卷第2页（共23页） 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 四、解答题 15.2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是 一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进 行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有？的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生 (1)根据已知条件补充完整下表，并判断是否有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 (2)采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3 人可以获得军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为X,求X的分布列和数学期望 a+bc+da+e0+,当X≤2706时，没有充分的证据判断变量A,B有关联，可以认为变量4， n(ad-be 附：x2= B是没有关联的；当x2>2.706时，有90%的把握判断变量A,B有关联；当x2>3.841时，有95%的把握判断变量 A,B有关联；当x2>6.635时，有99%的把握判断变量A,B有关联 试卷第3页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 16.已知函数f(x)=x(lnr-a),直线y=x-e与曲线y=f(x)相切. (1)求实数a的值； (2)若x=1是函数g(x)=f(x2)-时(x)的极大值点，求实数b的取值范围. 试卷第4页（共23页） 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 17.已知数列{a}满足4=1，a+= a+1,n为奇数 4.+2,n为偶数 (1)记b.=4m,写出b,b,并求数列色}的通项公式： (2)求{a}的前20项和. 试卷第5页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 18.2026年被业内称为自动驾驶商业化关键元年，L3级自动驾驶规模化落地、Robotaxi多城运营、智驾技术从“高 端专属”走向“普惠平民”，近期，国际权威测评机构P3发布《2026中国智能驾驶测评报告》，对主流智驾系统障碍物 避让、复杂路况应对等核心性能展开全面测试某智能出行科技公司测试甲、乙两款辅助驾驶系统的障碍物避让性能， 分别搭载甲、乙系统的车辆各开展了120次模拟测试，其中甲系统避让成功96次，乙系统避让成功84次.假设每次 测试结果相互独立，用频率估计概率. (1)若从这120次甲系统测试中不放回地随机抽取5次测试，记X为抽取的5次测试中甲系统成功避让的次数，求X 的数学期望 (2)现对乙系统追加2次独立测试，对甲系统追加1次独立测试，记Y为这3次测试里成功避让的总次数，求Y的分 布列与数学期望E(Y): 3)现对甲系统追加nN)次独立测试，记T为这n次测试中成功避让的次数，若用互估计甲系统单次成功避让 的概率P,求E (均方误差)，并说明当n增大时该值的变化趋势.（参考公式：D(X)=E(?2)-[()]) 试卷第6页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 19.设函数y=f(x)的定义域为D,导函数为y=f(x),对于实数t,若存在∈D,使得f(t优)=f'()成立，则 称函数y=f(x)具有性质P(t). (1)若函数∫(x)=hx,请判断该函数是否具有性质P(1),并说明理由： (2)设a∈R,若函数f(x)=x+a具有性质P(2),且x的值恰有三个，求a的取值范围； (3)若函数f(x)=e+x具有性质P(t),求t的取值范围. 试卷第7页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 淄博实验中学、淄博齐盛高中高三第一次教学诊断训练 数 学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.已知集合A={r2-x-6≤0}，B={xw=-x}，则AnB=（) A.[-1,] B.[-2,1] C.(-∞，3] D.[0,1] 【答案】B 【详解】由x2-x-6≤0可得-2≤x≤3，则A=[-2,3], 由函数y=V1-x有意义，可得1-x≥0，解得x≤1，即B=（-0,1], 故AnB=[-2,1] 2.下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是() A.如果a=b那么8b B.如果二<0，那么a-1>b- 1 CC a b a b C.如果a>么那么{ +m ab D.如果a>b>0,∈R,那么二 aa+m 【答案】B 【详解】对于A,若c=0,则等式变形不成立；A错误： 对于B,若上<<0，则0>a>b,->->0, a b a b 所以a-合b方B正确： 1 对于C,a>0.b<0时，满足a>b,但>， a>6,C错误； 对于D, b+m b ab+am ab+bm (a-b)m a+laa(a+m)a(a+）ae+)’ 因为a>b>0,所以a-b>0,但m,a+m的符号不确定， 当m=0时， b_b+L,当ma+m>0时，<+m,当m(a+m<0时， b,b+,D错误。 aa+n aa+n aa+n 3.已知数列{a}是等差数列，Sn是其前n项和，a4=5,S。=18,则公差d=() A.-4 B.-2 C.2 D.4 【答案】D 【分析】利用已知条件建立关于首项4和公差d的方程组求解 4=4+3d=5 4=5-3d 【详解】由题意： $%=6a+ 2d=18' 6×5 化简可得： 2a+5d=61 所以2(5-3d)+5d=6,解得：d=4. 试卷第8页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 4.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有 () A.24种 B.36种 C.12种 D.48种 【答案】A 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为使 甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的 顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3x2×2=24种不同的排列方式， 故选：A 5.已知函数/(=e-e,若正实数m,u满足f(2m)+f0-列=f0),则2+1 的最小值是() m n+1 9 7 B. 5 C.4 D. 2 【答案】D 【分析】先判断函数f(x)的奇偶性及单调性，结合题设可得2+(+1)=6，然后利用基本不等式“1'的代换求解最 值即可， 【详解】由f(x)=e-ex,xeR, 则f(-x)=e-e=-(e-e)=-f(x),故f(x)是定义在R上的奇函数， 由f(2)+f(n-5)=f(0)=0,得f(2m)=-f(-5)=f(5-n), 由y=e,y=-e为增函数，知f(x)=e-e是增函数， 所以2m=5-n,即2l+(n+1)=6, mn+16 1 5+2 2(n+1)2 3 2 当且仅当2+少_2m， 即m=2,n=1时等号成立， n+1 则2+的最小值是子 m n+l 6对于事件A,s,P利=号P8)-写r因)=名则P国=() 6 1 A. B品 D. 【答案】C 试卷第9页（共23页） 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 【分析】先算出P(B|);结合P(A)求出交事件概率P(AB)；再用条件概率公式计算P(A|B) 【详解】条件概茅性质：P国A)1-Pe1,P(团A)-名，得Pa)-名而P()-号 由条件移率公式8)骨，得P)P4-80=0又P()-兮 P(AB) 由条件概率公式得P(4B)=P(A)3 P(B)10'C正确. 7.设奇函数f()的定义域为R,对任意的，(m,0)且飞x,都有不等武)区，0，且(3列=-3， 1-X2 则不等式f(x-4)≤9 的解集是() x-4 A.[1,+∞) B.[1,4)U[7,+o) C.(-m,7] D.(-w,-1]U(4,7] 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解」 【详解】因为对任意的5，西∈(n,0)且x≠，都有不等式f)-f)0, - 所以函数g(x)=f(x)在(-0,0)单调递增， 因为f(x)是奇函数，所以对x∈R,-xeR,且g(-x)=（-x)f(-x)=(-x)(-f(x)=f(x)=g(x), 即函数g(x)=(x)是偶函数 因为函数g(x)=f(x)在(-0,0)单调递增，所以函数g(x)=f(x)在(0，+∞)单调递减， 当-4利s,”可化为 -4/x-4)≤-3/(-3)或-4/(x-4)2-3/(-3) -4>0 x-4<0 又8(x)为偶函数，-3f(-3)=3f(3),所以 x--)s3/3)0或x-rx-4)23/③)@. x-4>0 x-4<0 由①得 x-4≥3 x≥4 ，解得x≥7； 由②得 -4-402/6),可得小-3 x-4<0 x-4<0,解得1≤x<4: 候上不等式(-，”7的解铁足L7+m 8.从1,2,3，，10这十个数中随机抽取一个数记为X,再从1,2，，X这X个数中随机抽取一个数记为Y, 则数学期望E()=() 试卷第10页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 A号 7 B.2 11 C.2 13 D. 2 【答案】A 其中1≤i,j≤10，i∈N,jeN,据此结合等 差数列求和公式可得答案 【详解】由题可得X的可能取值为L,2310,P(=)。1sis10ieN Y的可能取值为1,2,3，，10， v-=风x-片x-9+品x=0启行片动 其中1≤j≤10，j∈N, 10 则E(Y)=P(Y=1)+2P(Y=2)+3P(Y=3)+-10P(Y=10) 01++2142+兮(1+2+3*00 注意到+2+3++n_n+-+1cN, 之 2n 2 则0子20》1o号 24 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列命题正确的是() A.两个变量x,y的相关系数为，若越小，则x与y之间的线性相关程度越弱 B.设随机变量5N(2.).若P传>3)=p,则P(5<1)号户 C.若X~B6 2)且7=2r-1,则D()=6 61 D.已知x,y之间的关系满足)=c“,设z=hy,若x,z之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方 程为z=0.5x+1,则c=e 【答案】ACD 【分析】由相关系数与线性相关程度的关系可判断A;利用正态分布的对称性可判断B;根据方差的性质可判断C: 根据线性回归的相关知识可判断D. 【详解】对于A,两个变量x,y的相关系数为r,越小，x与y之间的线性相关程度越弱，故A正确： 试卷第11页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 对于B,随机变量5服从正态分布N(2,1),由正态分布概念知若P(5>3)=p,则P(5<1)=P(5>3)=p,故B错 误； 对于C,D(X)=p1-p)=6x 2 对于D,2=0.5x+1,则lhn少=0.5x+1,=e5x=ee5x,故c=e,故D正确 故选：ACD. 10.己知等比数列{a}的前n项和为Sn,且41=2Sn+2,则下列选项中正确的有() A.a=2.3 B.数列lna}是等差数列 1 3 C.a<3" 11 D. 4+1a2+1 4026+14 【答案】BCD 【分析】利用退一相减法及等比数列定义可求a,即可判断A选项，再根据等差数列的定义判断B选项；利用作 1. 1 差法比大小可判断C选项，构造数列化}满足么2,3>23+，计算数列，}的前2026项和，可判断D选项 【详解】由4H=2Sn+2,可得n=1时，马=2S+2=24+2①， 当n≥2时，a.=2S1+2,两式相减，可得aH-a.=2S.-2S-1=2a, 即a1=3au,因数列{a,}为等比数列， 故公比为3，由①可得%=34=24+2，解得4=2， 故a=2.3”-1,故A错误； 又因ha=h(23"-)=(n-1ln3+n2,na1=ln(23"-2)=0n-2n3+h2, 所以lna,-lna1=n3,即数列{ha}是等差数列，故B正确： 又a-3”=23-1-3”=-3”-1<0,即a<3”,故C正确： 产，题图” 1 11 因 则{b}的前n项和为T= 31 1 1 44x3- 3 313 以a+1+1a+++s=Zs43西子，放D正确 1 1 1 所以。 11.己知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记8(x)=f'(x),若g(x)为偶函数且f(1+2x)=f(1-2x), 试卷第12页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 A.g(2026)=-1 B.g(x+4)=g(x) C.f(x)是奇函数 日 【答案】AB 【分析】先求g(x)的周期，再求g(2026),再举出f(x)不是奇函数但是满足题意的函数，最后根据周期性讨论 【详解】由题可知：8(x)=8(-x),由f(1+2x)=f(1-2x)得f(1+t)=∫(1-t),对∫(1+t)=f(1-t)两边求导得： f(1+t)=-f(1-t),即得g(1+t)=-g(1-t), 所以g(x)关于1,0)中心对称，所以8(1+x)=-8(1-x),因为g(x)为偶函数，所以-g(1-x)=-g(x-1), 根据g(x)关于1,0)中心对称得-8(x-1)=-8(1+x-2)=8(1-(x-2)=8(3-x),所以8(1+x)=8(3-x)=8(x-3), 所以g(x+4)=g(x), g(2026)=g(2)=-8(0)=-1,所以A正确，B正确： 对Tc,令f)-2m传1，其号数r国=or货 为偶函数，且满足f(1+2x)=f(1-2x),f(0)=cos(0)=1, 但是f(x)不是奇函数，C错误： 对于D,因为g(x+4)=g() 所以传)即生)的) 8的周明为8，多走豆 (k 2026 的前八项，其中81.5)=-8(0.5)，8(2.5)=-8(-0.5)=-8(0.5)， 8(3.5)=g(-0.5)=8(0.5), 8(4)=8(0)=-8(2)8(0.5)+81)+g1.5)+g(2)+g(2.5)+8(3)+8(3.5)+8(4) =8(0.5)+0-8(0.5)-1-8(0.5)+0+g(0.5)+1=0 空6-05sa9-0=40. 80.5)可为任意实数，所以工8)不一定为-1，所以D蛋 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分.共15分） 12. 的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的第三项为 【答案】60 【详解】由题意可得2”=64，故n=6, 展开式运项为元。c矿((2ca学。 试卷第13页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 当k=2时，第3项I=(←2)2C%=60 13.己知函数f(x)满足对x∈R都有f(x)+f(-)=0成立.当x≥0时，f(x)=x2+2x,则不等式 f(f(x)+f(x+4)<0的解集为 【答案】(-0，-1) 【分析】根据f(x)+f(x)=O得到函数f(x)是R上的奇函数，继而求出x<0时，f(x)的解析式并判断f(x)在R 上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得。 【详解】因为对x∈R都有f(w)+f(-x)=0,所以f(x)是R上的奇函数， 又x≥0时，f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,显然f(x)在(0，+o)上单调递增， 故函数f(x)在R上单调递增， 当x<0时，-x>0,则f(x)=x2-2x,即f(x)=-f(-x)=-x2+2x: 由f(f(x)+f(x+4)<0,可得f(f(x)<-f(x+4)=f(-x-4), 故得f(x)<-x-4, x≥0 则有 x<0 x2+2x<-x-4或 -x2+2x<-x-4' 解得：x<1, 所以不等式f(f(x)+f(x+4)<0的解集为(-o,1) 14.无穷等比数列{a}满足首项a>0,q>1,记1n={-yk,y∈[a,a,4#},若对任意正整数n集合1n是闭 区间，则9的取值范围是 【答案】q≥2 【分析】当n≥2时，不妨设x≥y,则x-ye[0,a-4]U[a,-凸，a-a]U[0,aH-a],结合1n为闭区间可得 9-22-1 产对任意的1≥2恒成立，故可求9的取值范围 【详解】由题设有a=aq1,因为4>0,9>1，故a>a,故[a,4+]=[a4-,4q], 当n=1时，xy∈[4，凸]，故x-ye[4-a,凸-a],此时1为闭区间， 当n≥2时，不妨设x之≥y,若xy∈[4,4]，则x-ye[0,a-a], 若y∈[a,a]x∈[a,aH],则x-y∈[a.-4,aH-a], 若x,y∈[A,aH],则x-y∈[0，aH-a], 综上，x-ye[0,a-a]U[a-4,a+1-a]U[0,aH-a], 又In为闭区间等价于[0,4-4]U[a.-4,a+1-4]U[0,a+1-a]为闭区间， 试卷第14页（共23页） 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 而4H-4>aH-4>4-4,故4+1-4≥4-a42对任意n≥2恒成立， 故a1-24.+43≥0即4-1(q-2)+a2≥0，故-2(q-2)+1≥0， 故g-2≥-1 对任意的n≥2恒成立，因q>1, 散当n>+0时：→0，放g-220即g≥2 故答案为：q≥2 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等 式恒成立，必要时可利用参变分离来处理。 四、解答题 15.2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是 一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进 行调查，已知女生中有15名客欢军事，男生中有的人客欢军事，喜欢军事的学生中有是男生 3 (1)根据已知条件补充完整下表，并判断是否有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 (2)采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3 人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为X,求X的分布列和数学期望. 附：X2= n(ad-be) a+b)c+d(a+c)b+'当X≤2706时，没有充分的证据判断变量A,B有关联，可以认为变量A, B是没有关联的：当x2>2.706时，有90%的把握判断变量A,B有关联；当x2>3.841时，有95%的把握判断变量 A,B有关联；当x2>6.635时，有99%的把握判断变量A,B有关联 【答案】(1) 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关. 试卷第15页（共23页） 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 (2) 中 0 2 3 20 45 24 P 91 91 91 91 数学期望E(X)=2, 【分析】(1)完善列联表，计算X进行判断： (2)因为X的可能取值为0,1,2,3，根据古典概型计算公式、数学期望公式，列出分布列求期望即可. 【详解】(1)因为喜欢军事的学生中有是男生， 所以喜欢军事的学生中有是女生， 所以喜欢军事的男生与女生人数之比为2：1， 且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事， 因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名， 完善后的列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为H：该校学生喜欢军事与性别无关。 因为x2-100(30×35-20x15y100 ≈9.091>6.635， 45×55×50×50 11 因此可以认为H不成立，即有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关. (2)由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为2：1， 所以随机抽取15人中男生的人数为10、女生人数为5， X的可能取值为0,1,2,3， Px-0叭含员x-紫-9 C,91 P(x-2)=CC6-45 含.Px=) C-24 C91 所以X的分布列为： 试卷第16页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 X 0 2 20 45 24 91 91 1 数学期望B(x)=0x2+1x20+2×45+3x24=2 91 91 91 91 16.已知函数f(x)=x(lnr-a),直线y=x-e与曲线y=f(x)相切. (1)求实数a的值： (2)若x=1是函数g(x)=f(x2)-时(x)的极大值点，求实数b的取值范围. 【答案】(1)a=1 (2)(4,+∞） 【分析】(1)利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数a; (2)利用导数讨论单调性，得出函数的极值，再解不等式即可 【详解】(1)设直线y=x-e与曲线y=f(x)相切于(，(nx-a), 因为f'(x)=1-a+lnx,所以切线斜率为1-a+n, 所以1-a+lnx=1,则x=e,所以切点为(e,0), 又因为切点(e,0)在直线y=x-e上，所以e-e=0, 所以a=1. (2)g(x)=f(x2)-bf (x)=x2(l2-1)-bx (-12x2Inx-x2-bx Inx+bx, 则86a)=4x+2x子2x-b1nx-加2b=-bm 当b≤0时，0<x<1,8'(x)<0,x>1,g'(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以x=1是g(x)的极小值点，不满足题意； 当0<b<4时，0<x< 4'8'()>0,b <x<1,g'(x)<0,x>1,g'(x)>0, 4 所以()在(Q)上单词递增，在全上单润递减，在L+)上单调道指， b 所以x=1是g(x)的极小值点，不满足题意： 当b=4时，x>0,g(x)≥0， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 试卷第17页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 所以x=1不是g(x)的极值点，不满足题意； 当b>4时，0<x<1,g'(x)>0,1<x< 8<0,x> b >4’8(x)>0, 在 所以g(x)在(0,1)上单调递增， (b 上单调递减，在（子+∞上单调递增， 所以x=1是g(x)的极大值点，满足题意， 综上，b的取值范围是(4，+0). 17.已知数列{a}满足4=1，a= a,+l,n为奇数， a,+2,n为偶数. (1)记b.=4m,写出b,b,并求数列bn}的通项公式： (2)求{a}的前20项和. 【答案】(1)b=2,b=5,b.=3n-1:(2)300 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列色}的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前n项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：(1)[方法一]【最优解】： 显然2n为偶数，则42m+1=4+2,4m+2=4m+H+1, 所以42m+2=m+3,即b41=bn+3,且b=4=4+1=2, 所以凸}是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是b=2,b3=5,b.=3n-1. [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知4=1，a42=2,4=4,所以=4=2，b2=a4=4+1=5. 由a+1-a.=1(n为奇数)及a,1-a.=2(n为偶数)可知， 数列从第一项起， 若n为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若n为偶数，则其后一项减去该项的差为2. 所以a2-a=3n∈N),则bn=b+(n-1)x3=31-1. [方法三]：累加法 3 (nEN ) 由题意知数列{a}满足a=1,a1=a+2+2 试卷第18页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 所以b=a4=4+。 3y=1+1=2, 22 ,3,(（-13 ,3.(-1)2 2+2=al=a+3+ b2=a4=a3+5+ 22 +1=4+2+1=2+3=5, 则b.=2m=(a2m-2m1)+(am1-am2)+.a-4)+4=1+2+1+2+…+2+1+4=nx1+2(1n-1)+1=3n-1. 所以么=2，b=5,数列{bn}的通项公式b,=3n-1. (2)方法一]：奇偶分类讨论 S20=41+42+43+.+a0=(a+4+a+-4g)+(a+a4+%+.+a) =(6-1+b2-1+b-1+…+b。-1)+b+b2+b3++bo =2×4+B)×10-10=30. 2 [方法二]：分组求和 由题意知数列{a}满足4=1,42m=4m-1+1,凸2H=4n+2, 所以42mH=4m+2=42m-1+3. 所以数列{口}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由4m+2=4m+1+1=42m+3知数列{a}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 从而数列{a}的前20项和为： 3=(a+4+a++ag)+(a,ta+4++a）=10x1+10x9x3+10x2+10x9x3=300. 2 2 【整体点评】（①）方法一：由题意讨论色}的性质为最一般的思路和最优的解法： 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质： 方法三：写出数列{a}的通项公式，然后累加求数列也}的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法： 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的 选择。 18.2026年被业内称为自动驾驶商业化关键元年，L3级自动驾驶规模化落地、Robotaxi多城运营、智驾技术从“高 端专属”走向“普惠平民”.近期，国际权威测评机构P3发布《2026中国智能驾驶测评报告》，对主流智驾系统障碍物 避让、复杂路况应对等核心性能展开全面测试.某智能出行科技公司测试甲、乙两款辅助驾驶系统的障碍物避让性能， 分别搭载甲、乙系统的车辆各开展了120次模拟测试，其中甲系统避让成功96次，乙系统避让成功84次.假设每次 测试结果相互独立，用频率估计概率 (1)若从这120次甲系统测试中不放回地随机抽取5次测试，记X为抽取的5次测试中甲系统成功避让的次数，求X 试卷第19页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 的数学期望 (2)现对乙系统追加2次独立测试，对甲系统追加1次独立测试，记Y为这3次测试里成功避让的总次数，求Y的分 布列与数学期望E(Y): 3)现对甲系统追加N)次独立测试，记T为这n次测试中成功避让的次数，若用互估计甲系统单次成功避让 n 的概率P,求E (均方误差)，并说明当增大时该值的变化趋势.（参考公式：D(X)=E()-[()]) 【答案】(1)4 (2) 0 1 2 9 39 217 49 500 250 500 125 11 5 2 0.16 (3)E 均方误差随测试次数的增加而减小，估计精度越来越高 【分析】(1)利用超几何分布的数学期望计算公式即可求得： (2)先求出两系统单次成功的概率，判断Y的所有可能值，利用独立事件的概率乘法公式分别求出对应的概率， 写出分布列，计算数学期望即可： (3)依题意可得Tn~B(,0.8),求出E(T)和D(T),利用D(X)=E(X)-[E(X)求出E(T),再分别代入均方 误差公式，化简分析即得该值的变化趋势 【详解】(1)X服从超几何分布，记N=120,M=96,n=5, 则(x)=告=5的-4： (2)用领率估计概率，甲系统单次成功的概率为B20行 96_4 84_7 飞系统单次成功的概率为卫20可 由题分析可知Y可取0,1,2,3 P=2列-=0--c0 7、4217 )×5500 试卷第20页（共23页） 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 故随机变量Y的分布列为： 0 1 2 3 9 39 217 49 500 250 500 125 E(Y)=0× 9 39 +1× 21 +3x4911 500 250 500 125 5 96 (3)已知甲系统单次成功避让的概率p= =0.8,因此Tn~B(n,0.8) 120 E(Tn)=p=0.8n,D(Tn)=p(1-p)=0.16m 烟任佰g日风利兴80+成 又因E(X2)=D(X)+[E(K)], 则E(T)=D(T)+[E(T)]=p(1-p)+(p)}=p0p-p+1), [任-pj-+之e*p =p-D+2-2p+p=p1-D0.16 当n增大时，016逐新减小，即均方误差随测试次数的增加而减小，估计精度越来越高 19.设函数y=fx)的定义域为D,导函数为y=f(x),对于实数t,若存在∈D,使得f()=f'()成立，则 称函数y=f(x)具有性质P(t). (1)若函数∫(x)=hx,请判断该函数是否具有性质P(I),并说明理由； (2)设aeR，若函数f(x)=r+a具有性质P(2),且的值恰有三个，求a的取值范围； (3)若函数f(x)=e+x具有性质P(t),求t的取值范围. 【答案】(1)具有性质P(),理由： 由f(=e得，了) 设n()=f到-f(习=hxx>0, 当x0时，pe)片>0 又p0)=m-1<0,pe)=ne-11-o. e 则存在∈(L,),使得p()=0,即f()=f'() 试卷第21页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 故函数f(x)=lnx具有性质P(I): e (3)t>0 【分析】(1)设D()=了)-了()-r士，利用零点存在定理即可求解： (2)由题意得存在实数，使得f(2x)=2f"(),即(2x)+a=2(3x),即a=-8+6x,设h(x)=-8x3+6x2, 利用导数研究单调性进而求解： (3)由f(tx)=圹'(x)得，e+c=t(e+1),设g(x)=e-te+t(x-1),利用导数研究单调性，根据t的情况分类 讨论，进而求解 【详解】（1)略 (2)由f(x)=x+a得，f'(x)=3x, 因为函数∫(x)=x+a具有性质P(2), 所以存在实数，使得f(2x)=2f'(), 即(2x)+a=2(3x),即a=-8x+6x, 即存在实数，使得a=-8x+6x有三个实数根 设h(x)=-8x2+62,则h(x)=-242+12x=-12x(2x-1), 令h(y)=0,解得x=0或x= 列表如下： (-0,0) 0 0, 2 1-2 h(x) 0 0 h(x) 极小值0 极大值子 因为函数f(x)=x+a具有性质P(2)时，x,的值恰有三个， 所以满足条件的a的取值范围是 (3)由f(x)=e+x得，f'(x)=e+1, 由f(x)=f'(x)得，e“+tx=t(e+1), 试卷第22页（共23页) 命题人：王树颖柏财政 使用时间：2026年9月 设g(x)=e-te+t(x-1),g'(x)=t(e-e+1), 若t=0,则g(x)=1,与已知矛盾； 若t<0,设h(x)=e-e+l,则h(x)=te-e<0,即函数h(x)是严格减函数， 所以函数g'(x)=t(e“-e+1)是严格增函数， 又g(0)=t(e°-e°+1)=t<0,g'()=t(e-e+1)>t(2-e)>0, 则存在m∈(0,1)使得g'(m)=0,即em-em+l=0, 当x∈(-∞，m)时，g'(x)<0,即函数g(x)严格减函数， 当x∈(m,+o)时，g(x)>0,即函数g(x)严格增函数， 所以g(x)≥g(m)=em-te"+t(m-1)=em-l-te"+t(m-1)=(1-t)e"+t(m-1)-1, 需证e"≥m+1,令y=e*-x-1,x∈(0,1)， 则y'=e*-1>0,y=e-x-1在(0,1)单调递增， 所以y=e-x-1>e°-1=0， 所以g(x)≥g(m>(1-t)(m+1)+t(m-1)-1=m-2t>0, 则不存在∈D,使得∫(：)=(x)成立，与y=f(x)具有性质P(t)矛盾： 当t>0时，g()=e-te,考虑函数y=e*-xe,则y=e-c, 当0<x<1时，y'<0,当x=1时，y'=0,当x>1时，y'>0, 所以函数y=e-xe在(0,1)上严格单调递减，在(1，+o)上严格单调递增，在x=1时有极小值0， 所以，当t=1时，g(1)=e-te=0,函数f(x)具有性质P(1), 当t>0且t≠1时，g(1)=e-te>e-1e=0, 且当x→-0时，e“→0，-e→0，t(x-1)→-0，则g(x)→-w, 则存在∈(-∞，1)满足8(6)=0，即∫(t)=圹'()成立， 所以函数y=f(x)具有性质P(t),综上，t>0. 试卷第23页（共23页)