2.1.1 倾斜角与斜率 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，通过“确定直线条件”“爬山陡峭程度”等情景导入，从具体问题抽象出倾斜角定义及范围，搭建从直观感知到数学概念的学习支架，衔接斜率公式推导与应用。 其亮点在于以数学眼光观察现实（从陡峭程度抽象倾斜角），通过实例推导斜率公式培养数学思维（逻辑推理、运算能力），结合随堂练习与典例强化数学语言表达。学生能提升抽象能力与推理意识，教师可依托结构化资源实施探究式教学，提高课堂效率。

第二章 直线与圆的方程 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 情景导入 问题1 如图，已知下列条件你能做出多少条直线？ (1)已知一点和一个方向 (2)已知两点 追问 (3)已知一个点可以画出多少条直线？ 无数条！ 1条 这些直线的区别是什么？ 方向不同 情景导入 问题2 如图，爬山时，有的坡很陡，有的很缓，我们可以用什么量来描述陡峭程度？ 角度！ 探究新知 在平面直角坐标系中，当直线l和x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线向上的方向之间所成角叫做直线l的倾斜角。 我们用倾斜角来表达直线的方向 ps: ①“向上”的方向 ②“与x轴正方向”的夹角 当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0° x y O x y O 倾斜角的取值范围是： 随堂练习 1、下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，每条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，直线越陡 C. 直线倾斜角可以是 D. 平行于y轴的直线倾斜角为0 2、直线l与x轴不相交，则直线l的倾斜角为（ ） A.0 B. C.0或 D. 不存在 A A 3、下列图中标出的直线的倾斜角对不对？对的打“√” 错的打“×”,并订正 x y O x y O x y O x y O ( ) ( ) ( ) ( ) × × × × 随堂练习 探究新知：刻画直线倾斜程度的方法 我们知道，两个点就可以确定一条直线。所以我们通过直线l上的两点去刻画直线的倾斜程度。如图： x y O P l ①已知直线过点O(0,0)；点P(1,)，且有倾斜角 则由正切函数的定义： 我们把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k来表示，k= P1 P2 复习回顾 规定： ②如图，若直线过点P1；点P2(,0)，且有倾斜角 探究新知：刻画直线倾斜程度的方法 P1 P2 x y O 则由正切函数的定义： 从P2点走到P1点，上升了多少？前进了多少？ 探究新知：刻画直线倾斜程度的方法 ③如图，若直线过点P1；点P2()，且有倾斜角 则由正切函数的定义： x y O P1 P2 追问1 当P1、P2和x轴重合时，上式 还成立吗？ 成立！此时0，且=0，公式仍然适用() 斜率公式 随堂练习 ①倾斜角为120°的直线，斜率为_________. ②过点(1,2)和(1,5)的直线斜率是多少？ ③的直线，倾斜角是_________.(填锐角或钝角) ④一条直线倾斜角从30°增大到60°，斜率怎么变化？ 不存在 锐角 从增大到 追问2 当P1、P2所在直线和x轴垂直时，上式 还成立吗？ 不成立！此时是没有意义的斜率k不存在， 且从公式的角度看：k=中，，分母是不能为0的，分式没有意义 小结：倾斜角和斜率分别从数和形两个方面刻画了直线相对于x轴的倾斜程度。 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率 当直线倾斜角为90°时，直线无斜率， 探究新知：刻画直线倾斜程度的方法 思考：当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？ ①时：斜率值由0一直增加到+∞ 时：斜率值由-∞一直增加到0 时，直线斜率不存在 斜率范围:(-∞,+∞) 2、已知直线倾斜角，则直线斜率为( ) A.1 B. C. D. 随堂练习 B 随堂练习 1、判断题 ①任意直线都有倾斜角，任意直线都有斜率。（ ） ②直线倾斜角越大，斜率就越大。（ ） ③直线倾斜角°时，斜率。（ ） ④直线倾斜角时，直线斜率不存在。（ ） ⑤若直线斜率，则倾斜角为锐角；，倾斜角为钝角。（ ） × × √ √ √ 思考探究：若已知直线的斜率为k,证明直线的一个方向向量为(1,k) 探究新知 设直线经过两点，直线的方向向量可以是： 证明： 也可以是： 则当直线的斜率存在时,直线的一个方向向量为; 3、过点的两点的直线的方向向量为(1, k)， 则k的值为______. 随堂练习 1 小结：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量为(x，y)，则 例1 如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：直线的斜率； 直线的斜率； 直线的斜率. 由及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角. 典例分析 巩固练习 1、过点A(1，4)，B(3，8)的直线斜率k=________。 2、过点M(-2,5)，N(3,-1)的直线斜率k=________。 3、直线过P(4，2)，Q(-1，2)，此直线斜率________，倾斜角为________。 不存在 4、经过点P()和Q()的直线的斜率等于2 ，则m的值是_____. 5、已知三点在同一条直线上，则实数m的值为_________ 巩固练习 课堂小结 1、直线的倾斜角定义及其范围 2、直线的斜率定义 3、斜率k与倾斜角 之间的关系 4、斜率公式 回忆课堂内容，掌握以下知识点： $