第7章 第5节 椭圆-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 第5节 椭圆 课程标准 核心素养 考情聚焦 椭圆的定义、标准方程、几何性质以及 1.了解椭圆的实际背景，1.椭圆的定义及标准方程的掌握，达 椭圆与其他知识的综合应用是高考命题的 了解椭圆在刻画现实 成数学抽象和直观想象的素养. 热点，常与直线、向量、三角等知识交汇考 世界和解决实际问题2.椭圆的几何性质的应用，增强直观 查，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 中的作用。 想象、逻辑推理和数学运算的 2.掌握椭圆的定义、几何 素养 三种题型都有可能出现，选择题、填空题 般为中低档题型，解答题为高档题.做题时 图形、标准方程及简单3.直线与椭圆的位置关系，提升逻辑 几何性质 推理和数学运算的素养 要充分利用函数与方程思想、转化与化归思 想、数形结合等数学思想的运用 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 重要结论 椭圆的常用性质 1.椭圆的定义 在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数 1)设随圆三×之】 =1(a>b>0)上任意一点P(x, (大于|F1F2)的点的轨迹叫做 .这两 定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做 y),则当x=0时，IOP|有最小值b,P点在短轴 椭圆的 端点处；当x=士a时，IOP|有最大值a,P点在 集合P={MIMF1I+|MF2I=2a,IF1F2I= 长轴端点处 2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数： (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成 (1)若 ,则集合P为椭圆； 直角三角形，其中a为斜边，a2=b2十c2. (2)若 ,则集合P为线段； (3)已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a. (3)若 ,则集合P为空集， 2.椭圆的标准方程和几何性质 [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 图形 里打“/”，错误的打“X” 41 B3 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于 常数的点的轨迹是椭圆. ( (2)动点P到两定点A(0,一2)，B(0,2)的距离 标准方程 1(ab0) =1(a>b>0) b2 63 之和为4，则点P的轨迹是椭圆 () (3)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成 x x 范围 y y △PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长 半轴长，c为椭圆的半焦距). ( 对称轴： 对称性 (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( 对称中心： (5)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 性 顶点 A ,A2 A ,A2 ( 质 B, ,B2 ,B2 (6)方程m.x2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示 长轴A1A2的长为 新 的曲线是椭圆. 短轴B1B2的长为 [小题查验] 焦距 |FF2|=2c 1.方程2+兰=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实 名 离心率 e=-c a 数m的取值范围为 a.b.c a2= A.(1,+o∞) B.（-o∞，1] 的关系 C.(0,1) D.(-1,0) ·148· 上篇：第七章平面解析几何 2.过椭圆4.x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭 4椭圆之2 圆交于A,B两点，则A与B和椭圆的另一个焦 2十之=1《ab0)的离心苹为3， ?,短轴 点F2构成的△ABF2的周长为 ( 长为4，则椭圆的方程为 A.2 B.4 C.8 D.2√2 5已知直线1与椭圆号+号-1在第一象限交 1设，K为椭圆C:号十子=1的两个焦点，点 于A,B两点，l与x轴、y轴分别交于M,N两 P在C上，若PF1·PF2=0,则|PF1I·IPF2I 点，且IMA|=|NB|,IMN=2√3，则I的方 () 程为 A.1 B.2 C.4 D.5 加跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 椭圆的定义及标准方程（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 1.求椭圆的标准方程有以下五种方法： 1.已知椭圆C的焦点为F1(一1,0)，F2(1,0),过 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2,b的 F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|= 值，结合焦点位置可写出椭圆方程. ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭 2|F2B引，|AB引=|BF1I,则C的方程为() 圆的标准方程，结合已知条件求出a,b;若焦 A号+- 点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴 上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2十 By2=1(A>0,B>0,A≠B). c+苦-1 ③直接法：若已知中有明显的等量关系，常列 出关系，化简可得椭圆方程. 2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐 ④参数法：若已知x,y都与某个参数有关， 列出x,y与其关系消去参数可得椭圆方程. 标原点，5,5为它的两个焦点，高心率为号过 ⑤相关点法（代入法）：若动点与某个参动点 有关，常用动点坐标表示参动点坐标，然后代 F1的直线1交椭圆C于A,B两点，且△ABF2 入参动点满足关系即可得方程。 2.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用 的周长为16，那么椭圆C的方程为 定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦 点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心 率等 3.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切，且与圆C2:(x一 3.利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2,再 3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为 结合IPFI2+|PF2I2=(|PF1|+IPF2I)2 2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的 周长和面积. 4已知，R&为椭圈C后+苦-1的两个熊 提醒：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可 设成Ax2+By2=1的形式，其中A,B是不 点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 相等的正常数，或设成十 =1(m2≠n2) |PQI=|F1F2I,则四边形PF1QF2的面积为 的形式. ·149· 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二 椭圆的几何性质（子母变式） [典例]设，F分别是椭圆C三+ =1(a> [子题1]本例条件变为“若∠PF1F2=a, a b2 b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段 ∠PF2F1=B,且cosa= 5 5 sin(a+B=是”，则 PF1的中点M在y轴上，且∠PF1F2=30°，则 椭圆的离心率为 椭圆的离心率为 [子题2]本例条件变为“(OP+OF2)·PF2=0” A.3 3 B V3 6 则S△F,PF,的面积为 c D司 [子题3]本例条件变为“P到两焦点的距离之比 为2：1”，则离心率范围为 核心素养 直观想象、数学运算一椭圆离心率问题中的核心素养 /规律总结引 以椭圆的简单几何性质的相关知识为基础，借 1.求椭圆离心率或其范围的方法 助椭圆及其他平面几何图形的几何性质和数量关 系，建立有关离心率的方程或不等式，通过解方程 a2a2 或不等式求出离心率的取值或范围，增强直观想 直接求。 象、数学运算的核心素养.具体见下表： (2)列出含有a,b,c的方程（或不等式），借助于 直观想象、 信息提取 信息解读 b2=a2一c2消去b,然后转化成关于e的方 数学运算 程（或不等式）求解. 设F1,F2分别是 2.椭圆几何性质的应用技巧 OM为△PF1F2 直观想 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进 的中位线，所以 b2 =1 象：数形 行分析，即使画不出图形，思考时也要联想 ∠PF2F1= 结合，用 (a>b>0)的左、右 ∠MOF1=90°，IPF2|将 到一个图形. 焦点，点P在椭圆 C上，若线段PF1 且∠PF1F2= a和c表 (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不 的中点M在y轴 30°， 所以用 示出来. 等式.例如，一a≤x≤a,一b≤y≤b,0<e 数学运 上，且∠PF1F2 |PF2|将a和c <1,在求椭圆相关量的范围时，要注意应 表示出来 算：代入 =30 用这些不等关系 公式e= [跟踪训练] C求出 使用公式e= 631 (2026·上海卷)已知A,B,C是椭圆2+ a 离心率 求椭圆的离心率 求出椭圆的离 的取值 的四个顶点与两个焦点中的三个点，且|AB|= 心率 5,|BC=√14，|AC引=3，则该椭圆的离心率为 [尝试解答] ·150· 上篇：第七章平面解析几何 考点三直线与椭圆的位置关系（师生共研） [典例]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为 [跟踪训练] x轴、y轴，且过A(0,-2),B (-1)两点 已知椭圆C+ 京=1(a>b>0)的离心率为 (1)求E的方程： 写焦点分别为E,E2过点万 (2)设过点P(1,一2)的直线交E于M,N两点， 过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T, 椭圆相交于点A,B,且△F2AB的周长为8. 点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆C的左，右顶点分别为A1,A2,上顶点为 [尝试解答] D,若过A2且斜率为k的直线1与椭圆C在第 一象限相交于点Q,与直线A1D相交于点P,与 y轴相交于点M,且满足|PA2|·IMQ|= 5QA2|·MP|,求直线1的方程. 1方法指导1 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常 规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消 元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程， 解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点 差法”解决，往往会更简单。 (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y), B(x2,y2),则|AB= √(1+k2)[(x1十x2)2-4x1x2] +0)0m+g2-2] (k为直线斜 率，且k≠0) 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长 是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判 ⊙温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关四十四 别式 151所以r≤√1十1=2，即rax=√2， 故半径最大的圆的方程为(x一1)2十y=2. 答案：(x-1)+y=2 考点三 [母题][解析]C[由圆C1与圆C,相外切， 可得√/(a十b)2十(-2十2)2=2+1=3， 即(a+b)2=9, 报接装本不字式可如（告）=是， 当且仅当a=b时等号成立，故选C.] [子题1]解析：由C1与C。内切得√(a+b)+(-2+2) =1. 即(a+b)2=1,又ab≤ 告)=子当且仅当a=6时 等号成立，故ab的最大值为车 1 答案： [子题2]解析：由题意得，把圆C1,圆C2的方程都化为一 般方程.圆C1:x2+y2-2ax+4y+a=0,① 圆C2:x2+y2+26x+4y+6+3=0,② 由②-①得(2a+2b)x+3+b-a2=0, 即(2a+2b)x+3十b一a=0为所求公共弦所在直线方程. 答案：(2a+2b)x+3+b-a2=0 [子题3]解析：由两圆存在四条切线，故两圆外离， /(a+b)2+(-2+2)2>3. ∴.(a+b)>9.即a+b>3或a+b<-3. 又圆心(a,b)到直线x十y一1=0的距离 d=la+b-1山>1， √② .直线x+y-1=0与圆(x-a)+(y-b)2=1相离. 答案：相离 跟踪训练 1.BC[将圆A的方程标准化：(x-3)+(y-4)=25 k,A选项：圆心A的坐标为(3,4).A错误；B选项：当 ⊙A与x轴相切时，半径RA=|ya|=4→R4=16→25一 k=16→k=9.B正确；C选项：当k=一11时，R4=36→ R4=6.圆O的半径R。=1,圆心距d=|OA|=√32+4 =5.因为|Ra-Ro|=|6-1|=5=d,故两圆内切.C正 确；D选项：两圆相交时，公共弦所在直线方程为两圆方 程直接相减：(x+y°-1)一（x2十y一6x-8y十k)=0, 即6x十8y-k-1=0,D错误.] 2.BD[对于A,圆心O的坐标为(0,0)，半径为2， 圆心0到直线1：y=工十4的距离为4=22>2，所 √/1+1 以直线1：y=x十4与圆O是相离的， 所以⊙O上一点到直线1：y=x十4距离的最小值为2√瓦 一2，所以A错误： 对于B,圆C,的标准方程为(x十1)2+(y十2)2=32，所 以C(-1,一2)，半径为3， 所以|OC1|=√1+2=√5，因为3-2<√5<2+3，所以 两圆相交， 两圆方程相减得(x十y一2x十4y一4)一(x2十y一4) =0,化简得x十2y=0. 所以两圆的相交孩的直线方程为x十2y=0,圆心O到直 线x+2y=0的距离为01 =0, W/1+4 所以⊙O和圆C1:x十y十2x十4y一4=0的相交弦长 是4，B正确； 对于C,圆C2的标准方程为(x十3)+(y十4)=3，所 以C(一3，一4)，半径为3， ·3 参考答案 所以1OC2|=√3+4=5=2+3， 所以两圆外切， 所以⊙0和圆C2:x2十y+6.x十8y十16=0有三条公切 线，C错误； 对于D,联立十=4，得2十3红-4=0. y=3.x 解得x=一4（舍去）或x=1. 所以A1.B1,-),所以Same=号×1X2E= √3，D正确.门 第5节 夯实·必备知识必备知识 1.椭圆焦点焦距(1)a>c(2)a=c(3)a<c 2.一aa一bb一bb一aa坐标轴原点 (-a,0)(a,0)(0,一b)(0,b)(0,-a)(0,a) (-b,0)(b,0)2a2b(0,1)6+c 思考辨析(1)×(2)×(3)/(4)×(5)/(6)/ 小题查验 1c2.BB4后+￥16+-2反=0 跃升·关键能力考点一 1.B[由已知AF1l+|AF,|=2a, BF+BF,=2a. AF,I=21F,BI,IABI=IBF,I, i.lBF:I-za.lAF:I-IAF.I-a, BFI=24. 3 又IF1F2|=2. Q+4-4 2·2a 2×2·2a 解得a2=3,∴.b=2. “指圆C的方程为写+兰=1，截选B] 2.解析：由椭圆的定义及△ABF,的周长知4a=16,则a=4, 又后-号所以(-号。=2，所以6=a-=16-8 a 2 =8自么点在x轴上时，精国C的方程为后十苦-1：当 焦点在y轴上时，描圆C的方程为6十营=1.综上可 知，横国C的方程为+若-1浅若+若=1 答案后+-1皮+-1 3.解析：设动圆的半径为r,圆心为P(x,y), 则有|PC=r+1,IPCg|=9一r. 所以|PC1I+IPC,|=10>1C1C21, 即P在以C1(一3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭 国上，得成P的载篷方程为写十苦=1。 答案+1 4.解析：可设P(4cos0,2sin), 依题知|OP|=c→|OP|2=c2→16cos0+4sinθ =16-4=12, →4cos0+sin9=3→4(1-sin0)+sin8=3→sin0 3 所以Sm,=2Sm,5=2X2XEF,X1bn=8 答案：8 3 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二 [典例][解析]A[如图，设PF 2 的中，点为M,连接PF,.因为O为 F1F2的中点，所以OM为△PFF M 的中位线.所以OM∥PF2,所以 10 ∠PF,F1=∠MOF1=90°. 因为∠PFF2=30°， 所以|PF|=2|PF:. 由勾股定理得|F,F=√PF,-PE, =√31PF,I, 由椭圆定义得2a=|PF,|+|PF。|=3PF,→a= 3PF:1,2-IFF.I-PF.PF.L 2 2 则e=二=5.3。-5故选A 2 3PF31 [子题1解析：：osa=5sina=25 5 5 sin(a十B)= 2→cos(a+B)=-万： 4 sin B=sin[(a+B)-a]=115 25 设|PF|=r1,PF2|=r2 由正弦定理得 r2_2c 1152W5 25 5 5 215 7 25 答案9 [子题2]解析：(OP+OF2)·PF2=(OP+F,O)·PF =FP·PF2=0, .PF1⊥PF2,∠F1PF2=90 设|PF,|=m,|PF。|=n,则m十n=2a. m2+n2=4c2,.(m十n)2-2mn=4c2. .4a2-2mn=4c2,∴.4b=2mn. 六mn=2b.SAR,P明，=2mn=b. 答案：b [子题3]解析：设P到两个焦，点的距离分别为2k,k,根据椭圆 定义可知：3k=2a,又结合椭圆的性质可知，椭圆上的，点到两 个焦，点距离之差的最大值为2c,即k2,∴.2a≤6c, 即e≥号又0<e<13≤<1 答案合) 跟踪训练 解析：由题意，AB1>BC y >CA,故△ABC不是等腰 M 三角形，故上下顶点不能同 时取到，左右顶点不能同时 取到，两焦点也不能同时 取到， N 故只能取一个上下顶点，一 个左右顶点，一个左右焦点， 且a>c,a”=b十c,分类讨论： (1)a=3,a十c=5,a2十b=14→a=3,c=2,b=5满足 题意； (2)a=3,a+c=√14，a2+b=25→b=4>a显然不 成立： ·3 (3)a=√J14,a十c=5,a2十b2=3→b<0显然不成立； 综上，a=3,c=2→e=3 答案：号 考点三 [典例] 解：1设E的方报为号+若-1a>0.6>0a子 =1, ),将A0-2),B(受，-1）两点代入得 b 9 (4a262 =1 解得4=3,5=4，故E的方程为+上=1. 3 4 (2)由A0,-2.B(受，- 2 可得直线AB:)y=3x一2， ①若过P(1,一2)的直线的斜率不存在，直线为x=1.代 入号+=1可(12 3 4 N.-2)将y=2g代入ABy=号x-2,可得T 3 3 6+3,26) ,由MT=TH, 3 得H2+5,2⑤) 易求得此时直线HN:y= 3 2-26 3 x一2.所以直线过点(0，一2). ②若过点P(1,一2)的直线的斜率存在， 设kx-y-(k+2)=0,M(x1y1),N(x2y). ,kx-y-(k十2)=0 联立) 3 +义=1 4 得(3k°十4)x一6k(2+k)x十3k(k十4)=0. 工+x=6k(2+6) 故有 3k°+4 3k(4+k) := 3k2+4 -8(2+k) y1+y2= 3k2+4 得 y1y2= 4(4+4k-2k)' 3k+4 且x1y2+x2y1 -24k 3k+4,(*) (y=y 联立 x-2可得T 2 g+3H3+6- x1y),可求得此时HN:y一业=3y十6-x1-x (x x2),将(0，-2)代入整理得2(x1十x2)一6(y1十y2)十 x1y2+x2y1-3y1y2-12=0, 将(*)式代入，得24k+12k+96十48k一24k-48-48k +24k2-36k-48=0,显然成立. 综上，可得直线HN过定点(0，一2)， 跟踪训练 解：(1)由题设得4a=8,所以a=2, 又高心率为汽每得6=56=1 所以精国C的标准方程为+)=1。 (2)因为A,(2,0),所以设直线1的方程为y=k(x一2)， 1 且k<一立 4 1y=k(x-2) +y=1·整理可得：(4：+1)x-16z+ 联立)2 16k2-4=0, 则x0十2=，16k 4k2+1 故0=86-2 4k2+1 别g=。一2》=片片以Q(管异给) 4k2+1 又直线A1D的方程y= x+1,联立1 1 1y=k(x-2) y=2x+11 整理可得P(赞告当兰) 4k 8k-2 所以 IPA:MQI yr,zo =2k-1 TQA:MPI ya P 4k+1=1-2k 一4k 4k+2 2k-1 4k2+1 =5,则k=一2，且满足<一2： 则直线1的方程为y=一2(x一2). 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.双曲线焦点焦距(1)a<c(2)a=c射线 (3)a>c2.坐标轴原点（一a,0)(a,0)(0,一a) (0,a）(1,+co)2a2ba2+b2 思考辨析(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√/(6)/ 小题查验 1.D2A3D4g5(度-) 跃升·关键能力考点一 1.A[如图，设MN的中点 为P.:F,为MA的中 点，F,为MB的中点， ..ANI=21PFI,IBNI =2PF2, 又|AN|-IBN1=12, ∴.|PF1|-IPF,|=6=2a, ∴.a=3.故选A.] 2.A[如图，内切圆圆心M 到各边的距离分别为MA, MB,MC,切点分别为A,B,C, 由三角形的内切圆的性质则 有CFI=AFI, IAF:I=IBF I,IPCI=IPBI, .IPFI一IPF,|=|CF,I -IBF21=AFI-IAF:I=2a,AF+AF:I=2c, .AF=a+cOA=AF-OF=a. M的横坐标和A的横坐标相同，故选A.] 3.解析：由已知a=1,b=2√2，c=3,F(3,0), F'(-3,0),A(0,6√6)，|AF=15,△APF的周长 1=PA+PFI+AFI.IPFI-IPFI=2, 所以|PF1=|PF1+2,所以周长1=|PA+|PF|+17 ≥|AF|+17, 当且仅当A、P,F三点共线时周长最小，此时△APF的 面积S=12√6」 答案：12√6 4.解析：设动圆M的半径为R,则|MC=2+R,|MA=R, .|MC一|MA|=2,由双曲线的定义知，M点的轨迹是 以A,C为焦点的双曲线的左支，且a=1,c=3,b=8, 剧动圆圆心M的轨迹方程为x。=1(2≤1) 答案：x-=1(x≤-1D. 8 ·3 参考答案 考点二 1.A[由e==2,得c=2a,b=3a,将点(2,3)代入 双曲线方程，得名一3=1 =1,故a=1,b=√3，故双 曲线方程为-苦=1.] 2.B[因为△OAB为直角三角形，由双曲线的对称性知 OA⊥OB,且|OA=|OB|,所以C的渐近线方程为y= 士，即a=b,又△0AB的面积为4，所以号×2cXc=4, 解得c=2,又a2+b=c2=4,所以a=b=√2，故C的方 程为--1门 3.C[如图：由题可知，点P必落在第四 象限，∠F,PF2=90°，设|PF2|=m, ∠PF2F1=O,∠PFF2=0,由kF, tan0,=2,则得sin01= 2 因为∠F,PF2=90°，所以kF1·kF, 一1，求得m,=一之即an8,= .1 S血A=由正弦定理可得：Pp·PP:EF =sin6,:sin0,:sin90°=2：1：√5， 则由|PF2|=m得|PF1|=2m,|FF:|=2c=√5m, 由Sam,=号PE1PE,=合m·2m=8 得m=2√2， 则|PF2|=2W2,|PF,I=4√2，|F1F2|=2c=2√10， c=/10, 由双曲线的定义可得：PF1|-|PF2|=2a=2√2， a=√2，b=√c2-a2=√8， 所以双南战的方程为号-苦-1.] 4.解析：根据渐近线方程为x士2y=0,可设双曲线方程为 x2-4y2=A(1≠0). 因为双曲线过点(4，W3),所以4一4×(3)2=入，即1=4. 故双曲线的标准方程为子-y=1. 答案：号-y1 考点三 1.解析：由5x-62=1,得。=弓6=合，所以=公+ =品所以=吕=面境： 6 6 答案 2解折：由号一苦1得渐运战方位为y=士。 a 士22，又a>0,则 a=2,c2=a2+5=9,c=3,得离心率e=C- 3 Γa2 答案：号 跟踪训练 C[如图所示，双曲线C的左焦 点F1(一c,0),渐近线11的方程为 bx一ay=0,由点到直线的距离公 式可得|DF,I= bc √B2+(-a)月 bc二b: c 45