26.2 二次函数的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图像和性质，通过一次函数平移类比导入，引导学生推测二次函数y=ax²与y=ax²±1的关系，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握图像画法、平移规律及性质应用。 其亮点在于结合描点法画图与对比表格分析，培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），如例1列表描点后对比顶点、开口方向总结平移规律，练习中通过填表、点坐标判断等应用性质（数学语言）。助力学生理解图像与性质的联系，教师可利用结构化流程提升教学效率。

26.2.1 二次函数y=ax2+k的 图像和性质 人教版·初中数学·九年级上册·第二十六章 学习目标 理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2之间的联系. 二 会用描点法画形如y=ax2+k的二次函数的图像. 一 掌握二次函数y=ax2+k的图像特征和性质并会应用. 三 1.已知二次函数 ① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2; ④ y=-4x2; ⑤ y= x2; ⑥ y=4x2. (1)其中开口向上的有 (填题号)； (2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)； 复习回顾 1.二次函数y=2x+2与y=2x的图象有什么位置关系？ 2.你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+1的图象之间有何关系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间又有何关系? 新课导入 思考下列问题： 二次函数y=ax2+k的图象及平移 探究归纳 例1 在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象． 解：先列表： x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ··· y =2 x2＋1 ··· ··· y = 2x2－1 ··· ··· 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 －1 1 3.5 7 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 (1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ y =2 x2 向上 (0,0) y轴 y =2 x2＋1 y = 2x2－1 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 (0,1) (0,-1) y轴 y轴 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 (2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2+1；把抛物线 y=2x2 向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1. 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 上下平移规律：常数项上加下减. 二次函数y=ax2与 y=ax2+k的图象的关系 二次函数y=ax2+k的性质 把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？然后向下平移2个单位呢？ x y O 　－2 2 2 4 6 4 －4 8 －2 想一想： 抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？ a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标及位置. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax2 当a>0时,向上 当a<0时,向下 y轴 （0,0） y=ax2+k 当a>0时,向上 当a<0时,向下 y轴 （0,k） 二次函数 y=ax2+k（a ≠ 0）的图象特点 当堂练习 1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ． 2、填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a≠0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a≠0）的图象上. 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 5.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) D 6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0)和(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 7.已知二次函数y＝ax2+5,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则 当x＝x1+x2时，其函数值为_____. 解析：由二次函数y＝ax2+5图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为5. 5 4.下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( ) A.y＝2x2与y＝3x2 B.y ＝x2+2与y ＝ 2x2+1 C.y＝2x2与y＝x2+2 D.y＝x2与y＝x2－2 5.对于二次函数y＝- x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1＝y2 D.无法比较 B D 课堂小结 拓展延伸 6.求抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式. 解：抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-2x2+1. 感 谢 聆 听 26.2.1 二次函数y=ax2+k的 图像和性质 $