专题2：绝对值及有理数的加减 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“绝对值及有理数的加减”核心知识点，系统梳理绝对值的概念、代数意义、非负性及比较大小方法，衔接有理数加法法则、减法法则及混合运算原理，构建从知识回顾到自我检测、探究活动、用法检测再到应用与综合提升的学习支架。 该资料通过自主探究活动（如相反数绝对值关系、加减法法则归纳）培养抽象能力和推理意识，结合气温变化、出租车行程等实际问题强化模型意识，课中辅助探究提升教学效果，课后检测与巩固练习帮助学生查漏补缺，全面发展数学眼光、思维与语言。

综合能力检测A卷 满分：_____________得分：_____________ 专题2：绝对值及有理数的加减 【知识回顾】 概念 核心要点 绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。距离不可能是负数，所以|a|≥0，即绝对值具有非负性。 绝对值的代数意义 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即：|a|＝a（a＞0）；|a|＝−a（a＜0）；|a|＝0（a＝0）。 用绝对值比较大小 正数都大于0，0都大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数加法法则 ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③一个数同0相加，仍得这个数。 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a−b＝a＋(−b)。加减混合运算可统一为加法运算，写成“省略加号与括号”的形式。 基础概念检测（学员自我检测） 检测一：记忆能力检测 一、填空题（每空2分） 1．数轴上表示数a的点到______的距离，叫做数a的绝对值，记作______。 2．正数的绝对值是______，负数的绝对值是______，0的绝对值是______。 3．绝对值具有非负性，即对任意有理数a，都有|a|______0。 4．同号两数相加，取______的符号，并把______相加；异号两数相加，绝对值相等时和为______，绝对值不相等时，取______的符号，并用较大的______减去较小的______。 5．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的______，即a−b＝a＋______。 6．两个负数比较大小，绝对值______的反而______。 二、判断题（正确画“√”，错误画“×”） 1．|−7|＝7。（　　） 2．绝对值等于它本身的数一定是正数。（　　） 3．绝对值最小的数是0。（　　） 4．异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同。（　　） 5．−3与3的和是0。（　　） 6．减去一个负数，等于加上一个正数。（　　） 三、选择题 1．−5的绝对值是（　　） A．−5　　B．5　　C．1/5　　D．0 2．下列各式中，正确的是（　　） A．|−3|＝−3　　B．|3|＝−3　　C．|0|＝0　　D．−|−2|＝2 3．计算(−3)＋(−5)的结果是（　　） A．−8　　B．8　　C．−2　　D．2 4．计算3−(−2)的结果是（　　） A．1　　B．5　　C．−1　　D．−5 基础能力检测 探究绝对值自主探究检测一： 【探究活动1】求下列各数的绝对值： 7，−9，0，1/2，−3.6，1又1/2 观察：正数、负数、0的绝对值分别有什么规律？ 【探究活动2】观察数轴上表示3和−3的两个点（如图1），它们到原点的距离分别是多少？|3|与|−3|有什么关系？ 图1　3与−3在数轴上的位置 归纳：互为相反数的两个数的绝对值______。 【探究活动3】a可以取任意有理数，|a|可能是负数吗？若|a|＝5，则a可以取哪些值？若|a|＝0呢？ 　 绝对值的用法用法探究检测一： 1．求下列各数的绝对值： −8，6，0，−2.7，4/5 2．化简下列各式： |−(−3)|，−|−5|，|0|，−|2| 3．用“＜”连接下列各组数： （1）−3与−4　　（2）−1.5与−1　　（3）−1/2与−1/3 4． 若|a|＝3，求a的值；若|a|＝|−2|，求a的值。 5．绝对值等于6的正数是______，绝对值等于6的负数是______。 探究有理数的加减法自主探究检测二： 【探究活动1】计算并观察符号与数值的变化规律： （1） .(−3)＋(−5)　　（2）.(＋4)＋(＋7)　　（3）.(−6)＋(＋2)　 　 （4） .(＋8)＋(−3)　　（5）.(−5)＋(＋5)　　（6）.(−7)＋0 归纳：同号两数相加，取______的符号，并把______相加；异号两数相加，绝对值相等时和为______，绝对值不相等时，取______的符号，并用______减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得______。 【探究活动2】利用相反数探究减法： 计算并比较：5−2 与 5＋(−2)；(−3)−1 与 (−3)＋(−1)；4−(−1) 与 4＋1。 观察：减去一个数，与加上这个数的相反数，结果有什么关系？ 【探究活动3】把下面的加减混合算式改写成“省略加号”的形式并计算： (−2)＋(＋3)−(−5)−(＋4) 用法探究检测二： 有理数加减法的用法 1．计算： （1）(−5)＋(−8)　　（2）(−12)＋(＋9)　　（3）(＋7)＋(−7)　　（4）0＋(−3) （5） (−10)−(−4)　　（6）8−(−6)　　（7）(−3)−5　　（8）0−7 2．计算（加减混合）： （1）(−3)＋5−(−7)　　（2）(−1.5)−(−2.5)＋3　　（3）1/2＋(−2/3)−(−1/3) 3． 某日清晨钦州的气温是−2℃，中午上升到4℃，求中午比清晨高多少摄氏度？（用算式表示） 4．计算：(−2)＋3＋(−5)＋(−3)＋2（利用加法交换律、结合律简便计算） 基础应用检测 检测一：能力达标检测 1．−2023的绝对值等于（　　） A．−2023　　B．2023　　C．±2023　　D．2022 2．−3的绝对值是（　　） A．3　　B．−3　　C．1/3　　D．0 3．计算−1＋2的结果是（　　） A．1　　B．−1　　C．3　　D．−3 4．计算：(−2)＋(−3)＋5＝______。 5．下列各数中，绝对值最大的是（　　） A．−4　　B．2　　C．−1　　D．3 6．|−1|＋|−3|＝（　　） A．4　　B．−4　　C．2　　D．−2 7．计算：(−8)−(−3)＝（　　） A．−11　　B．−5　　C．5　　D．11 8．若|x|＝4，则x＝______。 检测二：运用提升检测 1． 计算：(−2)×(−1)＋3。 2． 计算：(−3)×4＋(−2)²。 3． 计算：(−1)×(−4)＋2²÷(7−5)。 4． 计算：(−1＋2)×3＋2²÷(−4)。 5． 某地某日最高气温3℃，最低气温−5℃，这天的温差是多少？（用有理数减法列式计算） 6．计算：−2＋5−8＋3−1（先观察，再用简便方法） 多项能力综合检测 检测一：综合能力检测 1． 计算：2×(−2)＝______。 2． 计算：3×(−1)＋2²＋|−4|。 3． 若|a−2|＋|b＋3|＝0，求a＋b的值。 4．有理数a、b在数轴上的位置如图2所示（b＜0＜a，且|b|＞|a|）： 图2　a、b在数轴上的位置 化简：|a|−|b|＋|−a|。 5．出租车司机小李驾车从车站出发，向东为正、向西为负，记录当天各段行程（单位：km）：＋5，−3，＋8，−6，＋2，−4。 （1）收工时，小李停在车站的哪个方向？距车站多远？ （2）若每行驶1km耗油0.2L，这一天共耗油多少升？ 检测二：拓展能力检测 1.计算：2³×(−1/2＋1)÷(1−3)。 2.计算：−(−1)＋3²÷(1−4)×2。 3.已知|a|＝2，|b|＝5，且a＞b，求a＋b的值（注意分类讨论）。 4．现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（   ） A．-2025 B． C．2024 D．2025 5．定义一种新运算：对于任何有理数和，规定：．如，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D． 6．规定一种新运算：a※b＝a−b＋|a|，求(−3)※2的值。 7．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 8．定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 9. 巩固提升： 1、某水库上周日水位恰好为警戒水位 150 米。本周内每日水位变化记录如下（正号表示比前一天上升，负号表示比前一天下降，单位：米）：+0.4，+1.3，−0.3，+0.2，−0.5，−0.2，+0.1。 （1）本周内哪一天水位最高？最高水位是多少米？ （2）与上周日相比，本周日水位上升了还是下降了？变化了多少米？ （3）若超过警戒水位 0.5 米需开闸泄洪，本周有哪几天需要泄洪？ 2、某股民上星期五以每股 20 元买入某股票 1000 股。本周每日涨跌情况如下（正号表示比前一天上涨，负号表示比前一天下跌，单位：元）：+0.4，+0.5，−0.1，−0.3，+0.2。 （1）星期三收盘时，每股多少元？ （2）本周内最高价、最低价各是每股多少元？ （3）若买入时付 1.5‰手续费，卖出时付 1.5‰手续费和 1‰交易税，周五收盘全部卖出后，该股民收益多少元？ 3、某仓库一周内进出货物记录如下（运进为正，单位：吨）：+25，−18，+10，−15，+20，−12，+8。 （1）经过这一周，仓库存货增多还是减少？变化了多少吨？ （2）若周末存货为 200 吨，一周前存货多少吨？ （3）货车每次运 5 吨、每趟运费 80 元，这一周共需支付运费多少元？ 4、数轴上 A 点对应数 −2，B 点对应数 4。动点 P 从 A 出发，动点 Q 从 B 出发，分别以 2 个单位 / 秒和 1 个单位 / 秒的速度沿数轴正方向同时运动（t>0）。 （1）A、B 两点间的距离是多少？ （2）当 t=2 时，动点 P、Q 分别对应的数是多少？ （3）运动 t 秒后，用含 t 的代数式表示 P、Q 所对应的数。 5、数轴上 A 点对应数 −8，B 点对应数 6。动点甲从 A 出发向右、动点乙从 B 出发向左，分别以 3 个单位 / 秒和 2 个单位 / 秒的速度同时相向运动（t>0）。 （1）A、B 两点间的距离是多少？ （2）当 t=1 时，甲、乙两点分别对应的数是多少？ （3）出发后几秒甲、乙相遇？相遇点对应的数是多少？ 6、数轴原点为 O，A 点对应数 −6，B 点对应数 2。动点 P 从 A 出发以 2 个单位 / 秒向右运动，动点 Q 从 B 出发以 1 个单位 / 秒向左运动，两点同时出发（t>0）。 （1）A、B 两点间的距离是多少？ （2）用含 t 的代数式表示运动 t 秒后 P、Q 所对应的数。 （3）运动几秒后，P、Q 两点到原点 O 的距离相等？ （4）运动几秒后，P、Q 两点之间的距离为 2 个单位长度？ 7、阅读材料： "数学王子" 高斯小时候快速算出 1+2+3+…+99+100=5050，方法是： 令 S = 1+2+…+99+100，① 又 S = 100+99+…+2+1，② ①+②，得 2S = (1+100)×100，解得 S = 5050。 知识应用： （1）填空：(−4)+(−5)+(−6)+…+(−12) = ______； （2）填空：2+4+6+…+98+100 = ______； （3）请用倒序相加法计算：5+10+15+…+2025+2030。 8、阅读材料： 计算连续奇数之和时，仍可用倒序相加法。例如：1+3+5+…+99， 令 S = 1+3+5+…+99，① 又 S = 99+97+…+3+1，② ①+②，得 2S = (1+99)×50，解得 S = 2500。 知识应用： （1）填空：1+3+5+…+19 = ______； （2）填空：(−1)+(−3)+(−5)+…+(−19) = ______； （3）请用倒序相加法计算：3+7+11+…+79+83。 9、阅读材料： 工地上一堆钢管堆成梯形，最上层有 6 根，最下层有 18 根，每向下一层多 1 根，共 13 层。求总根数可用倒序相加法： 设总根数为 S，则 S = 6+7+8+…+18， 倒序得 S = 18+17+…+7+6， 两式相加，2S = (6+18)×13，解得 S = 156。知识应用： （1） 电影院第一排有 20 个座位，以后每排比前一排多 2 个座位，第 15 排有多少个座位？ （2） （2）用倒序相加法求该电影院前 15 排共有多少个座位？ （3） （3）若某电影院共有 30 排，第一排 18 个座位，每排比前一排多 1 个，全场共有多少个座位？ 第二部分　专题2：绝对值及有理数的加减 一、填空题 1．原点；|a| 2．它本身；它的相反数；0 3．≥ 4．相同；绝对值；0；绝对值较大；绝对值；绝对值 5．相反数；(−b) 6．大；小 二、判断题 1．√　2．×（0的绝对值也是它本身）　3．√　4．√　5．√　6．√（a−(−b)=a+b） 三、选择题 1．B（|−5|=5） 2．C（A、B错：|−3|=|3|=3；D错：−|−2|=−2） 3．A（同号相加得−8） 4．B（3−(−2)=3+2=5） 探究绝对值 【探究活动1】|7|=7；|−9|=9；|0|=0；|1/2|=1/2；|−3.6|=3.6；|1又1/2|=1又1/2。 规律：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 【探究活动2】3和−3到原点的距离都是3；|3|=|−3|=3。归纳：互为相反数的两个数的绝对值相等。 【探究活动3】|a|不可能是负数（|a|≥0）；若|a|=5，则a=5或−5；若|a|=0，则a=0。 绝对值的用法 1．|−8|=8；|6|=6；|0|=0；|−2.7|=2.7；|4/5|=4/5。 2．|−(−3)|=3；−|−5|=−5；|0|=0；−|2|=−2。 3．（1）−3＞−4；（2）−1.5＜−1；（3）−1/2＜−1/3（两个负数，绝对值大的反而小）。 4．|a|=3，则a=±3；|a|=|−2|=2，则a=±2。 5．6；−6。 探究有理数的加减法 【探究活动1】（1）−8；（2）11；（3）−4；（4）5；（5）0；（6）−7。 归纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。 【探究活动2】5−2=3，5+(−2)=3；(−3)−1=−4，(−3)+(−1)=−4；4−(−1)=5，4+1=5。每组结果相同。结论：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 【探究活动3】(−2)+(+3)−(−5)−(+4)=−2+3+5−4=2。 有理数加减法的用法 1．（1）−13；（2）−3；（3）0；（4）−3；（5）−6；（6）14；（7）−8；（8）−7。 2．（1）(−3)+5−(−7)=−3+5+7=9； （2）(−1.5)−(−2.5)+3=−1.5+2.5+3=4； （3）1/2+(−2/3)−(−1/3)=1/2−1/3=1/6。 3．4−(−2)=6（℃），中午比清晨高6℃。 4．(−2)+3+(−5)+(−3)+2=[(−2)+2]+[3+(−3)]+(−5)=−5。 基础应用检测·检测一：能力达标检测 1．B　2．A　3．A（−1+2=1） 4．0（−2−3+5=0） 5．A（|−4|=4最大） 6．A（1+3=4） 7．C（−8+3=−5） 8．x=±4 检测二：运用提升检测 1．(−2)×(−1)+3=2+3=5 2．(−3)×4+(−2)²=−12+4=−8 3．(−1)×(−4)+2²÷(7−5)=4+4÷2=4+2=6 4．(−1+2)×3+2²÷(−4)=1×3+4÷(−4)=3−1=2 5．3−(−5)=8（℃） 6．−2+5−8+3−1=(5+3)+(−2−8−1)=8−11=−3 多项能力综合检测·检测一：综合能力检测 1．2×(−2)=−4 2．3×(−1)+2²+|−4|=−3+4+4=5 3．|a−2|+|b+3|=0，则a−2=0且b+3=0，a=2，b=−3，a+b=−1。 4．a＞0，b＜0：|a|=a，|b|=−b，|−a|=a，原式=a−(−b)+a=2a+b。 5．（1）5−3+8−6+2−4=2，收工时在车站东边2km处； （2）总路程=5+3+8+6+2+4=28km，耗油=28×0.2=5.6（升）。 检测二：拓展能力检测 1．2³×(−1/2+1)÷(1−3)=8×(1/2)÷(−2)=4÷(−2)=−2 2．−(−1)+3²÷(1−4)×2=1+9÷(−3)×2=1+(−3)×2=1−6=−5 3．a=±2，b=±5，a＞b：a=2、b=−5时a+b=−3；a=−2、b=−5时a+b=−7。所以a+b=−3或−7。 4．D（a※b=aᵇ−ab，(−1)※2024=(−1)²⁰²⁴−(−1)×2024=1+2024=2025） 5．A（a※b=ab+b²，(−4)※2=(−4)×2+2²=−8+4=−4） 6．(−3)※2=−3−2+|−3|=−5+3=−2 7．B（输入1→×3得3→−(−2)得5→÷(−1)³得−5→判断−5≤−4成立→输出−5） 8．A（12→3→10→5→16→1→4→1→4→…，从第5次起按“1、4”循环，第2025次为奇数次序，结果是1） 9．（原卷23、24、25题） 23题粽子：（1）标准质量=119+1=120克； （2）a=122−120=+2，b=118.5−120=−1.5，c=120.4−120=+0.4； （3）第8个质量=120+(−0.8)=119.2克，总质量=120×8+(−1+2+1−1.5−0.5+0.4−0.8−0.8)=958.8克，合格标准为955～965克，958.8在范围内，总质量合格。 24题高铁巡护：（1）−90−38+20−70+120+100−125=−83，此时在出发点（护路联防站）西边83km处； （2）总路程=90+38+20+70+120+100+125+83=646km，耗油=646×0.08=51.68（升）。 25题动点：（1）AB=1−(−4)=5； （2）t=1时，M=−4+3=−1，N=1+1=2； （3）M=−4+3t，N=1+t。 巩固提升 1．逐日水位（米）：周一150.4、周二151.7、周三151.4、周四151.6、周五151.1、周六150.9、周日151.0。 （1）周二水位最高，最高水位151.7米； （2）周日151.0＞150，比上周日上升了1.0米； （3）水位超过150.5米需泄洪：周二、周三、周四、周五、周六、周日共6天。 2．（1）周三收盘：20+0.4+0.5−0.1=20.8（元）； （2）最高价20.9元（周二），最低价20.4元（周一）； （3）周五收盘价=20.7元。买入手续费20×1000×1.5‰=30元；卖出收入20700元，手续费20700×1.5‰=31.05元，交易税20700×1‰=20.7元；收益=20700−20000−30−31.05−20.7=618.25（元）。 3．（1）25−18+10−15+20−12+8=18，仓库存货增多18吨； （2）一周前存货=200−18=182吨； （3）运进63吨需13趟，运出45吨需9趟，共22趟，运费=22×80=1760（元）。 4．（1）AB=4−(−2)=6； （2）t=2时，P=−2+2×2=2，Q=4+1×2=6； （3）P=−2+2t，Q=4+t。 5．（1）AB=6−(−8)=14； （2）t=1时，甲=−8+3=−5，乙=6−2=4； （3）相遇时间=14÷(3+2)=2.8（秒），相遇点=−8+3×2.8=0.4。 6．（1）AB=2−(−6)=8； （2）P=−6+2t，Q=2−t； （3）|−6+2t|=|2−t|，解得t=8/3或t=4； （4）|(−6+2t)−(2−t)|=2，即|3t−8|=2，解得t=2或t=10/3。 7．（1）(−4)+(−5)+…+(−12)：9项，和=[(−4)+(−12)]×9÷2=−72； （2）2+4+6+…+100：50项，和=(2+100)×50÷2=2550； （3）5+10+15+…+2030：406项，和=(5+2030)×406÷2=413105。 8．（1）1+3+5+…+19：10项，和=(1+19)×10÷2=100； （2）(−1)+(−3)+…+(−19)=−100； （3）3+7+11+…+83：21项，和=(3+83)×21÷2=903。 9．（1）第15排座位=20+(15−1)×2=48（个）； （2）前15排共=(20+48)×15÷2=510（个）； （3）末排=18+29=47，全场共=(18+47)×30÷2=975（个）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $