4.5.2 用二分法求方程的近似解-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 分层设计清晰，A组夯实基础概念与步骤，B组深化单一知识点应用，通过生活情境、概念辨析、逐步计算构建从认知到应用的巩固路径，培养数学眼光、思维与表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二分法概念、步骤及基本应用|含生活情境题（电话线路故障）、步骤填空题、判断题，限时10分钟，侧重基础认知与记忆| |B组|二分法概念辨析、近似解计算、思想应用|含单一知识点选择题（图象判断）、计算填空题（区间确定）、证明题，限时20分钟，深化逻辑推理与应用能力|

4.5.2　用二分法求方程的近似解 1.解题思路　如图所示.维修工人首先从线路的中点C查起, 如果CB段正常,就选择CA的中点D测试; 如果DA段正常,就选择DC的中点E继续测试,……, 这样能合理且迅速查出故障所在地. 2.f(a)f(b)<0　f(c)　f(c)=0　f(c)f(a)<0　f(c)f(b)<0 |a-b|<ε 3.(1)√　(2)√　(3)✕　(4)√　(5)✕ 4.BC　易知函数f(x)=ln x+2x-6在其定义域上单调递增,结合所给函数值可知, 方程ln x+2x-6=0的近似解在(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.625),(2.5,2.562 5)内,又精确度为0.1,所以方程ln x+2x-6=0的近似解可取为2.52,2.55.故选BC. 5.C　根据函数零点存在定理及二分法概念可知,C选项中的图象对应函数的零点两侧函数值同号, 所以C选项中对应的函数不能用二分法求零点.故选C. 6.C　因为其中一个零点x0∈(0,0.5),×(0+0.5)=0.25,所以第二次需计算f(0.25)的值, 故选C. 7.BD　由题知第一次所取区间为[-2,4],区间中点值为=1, 则第二次所取区间可能是[-2,1]或[1,4].故选BD. 8.A　f(x)=2x-=2x-=2x--2,易得f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上至多有一个零点, 又依次确定了零点所在区间为[a,b],,, 所以即解得故选A. 9.答案　1.3 解题思路　由题表中的数据可得,函数f(x)=x3-x-1的一个零点在区间(1.312 5,1.343 75)内, 结合题设要求,可得方程x3-x-1=0的一个近似解为x=1.3. 解后反思　用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小零点所在区间的过程,有时也利用数轴来表示这一过程. 10.B　利用二分法思想检测,每次取中点,焊接点数减半,不妨设需要检测n次,则≤1, 即2n≥60,又因为25<60<26,所以n的最小值为6,即至少需要检测6次. 故选B. 11.解题思路　证明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0, 即3(a+b+c)-b-2c>0. ∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,∴-b-c>c,即a>c. ∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0. 取区间[0,1]的中点值,则 f=a+b+c=a+(-a)=-a<0. 又f(0)>0, f(1)>0,∴函数f(x)在区间和内各至少有一个零点. ∵f(x)为二次函数,∴函数f(x)最多有两个零点, ∴f(x)=0在[0,1]内有两个不等实根. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.2　用二分法求方程的近似解 A组　教材夯基础限时10分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(数学与生活)在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,在这条线路上有200多根电线杆.想一想:维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢? 2.(填一填,记一记) 利用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的步骤如下: 第一步:确定零点x0的初始区间[a,b],验证　　　　　　.  第二步:求区间(a,b)的中点c. 第三步:计算　　　　,并进一步确定零点所在的区间:  若　　　　,则c就是函数的零点;  若　　　　,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));  若　 　 　,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).  第四步:判断是否达到精确度ε:若　　　　,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤二~四.  以上步骤可简化为“定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办?精确度上来判断.” 3.(判对错) (1)如果函数零点两侧函数值同号,则不适合用二分法求此零点的近似值.(　　) (2)要用二分法,必须先确定零点所在区间.(　　) (3)用二分法求方程的解时,得到的都是近似解.　(　　) (4)达到精确度后,所得区间内任一数均可视为零点的近似值.(　　) (5)所有函数的零点都可以用二分法来求.(　　) 4.(教材P146例2改编)(多选)某同学利用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如下所示:f(2)≈-1.307,f(2.5)≈-0.084,f(2.562 5)≈0.066,f(2.625)≈0.215,f(2.75)≈0.512,f(3)≈1.099,则函数f(x)=ln x+2x-6的零点的近似值(精确度0.1)可取为(　　) A.2.49 B.2.52 C.2.55 D.2.58 B组　单一知识点限时20分钟 　　　　　　　　　　 知识点1　二分法的概念 5.(2024湖北期末)下列函数图象与x轴均有交点,且已知其解析式,则不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 知识点2　用二分法求方程的近似解 6.(2024江西吉安期末)用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算发现f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈(0,0.5),则第二次还需计算函数值(　　) A.f(1) B.f(-0.5) C.f(0.25) D.f(0.125) 7.(2024辽宁朝阳期末)(多选)在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时,若第一次所取区间为[-2,4],则第二次所取区间可能是(　　) A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[2,4] D.[1,4] 8.(2024上海虹口期末)若在用二分法寻找函数f(x)=2x-(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于(　　) A., B.2,3 C.,2 D., 9.(2024上海期末)若函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下: f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.312 5)<0 f(1.343 75)>0 那么方程x3-x-1=0的一个近似解为x=　　　　.(精确到0.1)  知识点3　二分法思想的应用 10.()一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通是焊口脱落造成的,要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至少需要检测(　　) A.4次 B.6次 C.8次 D.30次 11.()已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,求证a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个不等实根. 学科网（北京）股份有限公司 $