云南省昆明市云南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期第一次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第一次学科体验 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1. 设集合M=2.=eNeN 则M∩N=() A.{ B.{2,3} C.{1,2} D.{1,2,3} 2.已知2=2+3i,则1的虚部为（) z+1 A. 6 6 0、1 6 3.设椭圆的标准方程为父+上=1，若焦距为2，则m的值等于() m 6 A.7 B.7或5 C.10 D.10或2 4.某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)=t2+4lt,则该质点在1=2时 的瞬时速度为() A.8m/s B.6m/s C.5m/s D.4m/s 5.设a=log,0.2,b=1og20.3,c=0.231,则a,b,c的大小关系为() A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 11 6.若直线r-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则二+，的最小值为 a b A B.√2 c5 +25 D. 7.当x∈[0,2m)时，函数f(x)=2co 3x+ +sinx的零点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8 8.记Sn为数列{an}的前n项和，若an∈{L,2,3},且an的值为1,2,3的可能性相同，则S2o26是奇数的概率 为() A北高) c+) +) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 第1页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 9.某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t) 的折线图，则() A.这组数据的众数是56 本年污水净化量y B.这组数据的极差是4 55 C.这组数据的60%分位数是55 4 D.去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 53 52 10.已知函数f(x)=2c-2c-x3+12x,则() 02 1234567年份代码 A.f(2)>0 B.f(x)有4个极值点 C.f(x)在(2,3)上有零点 D.f(x)在(-1,1)上单调递增 11.已知抛物线C:x2=y的焦点为F,点P,O,R为抛物线C上任意不同的三点，则下列结论正确的有( ) A.焦点F为 且到准线的距离为) B.点P到直线x-y-1=0距离的最小值为3V2 C.不存在点P,使得△POF为等边三角形(O为坐标原点) D.若△P2R为等边三角形，且直线P巴的斜率为2，则△POR的边长为I0西 11 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC.ED= 13.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于点(1,2)对称，g(x)=f(x-2)+3x,且g(x)的 图象关于点(1,0)对称，则g(19)= 14.已知菱形ABCD,AB=BD=2,现将△ABD沿对角线BD向上翻折，得到三棱锥A-BCD,设点E 是AC的中点.记△BDE的面积为S,三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S2,则S,·S2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2b,A=120°. (1)求cosB的值： (2)若a=47,求BC边上的高. 第2页/共4页 CS扫描全能王 链3亿人都在用的扫描AP印 16.某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量， 随机抽取了高三年级100名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于1小时“少于1小时”两类，体育 锻炼时长分为“不少于1小时“少于1小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）： (I)求下面表格中a,d,m的值，并依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体 育锻炼时长是否有关？ 阅读时间锻炼时长 不少于1小时 少于1小时 总计 不少于1小时 a 15 m 少于1小时 10 d 50 总计 45 55 100 参考数据（独立性检验临界值表）： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)为进一步研究课后阅读时间x（单位：小时)与学生每日作业完成质量得分y的关系，随机选取其中 20名学生的样本数据，经计算得： 2=40, x=0含w=o, 之子=100，求y关于x的一 元线性回归方程)=x+à，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？ n(ad-bc)2 附：()父=a+bc+da+e6+d可，其中n=a+b+e+d. 5-0-) (i)在线性回归方程=x+a中， 6=回 a=-b旅： 24-时 17.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，PB=PD,AD‖BC,AB⊥BC,AB=√3， BC=2AD=2,平面PBD⊥平面ABCD,点O为BD的中点. (1)求证：CO⊥PB: (2)若四棱锥P-ABCD的体积是35，求二面角P-CD-A的余弦值 2 第3页/供4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 18.已知函数f(x)=(x-1)e. (1)求f(x)的单调区间： (2)设g(x)=f(x)-n,设对于每个正整数n,方程f(x)=n的正数根为a· ①证明：an<n(n22): ②证明： 1>Int1 k位a 2 9已知双曲线C:号京-阳>06>0，离心幸为亚，左、右顶点分别为么品.h=4,南近位 2 为4：y=x:y=-bx,过点Q(3,3)的直线1与双曲线C的右支交于M,N两点（点M在点N上方）， a 直线1与交于点P (1)求双曲线C的标准方程： (2)求△OPM与△OPN面积之和的最小值，并求出此时直线1的方程： (3)在(2)的条件下，过点M,N分别作渐近线2,4的平行线，两平行线交于点2，过点2作直线1的 平行线与双曲线C交于点M1,N1(点M1在点N1上方)，再过点M,N1分别作I2,的平行线，交于点，·， 这样-直操作下去，可以得到一列点g,22,…,2(n23,n∈N）,求证：O2,2-2,0为定值， 1≤i≤n-l,ieN. 第4页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 云南师大附中2027届高三数学第一次学科体验 参考答案 1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C 7【答案】c【详解】令f()=0,即2cos3x+牙 +sinx=0,移项可得2cos 3x+ =-sinx, 对于y=2a3x+引共周期= :对于8=-simx,其周期)=2元 当x[0,2π)时，画出两个函数图象为： =2cos(3x+ 由图象可以看出，方程2cos3x+ 4 +sinx=0在给定区间[0,2元)内的解的个数为 6,所以函数f(x)=2cos3x+ +sinx的零点个数为6. 4 8.【答案】B【详解】记事件An为“Sn为奇数”，事件An1为“Sn+1为奇数”，Sn是奇数的概率为9n· 当Sn为奇数时，若an1=2,则Sn出仍然为奇数。 当S,为偶数时，若aH=1或3，则SH为奇数，从面兮P(4)+子P(团)=P(4)】 .1 又a号所以分是首为行公比为曲等列则,君到” 所以a安：故。是黄的*为到一-) 9.【答案】BC10.【答案】ACD 【详解】对于A选项，由f(2)=2e2-2c2-8+24>16-2c2>0,所以选项A正确： 对于B选项，令函数h(x)=f'(x)=-2-2e-3x2+12, 则h(-x)=-2e*-2ex-3x2+12=h(x),所以h(x)为偶函数，N(x)=2e-2e*-6x, 令函数g(x)=(x)=2e-2c-6x,则g(x)=-2e-2c*-6, 令函数m(x)=-2e*-2e*-6,则w'(x)=2e*-2e*, 当x>0时，w(x)<0,所以w(x)在(0，+o)上单调递减， 即g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)=-10<0, 则g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)=0, 即(x)<0,所以h(x)在(0，+o)上单调递减，则h(x)在(-o,0)上单调递增，即f'(x)在(-o,0)上单 调港编.在0+四)上年调莲流因方fr(-2)=28-号-3x4+12<0, f'(0)=-4+12=8>0,f'(2)=f'(-2)<0, 所以f(x)在(-2,0)上有1个极值点，在(0,2)上有1个极值点， 所以f(x)只有2个极值点，所以选项B错误： 对于c选项，由f(3)=2e3-2e3-27+36<11-2e3<0,f(2)f(3)<0, 由零点的存在性定理可知f(x)在(2,3)上有零点，所以选项C正确： 第1页/供7页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 对于D选项，f'(x)=-2e-2e-3x2+12, 当x∈(-1,1)时，2(e+e*)∈[4,2e+2e,-3x2+12∈(9,12]， 因为2e+2e<9,所以f'(x)>0在(-1,1)上恒成立， 所以f(x)在(-1,1)上单调递增，所以选项D正确 11.【答案】BCD 【详解】抛物线方程2=y,标准形式为父=2少，得2p=1,解得P=弓焦点F0, 4 ,准线y= 点ra)西 焦点到准线的距离P=了故A错误： 设抛物线上点P代化P),点到直线的距离d=上--_上-1+ √2 √2 二次函数f间=-1+1对称辅为1=？ 28 而OF在y轴上，长度为二，若△POF为等边三角形， 则P在OF中垂线y=8 上 代入抛物线得x=士 记点P 21 4’8 则P0 4 故边长不相等，不存在这样的点P,故C正确： 设直线P2方程为：y=2x+b,联立抛物线x2=y得x2-2x-b=0, +x2=2 由韦达定理 x=-b,中点M(12+b), 由弦长公式得P0=V1+22Vx+x}-4x名=2W5×V1+b, 在等边三角形中，RMLP巴，直线M斜率为分 直线RM:y=-万x +5+b,联立抛物线得2x2+x-(5+2b)=00, 2 由等边三角形箱能质如M-Pe,设，)，则名-(2+8)=-)-山 自益同素会支烟-旷k-可 5k-5x25xi+6,k-=20+6j@, 联立0②得(6-1=121+25+名-5 展开整理得11x+8x。-19=0, 2 解得=1（对应点M,舍去）或飞=-19 11 =2经5-治m-25,语-25-10 2 121 11-11 ,故D正确、 12.【答案】3. 第2页/供7页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 13.【答案】99 【详解】因为f(x)关于点(1,2)对称，所以f(-x)+f(2+x)=4,即f(-x)=4-f(2+x), 因为g(x)关于点(1,0）对称，所以g(x)+g(2-x)=0, 因为g(x)=f(x-2)+3x,所以f(x-2)+3x+f(-x)+3(2-x)=0, 即f(-x)=-f(x-2)-6,因为f(-x)=4-f(2+x),所以4-f(2+x)=-f(x-2)-6, 所以f(2+x)=f(x-2)+10,所以f(x+4)=f(x)+10, g(19)=f(19-2)+3×19=f(17)+57 因为f(x+4)=f(x)+10,所以f(17)=f(1+4×4)=f(0)+4×10=f(0)+40, 因此g(19)=f()+40+57=f()+97,在f(-x)+f(2+x)=4,令x=-1,得f()=2, 因此g(19)=2+97=99. 14.【答案】8π 【详解】已知菱形ABCD,AB=BD=2,则△ABD,△BCD均为边长为2的等边三角形， 连接AO,CO,则AO⊥BD,CO⊥BD,且AO=C0=√5， 设二面角A-BD-C的平面角为O=∠AOC,则BD⊥平面AOC, E为AC的中点，在等腰△AOC中，OE⊥AC, 由BD⊥平面AOC,得BD⊥OE,∴.OE=V3cos 2 8=3B0-0B=25m号-5c 2 2 以O为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则 0(0,0,0),B(-1,0,0),D(1,0,0),C0,V5,0,A0,v3cos0,V5sin0, E是AC中点，∴E 0、 3(1+cos0)3sine 2 2 OD 设三棱锥A一BCD的外接球球心为O,则 =tan60°，解得002= OD 1 002 an60=3 0,02=002tan 设外接球半径为R,则 R-o0-o0+0n-行m+房)-4+m9}8=4a-4m 2 s9+1 ,当且仅当1= 万时取最小值， 2 -6代-)m=46m25=8x 3 第3页共7页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 15.【小问1详解】在△ABC中，c=2b,A=120°， 由余孩定理得=B+62-2aco1=B+46-26x2bX(》=78, 得到a=V76,放cosB=。+c2-b_7b2+462-bB5万 -6分 2ac 2V7b×2b14 【小问2详解】由(1)可知a=√7b,因为a=4√7，所以b=4,c=8, 设BC边上的高为，则)h=)4,可得h=165=4个 2 47 7 故BC边上的高为4W2 -----13分 7 B 16.【详解】(1)由表知：a=45-10=35,d=55-15=40, m=100-50=50-- --3分 零假设H。为：学生课后阅读时间与体育锻炼时长无关 …4分 n(ad-be)2 100×(35×40-15×10)2 则ta+bc+d(a+ob+d ≈25.253>6.635， -6分 50×50×45×55 ∴依据小概率值α=0.01的独立性检验，有充分证据推断H。不成立，因此可以认为学生课后阅读时间与体育锻炼时长有关： --7分 -9分 含-m,6 25-20 3100-20×2×75_100 ----11分 -20m 100-20×22 20 51 则à=y-旋=75-5×2=65 -12分 于是y关于x的一元线性回归方程为)=5x+65 -13分 当x=2.5时，=5×2.5+65=77.5. -14分 所以若某学生课后阅读时间为25小时，则其每日作业完成质量得分为77.5分. -15分 17.【答案】(1)因为AD‖BC,AB⊥BC,所以AB⊥AD, 在RtARD中，AB=5,4D=l,所以BD=2,∠B0A-子 因为ADBC,所以∠CBD=∠BD1-行因为BC=BD=2,所以BCD是等边三角形， 因为点O为BD的中点，所以CO⊥BD, 因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBDO平面ABCD=BD,COC平面ABCD,所以CO⊥平面 PBD,因为PBC平面PBD,所以CO⊥PB. -7分 【小问2详解】连接PO,因为PB=PD,O为BD中点，所以PO⊥BD, 因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,，POC平面PBD,所以PO⊥平面 BCD,因为w=9P0=写×35xP0=35,所以P0=3. 3 2 如图，以O为原点，以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 在等边△BCD中，OC=√5，OB=OD=1,则B(1,0,0),C0,V3,0), D(-1,0,0),P(0,0,3), 可得PD=(-1,0,-3),PC=(0,3,-3, 第4页/共7页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap印 设平面PCD的法向摄为月=(ky2),则及-P西=x-3z=0, 7PC=3y-3z=0, 令z=1,解得x=-3,y=5,故法向量斤=(-3，V5,1, 易知n2=(O,O,1)是平面ABCD的一个法向量，又点O在半平面CDA内，故二面角P-CD-A是锐二面 角所以二面角P-CD-A的条孩值为同而15 nn乃113 ----15分 18.【小问1详解】因为函数f(x)=(x-1)e,所以f'(x)=e+(x-1)e=xe 当x<0时f'(x)<0,f(x)单调递减：当x>0时f'(x)>0,f(x)单调递增， 故f(x)的单调递减区间为（-oo,0),单调递增区间为(0，+o)；4分 【小问2详解】①因为g(x)=f(x)-n,所以g(x)和f(x)的单调性一致，所以g(x)在(0，+o)上 单调递增，构造函数h(n)=(n-l)e”-n，则h(n)=ne”-1, 当n≥2时，y=ne,因为y'=(n+1)e”>0,所以y=ne"单调递增， 所以ne”≥2e2>1,故h(n)>0,则h(n)在2，+o)上单调递增， 故h(n)≥h(2)=e2-2>0，即g(n)=(n-1)e-n>0, g(a,)=f(a,)-n=0,mg(n)>g(a), 又因g(x)在(0，+o）上单调递增，故得an<n(n≥2），即an<n(n22)得证：-10分 ②©，嘴2,4<，改古法因站程 先证明不等式x>n(1+x)(x>0), 设ox-h0+到，奥pe国-l 当>0时.（网=产>0，（冈在(0四）上单遥道 即当x>0时，p(x)>p(0)=0,即x-h(1+x)>0，即x>n(1+x) 而2nk+l=h2+n4++hn+l ，4 23 n =In3-In2+In4-In3+...+n(n+1)-Inn =In(n+1)-In2=In1 2 2,政只1 >n”得证17分 2 19.【小问1详解】 由题意，得e=9=正，且2a=4,则a=2c=5,即6=62-4=9， 2 则双曲线C的标准方程为士_上=1，一 3分 49 第5页/共7页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 3 【小问2详解】渐近线为4yx马：y=多x, 2 显然直接幽每率不为黄直线/的方x-3=心-引一子<m<子MXN,以）， 3 x-3=m(y-3) 联立{之=1 ，得(9m2-4y-54m(m-ly+81(m-1-36=0,则9mr2-4*0, 49 且为+y2 54m(m-Lwy=81(m--36,则h+h_27m(m- 9m2-4h= 9m2-4 2 9m2-4 所以当当=m3生-3+3=m27m--3+3=12m- 2 （2 9m2-4 9m2-4 x-3=m(y-3) 联立 9(m-1) 3 y=x ，解得yp=3m-2 ,设直线1与交于点H, 2 x-3=m(y-3) 联立 9(m-1) 3 y=- ，解得ya=3m+2 2 9(m-l+9(m-_54m(m-,即hth_27mm- 则yp+yH= 3m-23m+29m2-4 9m2-4 2 2 而+-3-hm-9(m-) 12(m-1) 2233m-23m+2 9m2-4 因此+1=+立，n+y班=+业，则PH的中点即为MN的中点， 2 2 22 所以PM=|FHN,则S.orw+S,onw=Som' 而PH=1+m-(0,-a)=+m9(m-_9m-) =V+m 36(m-1) 3m-2 3m+2 9m2-4 点O到直线1的距离为d= 3m-3引 3-3m V1+m2V1+m2 则Som+成aw=8amPd=i+m6m3g-40 9m2-4V1+m2 4-9m2 541-m)2 54 54 -9(1-m2+18(1-m)-55-18 +9 1-m)21-m 51-9236 1-m55 鸟一m-}即m合时，△0PM与6OPN商积戏之和取得最面 15 时直线的方程为-30-小即y?-号 9分 【小间3详解】设斜率为}、与双曲线右支相交于M,N两点的直线方程为y-子+，共中 9 1≤k≤n,keN', 第6页/供7页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 2-1 联立方程 49 9 ,消去y可得45x2+72mx+16m2+144=0, y=x+m 4 △=722m2-180(16m2+144>0 该方程有两个正根， 则 %+%=-720>0 5 45 ，解得mk< 2 %-16m+140 45 直线从，0的方程为y-%,=引-小而%=+m,即y=子+ 3 9 4M+m, 直线N,2的方图为y-%=引-)而%=号+网，即y-+子+%， 9 33 =-3x+l5x [51 一+ x= 2 -xm,+mk 4 联立方程 4 33x ,解得 15,3 y= 一x+ 241 Py=8w.+8w+m y= 51 15 即xam=4xM4wy= 8 +m,又%+=72 3 45 )1 3 15 3 81 8%+m=-3 ）.3 w-2m, 9 所以y%n=a,设0(3)，则直线MmNm方程为y=(x-)+x=4 4 45 而002=x+x好=2x2, 0-0+(f-26-得j -广-*-6]-引e-2君]-2x-号 所以oe-22=7号，为定值一17分 第7页/共7页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App