第5章 第3节 等比数列及其前n项和-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

上篇：第五章数 列 第3节 等比数列及其前n项和 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念1.等比数列的基本运算，达成 等比数列的定义、通项公 式及前n项和公式，等比数列的 和通项公式的意义 逻辑推理和数学运算素养， 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理2.等比数列的判定与证明，发 性质，以及求a1、q、a、n、S,的 解等比数列的通项公式与前n项和公式展数学抽象和数学运算 基本运算是高考的热点.高考 考查形式多样，选择题、填空题 的关系. 素养. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比3.等比数列的性质及应用，提 主要考查等比数列的基本运算 关系，并解决相应的问题。 升逻辑推理和数学运算 和性质，难度不大.在解答题中 素养 常与等差数列、数列求和等问 4.体会等比数列与指数函数的关系 题综合考查，难度中等 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时，数列{an} 1.等比数列的概念 是 数列； (1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前 当q=1时，数列{an}是 一项的比等于 常数，那么这个数列叫 (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 做等比数列，这个常数叫做等比数列的 aka+m,a+2m,…仍是等比数列，公比为 公比通常用字母q(q≠0)表示. (k,m∈N*). 数学语言表达式：a” an-1 (n≥2，q为非零 (4)当q≠一1，或q=一1且n为奇数时，Sn,S2m-S, S3一S2,仍成等比数列，其公比为 常数)，或2n+=q(n∈N*,g为非零常数)。 a 重要结论 等比数列的主要性质 (2)如果三个数a,G,b成等比数列，那么G叫做 设数列{am}是首项为a1,公比是q的等比数列，Sn a与b的 ,其中G 是其前n项和. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 1.若数列{am},{bn}是两个项数相同的等比数列， (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是g,则其通 项公式为am= ； 则数列{ba,,{pan·gb,}和a}(其中b,p,g 9bn了 通项公式的推广：an=amq”-" 是非零常数)也是等比数列. (2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sm= 2.Sm+n=Sn十q"Sm=Sm十qmSn na1;当q≠1时，Sn= _al-anq 1-q T2u3u,…成 3.若a1·a2·aw=Tm则TT,T 推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列台S,= 等比数列。 Ag”-A(A为常数且A≠0) 3.等比数列的性质 4.若数列{a,的项数为2n,则=q:若项数为 S有 已知{am}是等比数列，Sm是数列{am〉的前n 项和. 2n十1，则S。-41=g S偶 (1)若m十n=p十q,则amam= ,其中m, 5.等比数列{an}的单调性 n,p,q∈N*,特别地，若2s=p+q,则aag a,其中p,s,q∈N*. 当∫a1>0 或∫a10， 时，{a,}为递增数列，当 (2)等比数列{an}的单调性 q>1 10<g<1 当g>1,a1>0或0<g<1,a1<0时，数列{am} 1>0, 或/a0, 时，{am}为递减数列： 是 数列； 0≤q≤1921 ·95· 艺考生文化课百日冲关·数学 [自主诊断] [小题查验] [思考辨析] 1.设{an}是等比数列，且a1十a2十a3=1,a2+a3+ 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 a4=2,则a6十a7十a8= ) 里打“/”，错误的打“X”. A.12 B.24 C.30 D.32 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项 2.已知等比数列{am}的前3项和为168，a2一a5 42,则a6= ( 的比都是常数，则这个数列是等比数列.() A.14 B.12 C.6 D.3 (2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是 3.已知正项等比数列{am}中，a1=1,且一a5a4a6 b2-ac. () 成等差数列，则a2= () (3)满足am+1=gam（n∈N*,q为常数)的数列 A.2 B.3 C.4 D.6 {an}为等比数列. ( ) 4.记Sm为等比数列{an}的前n项和，若S4=一5， (4)如果{an}为等比数列，b,=a2-1十a2m,则数 S6=21S2,则S8 ( 列{b,}也是等比数列. () A.120 B.85 C.-85 D.-120 (5)如果数列{am}为等比数列，则数列lnam}是 5.(2026·上海卷)已知数列{am}为等比数列，且a1 等差数列 =2,a2=6,则a4 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 等比数列的基本运算（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 1.已知等比数列{a}满足a1=3,a1十a3十a5=21, 解决等比数列有关问题的常用思想方法 则a3十a5十a7- ( ) (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1,n,q, A.21 B.42 C.63 D.84 an,Sm,一般可以“知三求二”，通过列方程 2.(多选题)(2025·全国二卷)记Sm为等比数列 (组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解. {am}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3= (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式 7,a3=1,则 ( 涉及对公比q的分类讨论，当q=1时，{am》 Ag=号 Ba5=号 的前n项和Sn=na1;当q≠1时，{an}的前 C.S5=8 D.am十Sm=8 n项和S,n= a1(1-q"）_a1-ang 1-q 1-9 3.已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列 提醒：运用等比数列的前n项和公式时，必须 的前n项和为Sm,则S6= 对q=1与q≠1分类讨论. 考点二 等比数列的判定与证明（师生共研） [典例]已知数列{am}满足a1=1,na+1=2(n十1)an. 核心素养 设，为 逻辑推理—等比数列判定与证明中的核心素养 根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否 (1)求b1,b2,b3: 是等比数列作出判断与证明，是从一般到特殊的推 (2)判断数列{b}是否为等比数列，并说明理由； 理，使学生学会有逻辑地思考问题，形成合乎逻辑 的思维品质，是高中生必须具备的最基础又应用最 (3)求{a,}的通项公式. 广的一种核心素养 ·96 上篇：第五章数列 信息提取 信息解读 数学运算、逻辑推理 (2)中项公式法：若数列{am}中，an≠0且a+1 已知数列{am} 先求出a2, =am·aw+2(n∈N*),则数列{an}是等比 满足a1=1, a3,再利用着眼点1：数学运算： 数列. nau+1=2(n+1) (1)先求出a2,a3; (3)通项公式法：若数列通项公式可写成am-c a的递推关系 bn= a求 n (2)再求出b1,b2b3 ·q”-1(c,g均是不为0的常数，n∈N*),则 式，求b1,b2,b b1,b2,b3 {am}是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列{am}的前n项和 判断数列{b}由b1,b2,b3 着眼点2：逻辑推理： Sm=k·q”一k(k为常数且k≠0，g≠0,1)， 是否为等比数判断数列的定义法证明数列 则{am}是等比数列. 列，并说明理由 类型并证明{bn}为等比数列 提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用 方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择 着眼点3：数学运算： 题、填空题中的判定. 先求出数列(1)先求出数列{bn} 求{am}的通项 (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需 {bn}的通项的通项公式； 公式 判定存在连续三项不成等比数列即可. 公式 (2)再求出{am}的通 [跟踪训练] 项公式 已知数列{am}的前n项和S=1十入an,其中入 ≠0. [尝试解答 (1)证明{am}是等比数列，并求其通项公式； (2若s器求 1方法指导引 等比数列的判定方法 (1)定义法：若am出=q(g为非零常数，n∈N*) a 或a1=q(g为非零常数且n≥2，n∈N), an-1 则{an}是等比数列. 考点三 等比数列的性质及应用（师生共研） [典例](1)已知各项不为0的等差数列{a,}满足 (3)正项等比数列{a,}的公比恰好等于函数 2a2一a+2a12=0,数列{b,}是等比数列，且b7=a7, f(x)=x2-4x+4的零点，且a5·ag=4,则 则b3b11= ( log2a12 A.16 B.8 C.4 D.2 [尝试解答](1) (2) (2)在正项等比数列{am}中，已知a1a2a3=4, (3) a4a5a6=12,am-1amam+1=324,则n= ·97· 艺考生文化课百日冲关·数学 /题后反思1 [跟踪训练] 等比数列性质应用中的常见题型与求解策略 1.在各项均为正数的等比数列{am}中，(a1十a3) 题型 求解策略 （a5十a7)=4a,则下列结论中正确的是() 在解决等比数列的有关问题时， A.数列{an}是递增数列 利用性质“若m十n=p十q,则am B.数列{an}是递减数列 求基本 ·am=ap·ag”可以减少运算量， 量的值 提高解题速度.要注意性质成立 C.数列{an}是常数列 的前提条件，有时需要进行适当 D.数列{am有可能是递增数列也有可能是递减 变形.此外，解题时注意设而不求 数列 思想的运用 2.已知数列{a,}的前n项和为Sn,且am=2n-6,则 确定 利用数列相邻两项的大小关系或 满足S,m>a1·a2…am的最大正整数n的值为 单调性 求出公比，从而判断单调性 ( 求最大（小）根据题目条件，认真分析，确定首项与 值或比 A.10 B.11 公比，发现具体的变化特征，利用等比 C.12 D.13 较大小 数列的单调性或基本不等式求解 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关三十 第4节 数列求和 课程标准 核心素养 考情聚焦 本节主要考查：(1)等差数列 1.公式法求和，达成数学抽象和数学运算素养. 和等比数列的求和.(2)使用裂项 1.熟练掌握等差、等比 2.分组转化法求和，发展逻辑推理和数学运算法、错位相减法求和.(3)根据周期 数列的前n项和 素养 性、奇偶数项的不同的分组求和. 公式. 3.裂项相消法求和，提升逻辑推理和数学运算一般以数列的基本问题为先导，在 2.掌握非等差数列、非 素养。 解决数列基本问题后考查数列求 等比数列求和的几 4.错位相减法求和，增强逻辑推理和数学运算和，在求和后有时与不等式、函数、 种常见方法 素养 最值等问题综合.以解答题为主， 难度中等或稍难 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] (2)分组转化法 求数列的前n项和的方法 把数列适当拆分，分为几个等差、等比数列，先 (1)公式法 分别求和，然后再合并，形如： ①等差数列的前n项和公式 ①{an士bm},其中{an}是等差数列，{bn}是等比 S,= 数列； ②等比数列的前n项和公式 f(n),n=2k-1, (1)当q=1时，Sm= ②an (g(n),n=2k(k∈N*). (i)当q≠1时，Sm= ·98.考点二 [母题][解](1)证明：当n≥2时，由an十2SnSw-1=0, 得S。-S-1=-2SS。-1,所以是 1=2, S- 又52，故是首项为2，公差为2的等差 ts. 数列. 2)由1可得安-=2S.=云 1 当n≥2时， an=S。-S-1= 1 1 _n-1-n 2n2(n-1)2n(n-1) 1 2n(n-1) 1 当n=1时，a1= 不适合上式 2,n=1, 故a 1 2n(n-1)n≥2. [子题1]解：(1)证明：当n≥2时，an=Sn一S,-1 且S(Sn-a)+2a=0. ∴S[S.-(Sn-S-1]+2(S.-S。-1)=0, 即SnSm-1+2(S-Sn-1)=0. 1 1 1 1 S- 故载列{行}是以首项为分公差为宁的等差凝列。 (2)由(1)知=2S。=2,当n≥2时， S. n a.=S.-S-1=- 2 n(n-1) 当n=1时，a1=2不造合上式， /2,n=1, 故an= 2 (n(n-15n≥2. [子题2]解：一、选择条件①③ 已知{an}为等差数列，a=3a1,设公差为d, 则a2=3a1=a1+d,即d=2a1, 因为S.=a,+nm21Dd=na1, 2 则√S=√a·n(a1>0), 所以数列{√S,}为等差数列 二、选择条件①② 已知{an}为等差数列，数列{√Sn}为等差数列，设{an}的 公差为d,则a,=a十(n-1Dd,S,=a,+n,d 2 名：d+(a一号)加若数列(VS为等差数列，则画= 号所以a=a十d=80 三、选择条件②③ 已知数列{√S,}为等差数列，a,=3a1,设公差为d, 则√S:-√S,=d,即√4a1-√a1=d, 则a1=d,√/Sn=√S1+(n-1)d=nd, 则Sn=nd, a.=S.-S.-1=2d'n-d, 所以数列{an}为等差数列. 考点三 [典例](1)B[因为数列{an}为等差数列，所以a:十2a 十a2o=2a1e+2a4=24,所以a12十ag=12,所以S0= 20(a+an2-10(a1十a6)=10(ae十a,)=120.] 2 ·3 参考答案 ,S+S=354， (2)[解析]由题意，可知 32 (s. -27 S%=192, 1S+=162. 又项数为12的等差数列中S%一S寺=6d=192-162, ∴.d=5. [答案]5 (3》解：①由于2S+m=2a,十1，变形为2S.=2ma,十m n n2,记为i式，又当n≥2时，2Sn-1=2(n-1)·am-1十n 1-(n-1)2,记为i式， i-iⅱ可得(2n-2)an-(2n-2)am-1=2n-2, n≥2，n∈N, 即an-an-1=1,n≥2，n∈N", 所以{an}是等差数列. ②由题意可知a=a,即(a1十6)=(a1十3)(a1十8)，解得 a1=-12,所以a=-12+(n-1)×1=n-13,其中a1<a2 <<a1e<0,a1g=0, 则Sn的最小值为S12=S13=一78. 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)2同一个公比q(2)等比中项 ±/ab 2.1)ag1(2)1-92 1一q 3.(1)aa。(2)递增 递减常数列(3)gm(4)g 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.D2.D3.A4.C5.54 跃升·关键能力考点一 l.B[设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1十ag+ a=21,得3(1十g2+g)=21,解得g2=-3(舍去)或g =2,于是ag+a;+a,=g(a1+ag+a)=2×21=42.] ,a1+a19+a1g2= 2.AD[由题可知{a1g=1 ,解得9=， (g>0 (a1=4 所以a,=4x(分)=（合），则a,=(合) x-() 1-2 +-()+-] =(分)+8-8x(2）=8] 3.解析：S6=3+6+12+24+48+96=189. 答案：189 考点二 [典例][解](1)由条件可得a,1=2n+Da. 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2){b,}是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得=20，即6+1=26，又b=1, n+l n 所以{b}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得0=2”1，所以4.=1·2-1. 5 艺考生文化课百日冲关·数学 跟踪训练 解：(1)证明：由题意得a1=S,=1十Aa1, 1 故入≠1，a=1-a≠0. 由S,=1+入an,Sa+1=1十入au+1,得a+1=Aam+1-Aan' 即am+1(入-1)=Aan, 由a0以0，得a0所以会合 因此a,是首项为公北为亡的等此数列， (2)1)得s.=1-(产）广 ）=32 解得入=一1. 考点三 [典例](1)A[由等差数列性质得a2十a12=2a,所以 4a,-a=0,又a,≠0，所以a,=4,b,=4,由等比数列性 质得b3b,=b=16.] (2)[解析]设数列{an}的公比为q, 由a1a2ag=4=aig与aaas=12=aiq2, 可得q°=3，an-1anam+1=aq-3=324, 因此g”-$=81=3=g,所以n=14. [答案]14 (3)[解析]因为函数f(x)=x一4x十4的零点为2，所以 等比数列{an}的公比q=2.因为a=a·a=4,所以a,=2, 所以a=a,·q=2°，所以log2a12=log:2=6. [答案]6 跟踪训练 1.CL各项均为正数的等比数列{am}中，因为(a1十ag)(a 十a,)=4a成立，即a1a十a1a,十aa十a3a,=4a成立.利 用等比数列的定义和性质化简可得a十a十a十a= 4a,进一步化简得a+a=2a.设公比为q,则得aig +aiq=2aig,化简可得1+g=2g,即(g-1)=0,所 以g=1,故q=1(由于各项均为正数的等比数列，故q= 一1舍去).故此等比数列是常数列.门 2.C[由于a=2-,故{a}为等比数列a=32公比g =2, 故s=a2”一12=(2”-1)1·ag…aw= 2-1 2-+(-4++w-0=2 因为S,>a·aa,所以2（2-10>2. 即2”-1八224+ 当n=1时，不等式不成立，故有n≥2，此时n∈N,2”, 2”的差恒大于1， 只需2”>22出，即得0>-1n+10n-13m十10 2 <0,解得13-29<<13+129 2 2 因为n∈N+,所以n的最大值为12.] 第4节 夯实·必备知识必备知识 (1)na,十a) a1(1-g）a1-ag 2 nd nas 1-g 1-q 思考辨析(1)√(2)√(3)×(4)/(5)√ 小题查验 1B2D3A4m+1-安 5.4 ·3 跃升·关键能力考点一 l.A[因为a2,a4,ag成等比数列，所以a=a2·ag,所以 (a1+6)2=(a1十2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn= naj+un Dd=n(n+1).] 2.解析：公共项为1,7,13，…，数列{a,}是以1为首项6为 公差的等差数列，其前n项和为1十6-5m=3m-2m. 2 答案：3n2一2m 3.解：(1)设{an}的公比为q(g>0且q≠1)，由题设得 2g°=4g+16,即g-2g-8=0. 解得q=一2（舍去）或g=4. 因此{a}的通项公式为an=2X4”-1=22m (2)由(1)得bn=(2n-1)log2=2n-1,因此数列{bn}的 前n项和为1十3十…十2n一1=n. 考点二 [典例][解](1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， S。=k. 因为a,=1,到+”2Da=2a+202gD小 2 整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0, 因为对任意n∈N”上式均成立， 听以{二200s年4==士 、1(2k-1)(2-d)=0, 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. b=2, 因为62+1=b.,b+b,=2,又 所以数列{b,}是首项为b1=2,公比为2的等比数列. 所以b=2”. (2)由(1)知an=2n-1,b.=2" 因为cn=an十bn,数列{cn}的前n项和为T。, 所以T.=(a1+a2+…+an)+(b1+b+…+bn) =[1+3+…+(2n-1)]+(2+2+…+2”) =n[1+(2n-1)]+2(1-2") 2 1-2 =n2+2"+1-2 所以数列{cn}的前n项和T。=2”+1十n2一2. 跟踪训练 解：(1)由题意知b-b2=8,b3-b1=4,a1十b1=4, 因为a2m-1=b2a-1十12m,a2w=mb2m, a1=b1+12m, a2=mb2, 所以{a3=b3+12m, a=mb, a1+b1=2a1-12m, 设等差数列{an}的公差为d, /a3-a1=b3-b1=4=2d, 则a:-a2=m(b,-b:）=8m=2d, (a1+b1=2a1-12m=4, fd=2, 1 解得m=2’,所以0，=5+(m-1)×2=2m+3, 6=-1, a1=5. 所以m的值为2，a,}的通项公式为a,=2m十3. (2)由(1)知，a=2n+3,b-1=a-1-6,bm=2a2 所以S=(b1+b3+b+…十bm-1）+(b2+b,十 b6十…十b2m） =(a1十ag十a5十…十a2w1一6n)十2(a2十a:十a6十…十am） =na+a--6mn+2×nata 2 6