1.4 充分条件与必要条件-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 该同步练通过A、B、C三层递进设计，实现从基础概念到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|充分必要条件定义及简单判断|结合《齐民要术》生活情境题，教材改编题夯实基础| |B组|单一知识点深化（判断、证明、应用）|含多选、证明题，如方程根与条件关系探究| |C组|多知识点综合应用|创新题（新定义集合运算）、跨知识点问题（方程与互补概念）|

1.4　充分条件与必要条件 A组　教材夯基础限时10分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(数学与生活)《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰(xié)所著的一部综合性农学著作,也是中国现存最早的一部完整的农书,被誉为“中国古代农业百科全书”.书中有一句为“顺天时,量地利,则用力少而成功多.”大意是说根据规律办事,就可以用较少的力收获更多的成功,则“顺天时,量地利”是“用力少而成功多”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.(填一填,记一记) (1)充分条件与必要条件:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,这时,我们就说,由p可以推出q,记作　　　　,并且说,p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件.  (2)充要条件:如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有　　　　,又有　　　　,就记作　　　　,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们就说p是q的充分必要条件,简称为　　　　条件.  3.(判对错) (1)“x=3”是“x2=9”的必要条件.(　　) (2)“x=0”是“(2x-1)x=0”的充分不必要条件.(　　) (3)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(　　) (4)如果p是q的充分条件,则p是唯一的.(　　) (5)两个三角形相似的充要条件是两个三角形对应边成比例.(　　) (6)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要条件.(　　) 4.(教材P19例2(4)改编)设x∈R,则“|x|>1”是“x<-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(教材P23习题1.4T2(5)改编)已知p:x≤-1或x≥3,q:x>5,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(教材P22习题1.4T2改编)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的　　　　　　;  (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　　　　　;  (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的　　　　　　;  (4)若x∈R,则x2=2是x=2的　　　　　　.  B组　单一知识点限时30分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1　充分、必要、充要条件的判断 7.(2025四川成都期末)若集合A={x|x>2},集合B={x|x≥3},则“x∈A”是“x∈B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2025江苏无锡青山高级中学质量调研)“x>3”是“|x-1|>2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(2025安徽皖江名校期中)设m∈R,则“m<-1”是“关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.(2025山东潍坊阶段练习)(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.a>b是a3>b3的充要条件 B.a=b是|a|=|b|的必要条件 C.四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的充分条件 D.两个三角形的两组角对应相等是这两个三角形相似的充要条件 11.(2024江西宜春期末)若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则(　　) A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件 12.(2025河北沧衡名校联盟期中)已知p:>1,q:|x-1|<1,则p是q的　　　　条件(在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入).  知识点2　充分、必要、充要条件的探究及证明 13.(2025云南昆明期中)(多选)“-<x<2”的一个必要不充分条件可以是(　　) A.-4<x<3 B.0<x<1 C.-<x< D.x<2 14.(2025广东惠州月考)已知p:x2-4x<0,则p成立的一个充分不必要条件是(　　) A.-2<x<0 B.0<x<2 C.0<x<4 D.1<x≤4 15.(2025江苏南通期中)请选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填入下面空格处,并完成第二问的证明. (1)xy=0是x2+y2=0的　　　　条件;  (2)已知ab≠0,证明:a+b=1成立的　　　　条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.  16.()求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式16-1　(变设问)求证:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 知识点3　充分、必要、充要条件的应用 17.(2025福建福州月考)关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件是(　　) A.m< B.m≤ C.m<- D.m< 18.(2025福建泉州奕聪中学月考)甲,乙,丙,丁四位同学在玩一个猜数字游戏,甲,乙,丙共同写出三个集合:A={x|0<kx<2},B={x|-3≤x≤5},C=x0<x<,然后他们三人各用一句话来描述k代表的数字,让丁同学找出该数字,以下是甲,乙,丙三位同学的描述,甲:此数为小于5的正整数;乙:B是A成立的必要不充分条件;丙:C是A成立的充分不必要条件,则k代表的数字可以是(　　) A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3 19.知方法()已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式19-1　()若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 变式19-2　()本例中p,q不变,是否存在实数m使得p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. C组　综合知识点限时15分钟 　　　　　　　　　　　　　 20.(2025江苏淮安期中)设x,y∈R,则“xy+1=x+y”的充要条件为(　　) A.x,y至少有一个为1 B.x,y都为1 C.x,y都不为1 D.x2+y2=2 21.(2025广东广州质检)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 22.()设x为任一实数,[x]表示不超过x的最大整数,<x>表示不小于x的最小整数,例如[1.1]=1,[-1.1]=-2,<0.9>=1,<-0.9>=0,那么“[a]=<b>”是“a≥b”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 23.(2024山西晋城期末)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)=-a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的　(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 24.创新题(2025江西新余段考)定义A-B={x|x∈A,x∉B},设A,B,C是某集合的三个子集,且满足(A-B)∪(B-A)⊆C,则下列正确的是(　　) A.A⊆(C-B)∪(B-C)是A∩B∩C=⌀的充要条件 B.A⊆(C-B)∪(B-C)是A∩B∩C=⌀的充分不必要条件 C.A⊆(C-B)∪(B-C)是A∩B∩C=⌀的必要不充分条件 D.A⊆(C-B)∪(B-C)是A∩B∩C=⌀的既不充分也不必要条件 25.(2025天津月考)已知“a<m”是“关于x的方程ax2+2(a-1)x+a-1=0至少有一个负根”的充要条件,求实数m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　充分条件与必要条件 1.B　充分性:根据这句话的大意可知,如果顺应天时地利的万物规律,就能花费较少的力取得更多成功,所以充分性成立; 必要性:“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时,量地利”,比如某种果实产量高,有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的, 故“顺天时,量地利”是“用力少而成功多”的充分不必要条件.故选B. 2.(1)p⇒q　充分　必要　(2)p⇒q　q⇒p　p⇔q　充要 3.(1)✕　(2)√　(3)√　(4)✕　(5)√　(6)√ 4.B　因为|x|>1⇒x<-1或x>1,x<-1⇒|x|>1,所以“|x|>1”是“x<-1”的必要不充分条件. 5.B　由{x|x>5}是{x|x≤-1或x≥3}的真子集,可知p是q的必要不充分条件.故选B. 6.答案　(1)充分而不必要条件　(2)必要而不充分条件 (3)充要条件　(4)既不充分又不必要条件 解题思路　(1)a≥5⇒a>0,a>0⇒/a≥5,因此应填“充分而不必要条件”; (2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等,反之不成立.因此应填“必要而不充分条件”; (3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形是平行四边形⇔四边形的两组对边分别平行,因此应填“充要条件”; (4)x∈R时,x2=2⇒/x=2,x=2⇒/x2=2,因此应填“既不充分又不必要条件”. 7.B　若x≥3,则必有x>2,但反之不一定成立,所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.故选B. 8.A　|x-1|>2⇔x>3或x<-1,显然x>3可以得到x>3或x<-1,而x>3或x<-1未必得到x>3,所以“x>3”是“|x-1|>2”的充分不必要条件,故选A. 9.D　关于x的方程x2+mx+1=0的根的判别式为Δ=m2-4, 当m<-1时,Δ的符号可正可负可为零,即由m<-1推不出关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根. 反之,若关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根,则Δ≥0,且-m<0,因此m≥2.由m≥2不能推出m<-1. 所以“m<-1”是“关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根”的既不充分也不必要条件.故选D. 10.AD　对于A,a>b⇔a-b>0,a3>b3⇔a3-b3>0⇔(a-b)·(a2+ab+b2)>0⇔(a-b)>0, 因为a,b不同时取0,所以+>0,所以a3>b3⇔a>b, 所以a>b是a3>b3的充要条件,故A正确; 对于B,当|a|=|b|时,a=±b,所以|a|=|b|不能推出a=b,所以a=b不是|a|=|b|的必要条件,故B错误; 对于C,例如四边形为筝形,如图,满足对角线互相垂直,但此时四边形不是菱形,故C错误; 对于D,若两个三角形的两组角对应相等,则这两个三角形的三组角对应都相等,故两个三角形相似,反之,若两个三角形相似,则三组角对应都相等,由此可判断两个三角形的两组角对应相等是这两个三角形相似的充要条件,故D正确,故选AD. 11.B　由A∪B=C且B不是A的子集,知x∈A⇒x∈C,x∈C⇒/x∈A.所以“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件. 故选B. 12.答案　充分不必要 解题思路　由p:>1,得p:0<x<1,由q:|x-1|<1,可得q:0<x<2,显然由p可以推出q,由q推不出p,所以p是q的充分不必要条件.故答案为充分不必要. 13.AD　由题意可知x-<x<2是选项中对应集合的真子集,结合选项可知x-<x<2是x-4<x<3的真子集,是{x|x<2}的真子集,故选项A,D符合题意.故选AD. 14.B　由p:x2-4x<0,得p:0<x<4,所以0<x<2是p:0<x<4成立的一个充分不必要条件.故选B. 15.解题思路　(1)必要不充分. (详解:当xy=0时,x=0或y=0,此时x2+y2=0不一定成立,如x=0,y=1满足xy=0,而不满足x2+y2=0,当x2+y2=0时,x=0且y=0,所以xy=0,所以xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件) (2)充要.证明: 先证必要性:∵a+b=1,∴b=1-a, ∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0; 再证充分性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0, ∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, 即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0, 又∵ab≠0,a2-ab+b2=+b2>0,∴a+b-1=0,即a+b=1. 综上所述,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 16.解题思路　证明:若a+b+c=0,则c=-a-b, 代入关于x的方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0. 所以关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 充分性成立. 若关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 则x=1满足方程ax2+bx+c=0. 所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 必要性成立. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 变式16-1　证明:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,则Δ=b2-4ac>0,<0,所以ac<0.必要性成立. 由ac<0,可推得b2-4ac>0及<0.所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.充分性成立. 综上,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 17.A　关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解,则Δ=1-4m≥0,解得m≤, 由题可知是选项中对应集合的真子集,结合选项可知m≤的一个必要不充分条件是m<.故选A. 18.C　由甲同学的表述可知A={x|0<kx<2}=x0<x<, 因为B是A成立的必要不充分条件,C是A成立的充分不必要条件, 所以C是A的真子集,A是B的真子集,故>且≤5,解得≤k<3, 结合选项可知k代表的数字可以是1或2.故选C. 19.解题思路　设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m(m>0)}. 又因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A, 故有或解得m≤3.又m>0, 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 方法总结　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤: (1) 化简:化简集合,明确题干中的充分条件和必要条件. (2)转化:根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合间的关系问题. (3)列式:利用集合间的关系,建立关于参数的方程(不等式)或方程组(不等式组). (4)获解:解得参数值(范围). 变式19-1　设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m(m>0)}, 又因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B. 所以或解得m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 变式19-2　若p是q的充要条件,则m>0且此方程组无解.故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 20.A　由xy+1=x+y,得(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y=1,即x,y至少有一个为1, 所以“xy+1=x+y”的充要条件为x,y至少有一个为1. 故选A. 21.C　充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以+=+=-2,所以充分性成立; 必要性:因为xy≠0,且+=-2,所以x2+y2=-2xy, 即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立, 所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C. 22.B　设[a]=<b>=k,由[x]和<x>的定义得a≥k,b≤k, 所以a≥k≥b,即a≥b,充分性成立; 当a=2.2,b=2.1时,[a]=2,<b>=3,[a]<<b>,必要性不成立. 所以“[a]=<b>”是“a≥b”的充分不必要条件.故选B. 23.C　充分性:φ(a,b)=0,即=a+b,故a+b≥0,a2+b2=(a+b)2=a2+b2+2ab,所以ab=0且a≥0,b≥0,故具备充分性.必要性:由a≥0,b≥0,ab=0,得==a+b,即φ(a,b)=0,故具备必要性. 故φ(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 24.A　如图,A=D∪G∪H∪K,B=E∪I∪H∪K,C=F∪G∪I∪K,由于(A-B)∪(B-A)⊆C,故D,E(两个阴影部分)均为⌀, 于是A=G∪H∪K,B=I∪H∪K, 若A∩B∩C=⌀,则K=⌀,∴A=G∪H, 而(C-B)∪(B-C)=G∪F∪H,∴A⊆(C-B)∪(B-C)成立; 若A⊆(C-B)∪(B-C), 则由于(C-B)∪(B-C)=G∪F∪H,A=G∪H∪K, 故(G∪H∪K)⊆(G∪F∪H),∴K=⌀,∴A∩B∩C=⌀. 故A⊆(C-B)∪(B-C)是A∩B∩C=⌀的充要条件,故选A. 25.解题思路　对于关于x的方程ax2+2(a-1)x+a-1=0, 当a=0时,方程为-2x-1=0,解得x=-,符合题意. 当a≠0时,方程有实根的充要条件是根的判别式Δ=4(a-1)2-4a(a-1)≥0,解得a≤1且a≠0, 设方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=, ①当a=1时,方程x2=0的两根均为零,即x1=x2=0,不符合题意; ②当0<a<1时,x1x2=<0,即关于x的方程ax2+2(a-1)x+a-1=0有两个异号根; ③当a<0时,x1+x2=-<0,x1x2=>0,即关于x的方程ax2+2(a-1)x+a-1=0有两个负根. 故“a<1”是“关于x的方程ax2+2(a-1)x+a-1=0至少有一个负根”的充要条件,所以m=1. 学科网（北京）股份有限公司 $