精品解析：江西省九江市第一中学2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试题

2025年秋季学期高二开学质量检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4，本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册､选择性必修一第一章第一节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 30海里 8. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数（），则（ ） A. 当z为实数时， B. 当z为纯虚数时， C. 当z的实部与虚部相等时， D. z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 11. 在正四棱柱中，，点H在棱上，且直线与直线所成的角为，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线与底面所成角的余弦值为 D. 平面截正四棱柱所得截面的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若球O的表面积为，则该球的半径为______． 13. 在矩形中，，P为边上一点，则_____． 14. 经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知非零向量，，且． （1）求x的值； （2）求向量与的夹角； （3）求向量在方向上的投影向量的模． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形． 17. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求． 18. 在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，． （1）证明：平面． （2）求二面角的正切值． （3）在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）设函数，，求的值域． （2）设函数．已知，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 2025年秋季学期高二开学质量检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上： 2回答选择题时，选出每小题答案后，用笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4,本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册、选择性必修一第一章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.若复数2=2i(1-),则4=（) A.V② B.2V2 C.2 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及复数模的计算公式，即可求得答案 【详解】由题意得2=2i1-i)=2+2i,故2=V22+22=22. 故选：B 第1页/共22页 学科网命组卷网 2已知4(-2,3)、B(2,),若斜率存在的直线1经过点P(0,-,且与线段4B有交点，则1的斜率的取 值范围为( A.[-2,1 B.【1,2] c（-0,-2]Ul,+o）D（-o,-lU[2,+o) 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算 4,k,再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式， 即可得出结果， 【详解】由直线的斜率公式可得： 1-（0-1 3-(0=-2.km -2-0 2-0 3 结合图形，要使直线1经过点P(0,),且与线段AB有交点，1的斜率需满足k≤-2或k≥1 故选：C 3.在△ABC中， ∠ABC=2π 3,AB=3,BC=4,则AC=() A.V37 B.13 c.v31 D.V19 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理直接求解即可 【详解】在△ABC中，由余弦定理得 第2页/共22页 命学科网 命组卷网 4C-AB+BC2-24B-BCcosZABC=9+16+2x3x4x1=37 2 故选：A 4.如图，平行四边形OAB'C是水平放置的四边形OABC的直观图，O'C'=4,OA=V6, 则四边形 OABC S= 的面积 B' O A.4V6 B.8V5 C.8V6 D.166 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平行四边形0AB'C的面积，再根据S=2√2S直接求解 【详解】因为四边形OAB'C是平行四边形，且OC=4,0A=V6 所以平行四边形面积S=0C×0×si血45=4xV6x2=4N5 根据直观图与原图面积关系S=2√2S, 所以S限=2W2S=2V2×4V3=8V6 故选：C 5.已知正方体1BCD-4BCD的棱长为2，则直线 A到平面 DD,B的距离为(） A.2 B.V2 C.1 D.2V2 【答案】C 第3页/共22页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】作出辅助线，证期4∥平面BDDA及AC上平面BDDB,求出点A到平面BDD,B的距离 即可 【详解】连接AC交BD于点E, D B D B 由四边形ABCD为正方形，得AC⊥BD,且E为AC中点， 由BB⊥底面ABCD,ACC平面ABCD,得BB⊥AC, 而BBOBD=-B,B品，BDC平面BDDB,则AC⊥平面BDD,B, 因此AB的长即为点A到平 BDDB的距离· 又正方从80-AGA转长为2，利4B-22=司 而AMBB,BC平面BDDB,AMC平面BDDA,则A/平面BDDA, 故直线14到平面BDDB的距离，即点A到平面BDDB的距窝AB=1 故选：C 9cos(a+)=sin(a+) 6.已 6 3,则tana=() 4V3 =4v5 55 A.5 B.5 c.5 D.12 第4页/共22页 学科网 命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】利用和角的正余弦公式化简求解. 【详解)由9cos(@+S=sin(a+3),得)空cosa-之ih 1 -sin a =-sina+ -cosa 61 2 4V3 整理得5sinu=43cosa,所以tana= 5· 故选：B 7.位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C 处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是() A20N2海里 B.40W2海里 c40√5海里 D.30海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得MC, 【详解】依题意，画出示意图如下，PM=40,∠MPC=135°，∠CMP=90°-75°=15° MC PM 在△PMC中，∠PCM=30°，由正弦定理得sin∠MPC sin∠PCM, MC=40sin135=40v2 因此 sin30° (海里)， 所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是40√5海里， 第5页/共22页 6学科网6组卷网 故选：B. BF-1BC 8.如图，设AB=xAD,AC=yAE,线段DE与BC交于点F,且b 5 ,则4x+y=() E ⊙ F 5 A.4 B.3 C.2 D.5 【答案】D 【解析】 AF-14C+44B =v 4 XAD 【分析】先计算出 5 5 ，进而得到“ 利用共线定理的推论得到 14 5x=1 ,得到答案 【详解】BF=AF-ABBC=AC-AB 又BF-}B ,-孤-号4c- 5 ,所以 5 5 因为AB=xAD,AC=yAE,所以AF 5 1.4 因为D,E,F三点共线，所以5 +-x=1 5 4x+y=5 故 故选：D 第6页/共22页 命学科网列组卷网 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若复数z=m-4-mi(m∈R),则() A.当z为实数时，m=0 B.当z为纯虚数时，m=4 C.当z的实部与虚部相等时，z=2-21 D.z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断 【详解】对于A,复数z=m-4-mi是实数，则m=0,A正确： m-4=0 对于B,当z为纯虚数时， -m≠0，则m=4,B正确： 对于C,当的实部与虚部相等时，m-4=-m,解得m=2,2=-2-21,则2=-2+21，C错误： m-4>0 m>4 对于D,当z在复平面内对应的点位于第一象限时， -m>0,即m<0,无解， 因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确： 故选：ABD 己知函数了c)=4si(ox+p)4>0.o>0,阿<2)的部分图象知图所示，其中ACz 等边三角形，点M的坐标为，0)，则() 第7页/共22页 6学科网组卷网 2W3 B.、 4 C直线x=7是()图象的一条对称轴 D将f()的图象向左平移2个单位长度后，所相图象与5数8(，=25sin任x+ 4+ π 4的图象重合 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A,由图数据得△CMN边长，求出O;对B,由点C坐标求出P;对C,代入x=7验证最值： 对D,由图象变换可得 【详解】对于A:如图，因为△CMW为等边三角形，且高为25， 所边长为4，所拟24，T=8.。--开 T 84,A错误： 对于B:因为点M的坐标为(，0），所以C3,2V3), 所以A=25,3×经+p-+2ae p=-元+2km,keZ ,解得 4 又州水经所89=子，B玉 第8页/共22页 6学科网命组卷网 对rc,自L网-26sn(任，mf0)-25n(经7-4到-25m经-25.cE 确： 对于D:f()的图象向左平移2个单位长度，解析式变为 y=25m[+2--2nx+ 即前得泰与圆数6创-2m子x+》 4的图象重合，D正确 故选：BCD. 11.在正四棱柱 DD所成 BCD-4®CD中，4=2MB=8,点H在楼DD上，且直线4H与直 2 的角为4，则() A.DH=4 165 B.三棱锥C-ABH的体积为3 3 C.直线AC与底面ABCD所成角的余弦值为3 D.平面4HC 截正四棱柱 BCD-4B,CD所得截面的面积为16N5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正四棱柱的结构特征，结合线面角求解判断AC；求出三棱锥体积判断B: 作出截面并求出面积判断D, 【详解】在正四棱柱 BCD-4B,CD中，AA=2AB=8 第9页/共22页 6学科网列组卷网 2 n∠AHD= 对于A,由直线AH与直线DD所成的角为4，得 4,而DH⊥AD,则DH=AD=4,A正 确； 对于B,莲接4D, 则点D到平面4BC的距离等于R△4DD斜边4D上的高， h=AD:DD=4×8=8 V4D+DDV4+82V5,而H是DD的中点， h=4 则点H到平面4B,C的距离为2”V5, 8c号48-gC=-8w5 1 3,B错误： 对于C,连接4C,由4 底面ABCD 得∠AC4是直线AC与底面ABCD所成的角， cos∠ACA=AC、 42√5 AC V(4v22+823,C正确： 对于D,分别取4，B8中点E,F,连接F,DE,CR,F,由FIAB1CD, EF=AB=CD ,得四边形 为平行四边形，则CF1IDE目CF=DE CDEF 日 DEAH 而四边形 为平行四边形，因此4H/DE/CF,4H=DE=CF CFAHAHC 平行四边形 为平面 截正四棱 ABCD-AB,CD所得截面， 第10页/供22页 学科网命组卷网 而CF=42=CH,即平行四边形CF4H为菱形，又4C=46,FH=4W2 所以So4C-FH=165,D正稀 1 故选：ACD D B E 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若球O的表面积为8π，则该球的半径为一 (答案】V2 【解析】 【分析】利用球的表面积公式列式求解 【详解】设球O的半径为R,由球O的表面积为8m,得4πR=8m,解得R=V2 所以该球的半径为V2 故答案为： 2 13.在矩形ABCD中，BC=3,P为边CD上一点，则BC·BP= 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算得解. 第11页/共22页 学科网命组卷网 【详解】在矩形ABCD中，BC⊥CD.BC.CD=0 由P为边CD上一点，得CP=1CD0≤1≤)，BP=BC+CP=BC+iCD 所以BC·BP=BC.(BC+1CD)=BC+tBC.CD=9 故答案为：9 B 14经过点P(0,-作直线，若直线1与连接点4，-2），B(2,1的线段没有公共点，则直线'的领斜 角的取值范围是 π3π 【答案】 (4'4 【解析】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围， 【详解】如图所示，直线与线段AB没有公共点，若为直线的倾斜角， 元 直线I可从直线PB逆时针旋转到直线PA的位置，注意包含直线I倾斜角为2的情况， a器小w0 第12页/共22页 6学科网6组卷网 π 直线1的区域包含倾斜角为2的情况， 斜率k<k4=-l或>kpa=l,从而lama<-l或ana>1, 或 π3π 又a∈0，)，结合正切曲线可得气44. 3π 故答案为： 4’4 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知非零向量a=(x,0）,6=(仙，x),且日--=1 (1)求x的值 (2)求向量0与b的夹角： b (3)求向量“在6方向上的投影向量的模， π 【答案】(1)1 (2)4 2 (3)2 【解析】 【分析】(1)根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案. (2)根据向量的夹角公式求解即可： (3)求出向量“在b方向上的投影向量，即可求得答案 【小问1详解】 已知非零向量a=(x,0）,b=(1,),故i-6=(x-l,-x) 第13页/供22页 6学科网命组卷网 而石-=1，故V(x-1+(←x=1,解得x=1或x=0, 由于ā=(：，0)为非零向量，故x≠0，故x=1: 【小问2详解】 结合4)可知a=(L,0),b=(1,,则a-6=(,0)小-()=1， 故cos◆a,b●= a.b1√2 aB 1xv2 2 π 故向量a与b的夹角为4： 【小问3详解】 ab b I, 向量一在：方向上的投影向量为 a b 可2，|=2 2 故向量a在)方向上的投影向量的模为22· sinB,3sinA a2+c2 16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC sinB bc. (1)求B的大小： (2)己知sinM=V3sinC,证明：△ABC是等腰三角形. 【答案】(1)B= 6 (2)证明见解析。 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得. (2)由(1)的结论，利用正弦定理边化角即可推理得证， 【小问1详解】 第14页/供22页 6学科网列组卷网 sinB,3sinA a2+c2 b aa+c2 在△ABC中，由sinC sinB bc及正弦定理，得c b bc, 整理得=a+2-Bac,白余法定程粉asB=口+-- 2ac 2,而0<B<π， 所以B= 61 【小问2详解】 由sinM=V5sinC及正弦定理，得a=V5c,由1)知=d+c2-V5ac, 因此=C,即h=C,所以△1BC 是等腰三角形 与ma片.m明=-方.taeo原.e写刘 17.已知 （)求an(a-P)的值 1-cos2a (2)求sin2a的值； 2a-B (3)求 【答案】(1)2： 1 (2)3: 3π (3)4 【解析】 【分析】(1)根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可 (2)利用二倍角的正余弦公式化简得解 (3)确定角的范围，再利用和角的正切公式求解. 第15页/共22页 6学科网列组卷网 【小问1详解】 1 tan(a-B)= tan a-tan B 1 由tana=}，tanB=-L,得 1 1+tan a tan B 1-1.2 3 7 37 【小问2详解】 由anas了 1 1-cos2a 2sin'a 3,得sin2a 2sina cosa tana= 3 【小问3详解】 由ae0孕，Be刘，南-5a-B<0,由0a-川 >0 2 则π<a-B<- ,c20-9<0.2a-月月-1 2a-B=-3π 所 4 18在四棱台ABCD-AB,CD中，MA上底面ABCD,底面ABCD是正方形，B为侧 DD的中点· AD=8.4D=4A4=43 B D (1)证明：AE上平面 CDDC (2)求二面角E-AC-D的正切值. 第16页/共22页 可学科网丽组卷网 DH (3)在线段DC上是否存在点H,使得平面BHD⊥平面AEC?如果存在，求HC的值：如果不存在， 请说明理由， 【答案】(1)证明见解析； √6 (2)3 DH 1 (3)存在，HC2,理由见解析. 【解析】 【分析】(1)由线面垂直的判定定理可证： (2)作出二面角的平面角，在Rt△中求值： (3)当DH⊥CE时满足条件，由正弦定理求出DH即得比值 【小问1详解】 因为MM上底面ABCD,所以MM上底面4BCD,ADC平面4BCD, 所以AA1AD,所以D=V+AD2=《43+4=8 又MD=8,E是DD中点，所以ME1DD 因为1M+底面BCD,CDc平面ABCD,所以141CD 又底面BCD是正方形，所以CDLAD,ADOM=A,AD,44C平面ADDA, 所以CD⊥平面ADD4,AEC平面ADD,4,所以CD⊥AE 又CDoDD=D,CD,DDC平面CDD,G,所以AE⊥平面CDD,G 【小问2详解】 第17页/供22页 命学科网命组卷网 因为1M上底面ABCD,4C平面ADDA,所以平面MDD4L底面ABCD 过点E作EF⊥AD,因为平 面ADD,AN平面ABCD=AD 所以EF⊥平面ABCD,过F作FG⊥AC,连接EG,则EG⊥AC, 所以∠EGF是二面角E-AC-D的平面角. 4 B 因为E是DD中点，所以EF=2N3 GF 3 GF=31 。×8V2=3v2 设AC∩BD=O,则OD4,所 42 所以tan∠EGF=EF-23V6 6 GF3√23，即二面角E-4C-D的正切值是3 【小问3详解】 对线段DC上的点H,因为AE⊥平面CDD,G,DHC平面CDD,G, 所以AE⊥DH,则当DH⊥CE时，满足条件 如图，在四边 CDD,G中，过D作DT⊥CE,垂足为T, DCH, 则∠ECD=∠EDT=∠D,DH DH DD 设DH=x,则sin∠DH sin∠DHD 第18页/供22页 6学科网6组卷网 因为DB=4CD=8,所以CE=45,所以mDDM=经- 又∠HDD=45°，所以sim∠DHD=sim(45+∠DDH）=3 10 所以DH-DDsm∠DDH8x5 5-8v2 sin∠DHD3V103，又 10 CD =82 DH 1 所以HC2,此时DH⊥CE时，AE⊥DH,AEOCE=E,AE,CEC平面AEC, 所以DH⊥平面AEC,DHc平面BHD,所以平面BHD⊥平面AEC. C D H 19.已知函数f儿w=cox,g)=sinr (1)设函数 的=f四+gVc-+gte-孕引，eB急，米的省装 (2)设函数 )=f训-sHU6+|&儿.已知aheR,VeeR,ka≤k@≤b,求 a-b的最小值. 【答案11)L- 3π (2)4. 第19页/供22页 6学科网6组卷网 【解析】 h(x) 【分析】(1)利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简函数 再利用余弦函数性质求出值域 k(x) (2)求出函数 并确定其周期，再分段探讨函数的性质，确定最小正周期及最小值、最大值，并作出 部分图象，借助图象求出 a-b1 的最小值， 【小问1详解】 依题意， )(cos+in.)cos()+sin(csx+sin.)(sin.0 =-(cos2x-sin2x)=-cos 2x 所以的简域为人一习 【小问2详解】 函 k)=0cosx--sin)cos对|sin定义域为R k(x+2π)=[cos(x+2π)l-sin(x+2π)][cos(x+2π)+|sin(x+2π)] =(cosx-sinx)cosx+IsinxD=k(),则2r是函数 k(x) 的一个周期， 当π≤xs-π 2,即-2π≤2x≤-π时，k(x)=(-cosx-sinx)cosx-sinx)=-cos2x, 数k()在一兀，-2上单调递增，函数值从一增大 当2sxs0 ,即-π≤2x≤0时，k(x)=(cosx-sinx)(cosx-sinx)=1-sin2x, 第20页/供22页 命学科网命组卷网 四之单：数值从1大到2，牙叭老藏图4寝 0sxs ,即0≤2x≤π时，k(x)=(cosx--sinx)(cosx+sinx)=cos2x, 函数k(x)在 0,匀上单调递减，函数值从1减小到-： ≤x≤ 当2 ,即π≤2x≤2π时，k(x)=(-cosx-sinx)(cosx+sinx)=-1-sin2x, rπ3π 3π 函数()在宁4上单调递增，函数值从-1增大到0，在一，刊上单调递减，西数值从0减小到-1， 当x∈[-元时，函数k闲在一元-4上单润道指，质数值从-1增大到2，在4受上单调道孩。 π3π 3兀 函数值从2减小到-1：在2？4 [, 上单调递增，函数值从-1增大到0，在4 上单调递减，函数值从 0减小到-1，如图， 1y=2 y=k(x) 3元 4 T 函数()的最小正得期为2元，当r=-+2m,n∈ 4 时，k()ax=2, x=+2m,neZ时，k(m=-1, 当x=-π+2m或2 第21页/供22页 命学科网命组卷网 由ceR,k(@skg≤kb),得@=k(x)m=-lkb)=k()x=2 3π 3π 欢察图家知a-bm=4,所以la-b1的最小值为4。 第22页/共22页