第5章 第2节 等差数列及其前n项和-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 1.C2.D3.A4.递增5.-1 跃升·关键能力考点一 1.A[检验知①②③都是所给数列的通项公式.] 2.解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式 an=2(n+1),n∈N”. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个 通项公式an=（-1)”× n(n+1),n∈N*. (3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所以此 数列的一个通项公式a,=”为奇数·或 0,n为偶数. a=(-12+2meN. (4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1， 1000-1,10000-1,所以它的一个通项公式a=10”一 1,n∈N. 考点二 [典例][解析](1)根据S,=2a,十1， 可得S+1=2at+1+1, 两式相减得a+1=2am+1一2am,即am+1=2am, 当n=1时，S1=a1=2a1十1，解得a1=一1， 所以数列{a}是以一1为首项，以2为公比的等比数列， 所以8=12=-63 (2)因为当n=1时，a1=S1=6; 当n≥2时，an=Sn-S-1=(3”+2n十1)-[3”-1+2(n -1)+1]=2·3"-1+2. 由于a1不适合此式， 所以a,=6,n=1, {2·3"-1+2,n≥2. [答案](1)-63(2)6，n=1, {2·3"-1+2,n≥2. 跟踪训练 1.解析：a1=S1=2-3=-1, 当n≥2时，an=S。-S。-1=(2m2-3m)-[2(n-1) 3(n-1)门=4-5，由于a1也适合此等式，a,=4n一5. 答案：an=4n-5 2.解析：a1=S1=3+b, 当n≥2时，an=Sn-S。-1=(3”+b)-(3”-1十b) =2·3m-1 当b=一1时，41适合此等式.当b≠一1时，a1不适合此等式. ∴.当b=-1时，an=2·3”-1； 当6-1时a,-{82 答案：3+b,n=1, 12·3m-1,n≥2 考点三 1解，0由慈意，得a14,十D日市 a.=(an-a-1）+(a-1-an-2)+…+(a2-a1)+a ()+(2)+…+（合） = -)+2=82 (2)由题意知a+1-a,=2”, a.=(aw-a-1)+(a-1-an-2)+…+(a2-a1)十a =21+2°+…+2+1==2=2-1. 1-2 2.解：由题设知，a1=1. 当n≥2时，a,=S。-S。-1="2。,-n+12 3a- 3aw-1. 是告 ·3 …号景会-台- 将以上”一1个式子的等号两瑞分别相乘，得到 un+D.=1 =D 2 2 3.解：a+1=3an十2，∴am+1+1=3(an十1)， +1+1 a。+1-3, .数列{an十1}为等比数列，公比g=3, 又a1+1=2,∴a+1=2·3-1,a,=2·31-1. 4,解：a242a=1a,≠0 'aw+1a2 又a1=1,则1=1， a “{}是以1为首项，为公差的等差数列。 (aw 1 an a 2 n+7n∈N'). ∴.a= 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.1)2同-个常数公差(2)十b 2 2.(1)a1+(n-1)d (m-m)d(2)ma,+nd3.(2)递增递减常数 2 列(3)md4.大小 思考辨析(1)×(2)√(3)/(4)×(5)×(6)√ 小题查验 1.C2.B3.C4.125.24 跃升·关键能力考点一 1.C[设公差为d,则a:+a=a1+3d+a1+4d=24,S。 =6a+d=48,联立得2十7d2Ag: 16a1+15d=48②， ①×3-②得(21-15)d=24,6d=24,所以d=4.] 2.C[因为sin2a=2 sin acos a,代入原式： 3(2sin acos a)cos a=8sin acos 2a6sin acos'a =8sin acos 2a, 因为a为第二象限角，所以sina>0,等式两边同除以 2sina得：3cosa=4cos2a, 因为cos2a=2c0sa-1,所以3cosa= 4(2coxa-1)5coa 在第二象限中，cosa<0,所以cosa=一2对应地，sina =√1-cosa= 1+5 5 2 √5+1 2,量 5 W5+1 3.C[设等差数列{a,}的公差为d, 则，-a,+4d=5 +S-4,+11a,+55d=46解得{8-13 1d=-2' 所以a3·a1o=(a1+2d)(a1+9d)=9×(-5)=-45, 令am=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=-45, 得n=30,即ag·a1o是{an}中的第30项.] 4 考点二 [母题][解](1)证明：当n≥2时，由an十2SnSw-1=0, 得S。-S-1=-2SS。-1,所以是 1=2, S- 又52，故是首项为2，公差为2的等差 ts. 数列. 2)由1可得安-=2S.=云 1 当n≥2时， an=S。-S-1= 1 1 _n-1-n 2n2(n-1)2n(n-1) 1 2n(n-1) 1 当n=1时，a1= 不适合上式 2,n=1, 故a 1 2n(n-1)n≥2. [子题1]解：(1)证明：当n≥2时，an=Sn一S,-1 且S(Sn-a)+2a=0. ∴S[S.-(Sn-S-1]+2(S.-S。-1)=0, 即SnSm-1+2(S-Sn-1)=0. 1 1 1 1 S- 故载列{行}是以首项为分公差为宁的等差凝列。 (2)由(1)知=2S。=2,当n≥2时， S. n a.=S.-S-1=- 2 n(n-1) 当n=1时，a1=2不造合上式， /2,n=1, 故an= 2 (n(n-15n≥2. [子题2]解：一、选择条件①③ 已知{an}为等差数列，a=3a1,设公差为d, 则a2=3a1=a1+d,即d=2a1, 因为S.=a,+nm21Dd=na1, 2 则√S=√a·n(a1>0), 所以数列{√S,}为等差数列 二、选择条件①② 已知{an}为等差数列，数列{√Sn}为等差数列，设{an}的 公差为d,则a,=a十(n-1Dd,S,=a,+n,d 2 名：d+(a一号)加若数列(VS为等差数列，则画= 号所以a=a十d=80 三、选择条件②③ 已知数列{√S,}为等差数列，a,=3a1,设公差为d, 则√S:-√S,=d,即√4a1-√a1=d, 则a1=d,√/Sn=√S1+(n-1)d=nd, 则Sn=nd, a.=S.-S.-1=2d'n-d, 所以数列{an}为等差数列. 考点三 [典例](1)B[因为数列{an}为等差数列，所以a:十2a 十a2o=2a1e+2a4=24,所以a12十ag=12,所以S0= 20(a+an2-10(a1十a6)=10(ae十a,)=120.] 2 ·3 参考答案 ,S+S=354， (2)[解析]由题意，可知 32 (s. -27 S%=192, 1S+=162. 又项数为12的等差数列中S%一S寺=6d=192-162, ∴.d=5. [答案]5 (3》解：①由于2S+m=2a,十1，变形为2S.=2ma,十m n n2,记为i式，又当n≥2时，2Sn-1=2(n-1)·am-1十n 1-(n-1)2,记为i式， i-iⅱ可得(2n-2)an-(2n-2)am-1=2n-2, n≥2，n∈N, 即an-an-1=1,n≥2，n∈N", 所以{an}是等差数列. ②由题意可知a=a,即(a1十6)=(a1十3)(a1十8)，解得 a1=-12,所以a=-12+(n-1)×1=n-13,其中a1<a2 <<a1e<0,a1g=0, 则Sn的最小值为S12=S13=一78. 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)2同一个公比q(2)等比中项 ±/ab 2.1)ag1(2)1-92 1一q 3.(1)aa。(2)递增 递减常数列(3)gm(4)g 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.D2.D3.A4.C5.54 跃升·关键能力考点一 l.B[设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1十ag+ a=21,得3(1十g2+g)=21,解得g2=-3(舍去)或g =2,于是ag+a;+a,=g(a1+ag+a)=2×21=42.] ,a1+a19+a1g2= 2.AD[由题可知{a1g=1 ,解得9=， (g>0 (a1=4 所以a,=4x(分)=（合），则a,=(合) x-() 1-2 +-()+-] =(分)+8-8x(2）=8] 3.解析：S6=3+6+12+24+48+96=189. 答案：189 考点二 [典例][解](1)由条件可得a,1=2n+Da. 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2){b,}是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得=20，即6+1=26，又b=1, n+l n 所以{b}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得0=2”1，所以4.=1·2-1. 5上篇：第五章数列 [命题角度3]形如a+1=Aa,十B(A≠0且A≠1)， [命题角度4] Aan 求an 形如ax+1一Ban十A,B,C为常 3.已知数列{a,}满足a1=1,am+1=3a,十2，求数列 数)，求a {am}的通项公式. 4.已知数列{a}中，a=1,a+1 an十2求数列{a,的 通项公式 /规律总结/ 由数列的递推公式求通项公式 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系 为am+1=an十f(n)或am+1=f(n)·am,则可 以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外， 通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公 式，（如角度1）.注意：有的问题也可利用构造 法，即通过对递推式的等价变形，（如角度3、4） 转化为特殊数列求通项。 C温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关二十八 第2节 等差数列及其前n项和 课程标准 核心素养 考情聚焦 等差数列的定义、通项公 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 1.等差数列的基本运算，达 式及前n项和公式、等差数列 概念和通项公式的意义， 成逻辑推理和数学运算 的性质是高考的热点，以求a1、 2.探索并掌握等差数列的前n项和公 素养 式，理解等差数列的通项公式与前n 2.等差数列的判定与证明， d、am、Sm为主要考查内容.高 项和公式的关系」 发展数学抽象和数学运算 考题型多样，以选择题、填空题 3.能在具体的问题情境中，发现数列的 素养. 的形式考查等差数列的基本运 等差关系，并解决相应的问题 3.等差数列的性质，提升逻 算和性质，难度不大.在解答题 4.体会等差数列与一元一次函数的关系 辑推理和数学运算素养 中常与等比数列、数列求和等 问题综合考查，难度中等 夯实必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 数学语言表达式：a+1一an=d(n∈N*,d为常 1.等差数列的概念 数)，或am一aw-1=d(n≥2，d为常数). (1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前 一 项的差等于 ,那么这个数列就叫做 (2)若a,A,b成等差数列，则A叫做a,b的等差中项，且 等差数列，这个常数叫做等差数列的 ,公 A= .数列{a,}是等差数列台2an=a,-1十 差通常用字母d表示. am+1(n≥2，n∈N*). ·91. 艺考生文化课百日冲关·数学 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 3.在等差数列{an}中， (1)若等差数列{am}的首项是a1,公差是d,则其通 项公式为am=_ (1)若项数为偶数2n,则S2m=n(a1十a2)=n(a 推广：①am=am十 (m,n∈N*). 十an+1):S%-S海=nd:S属am S奇=a ②等差数列的通项公式与函数的关系a,= dn十(a1一d)是关于n的一次函数 (2)若项数为奇数2n-1,则S2-1=(2n一1)am; ③数列{am}是等差数列台a,=pn十q(p,g 为常数) S奇n S奇一S间=amS偶1-T (2)等差数列的前n项和公式 S=n(ai+an) 4.若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分 (其中n∈ 2 N*,a1为首项，d为公差，am为第n项) 别是9，和T则-会 推广：①等差数列的前n项和公式与函数的关 5.若数列{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数 系S,=号+(a一号》是关于n的二次函 列，则数列{pam},{an+p},{pan十qbn}都是等 数，且常数项为0. 差数列(p,q都是常数)，且公差分别为pd1,d1, ②数列{am}是等差数列台Sn=An2十Bn(A,B pd+qd2. 为常数). 3.等差数列的有关性质 6.若am=n,an=m(m≠0)，则am+,=0. 已知数列{an}是等差数列，S,是{a,}的前n [自主诊断] 项和 [思考辨析] (1)当m十n=p+q时，am+am=ap+ag（m,n,p,9 ∈N*).特别地，若m十n=2p,则am十am=2ap 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (m,n,p∈N*). 里打“√”，错误的打“×” (2)等差数列{am}的单调性：当d>0时，{am}是 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项 数列；当d<0时，{am}是 数 的差都是常数，则这个数列是等差数列.( 列；当d=0时，{am}是 (3)若{am}是等差数列，公差为d,则相隔等距离的项 (2)数列{a,}为等差数列的充要条件是对任意n 组成的数列是等差数列，即a%,ak+ma+2m,·,仍 ∈N*,都有2an+1=ai十an+2· ) 是等差数列，公差为 (k,m∈N*. (3)等差数列{am}的单调性是由公差d决定的. (4)数列Sm,S2m一Sm,S3m一S2m,·,也是等差 数列. 4.等差数列的前n项和的最值 (4)数列{a,}为等差数列的充要条件是其前n项 在等差数列{am}中，a1>0,d<0,则Sm存在最 和公式为n的二次函数， 值；若a1<0,d>0,则Sm存在最值. (5)数列{an}满足a+1一a,=n,则数列{an}是等 重要结论 差数列. ( 已知{an}为等差数列，d为公差，S,为该数列的前 n项和. (6)已知数列{an}的通项公式是am=pn十q(其 1.有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相 中p,q为常数)，则数列{an}一定是等差数列. 等，即a1十an=a2十am-1=a3十an-2=…=a十 a-k+1=… [小题查验] 2一{倍}也成等差数列，其首项与0，首项相同，公 1.已知等差数列{am}前9项的和为27，a1o=8,则 a100= 差是{a,}的公差的2 A.100 B.99 C.98 D.97 92. 上篇：第五章数列 2.(2024·全国甲卷（理）)记S,为等差数列{am}的 A.25 B.22 C.20 D.15 前n项和，已知S=S1o,a5=1,则a1=( 4.(2025·上海卷)已知等差数列{am}的首项a1= c-号 p.-i 一3，公差d=2,则该数列的前6项和为 3.记S,m为等差数列{a}的前n项和.若a2十a6= 5.(2026·全国Ⅱ卷)记S,m为等差数列{am}的前n 10,a4a8=45,则S5 ( 项和.若a1=一1，a4=5,则S6= 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 等差数列的基本运算（自主练透） 核心素养 3.已知等差数列{am}的前n项和为Sm,且a5=5, 数学建模一等差数列实际应用中的核心素养 a1十S11=46,则a3·a10是{am}中的 () 以等差数列的知识为基础，把现实生活中的实 A.第28项 B.第29项 际问题通过“建模”转化为数学问题，进而通过数学 C.第30项 D.第32项 运算来解释实际问题，并接受实际的检验，发展数 /题后反思/ 学建模的素养。 等差数列的基本运算的解题策略 [题组集训门 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉 1.记Sn为等差数列{am}的前n项和.若a4十a5= 及五个量a1,am,d,n,Sm,知其中三个就能 24,S6=48,则{am}的公差为 ( ) 求另外两个，体现了用方程组解决问题的 A.1 B.2 C.4 D.8 思想. 2.(2026·全国Ⅱ卷)已知a为第二象限角，3sin2 acos a (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中 =8 sin acos2a,则 1+sin a 2-cos a ( 起到变量代换的作用，而a1和d是等差数 列的两个基本量，用它们表示已知量和未 A.4 3 B. c 0.2 知量是常用方法。 考点二 等差数列的判定与证明（子母变式） [母题] 若数列{am}的前n项和为S,,且满足 [子题1]将母题条件“am十2S,mS-1=0(n≥2)， an十2SnSm-1=0(n>≥2)，a1=2 a1=2”改为“S,(S,-a,)+2a,=0(n≥2)a 1求证：合}是等差数列； 2”,问题不变，试求解. (2)求数列{a,}的通项公式. [破题关键点](1)将am十2S,S,-1=0(n≥2) 转化为S,与Sm-1的关系等式；(2)先求出S,,再 利用am与Sm的关系求am ·93· 艺考生文化课百日冲关·数学 [子题2]已知数列{a}的各项均为正数，记Sm 规律总结/ 为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作 等差数列的四种判断方法 为条件，证明另外一个成立. (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证 am一am-1为同一常数」 ①数列{am}是等差数列；②数列{√S,n}是等差数 (2)等差中项法：验证2am=a-1十a+1(n≥2，n∈ 列；③a2=3a1, N*)都成立 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解 (3)通项公式法：验证am=pn十q. 答计分 (4)前n项和公式法：验证Sm=An2+Bn.后两 种方法只能用来判断是否为等差数列，而不 能用来证明等差数列，主要适合在选择题中 简单判断. 提醒：要注意定义中的“从第2项起”.如果一 个数列不是从第2项起，而是从第3项或第 4项起，每一项与它前一项的差是同一个常 数，那么此数列不是等差数列 考点三 等差数列的性质（师生共研） [典例](1)已知S,为等差数列{am}的前n项和， /规律总结/ 利用等差数列性质的常见题型与求解策略 a4+2ag十a20=24,则S20= ( A.60B.120 C.180 D.240 (1)关键是将性质m十n=p十q→am十 (2)一个等差数列{am}的前12项的和为354，前 a,=ab十ag与前n项和公式Sm= 12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和 n(a1十an》结合在一起，采用整体思想， 2 S之比为号则公差d 简化解题过程. (2)利用等差数列奇数项和与偶数项和 的性质：项数为偶数2的等差数列 (3)记5n为数列{a,}的前”项和.已知2S+1 求基 {am}:S2m=n(a1+a2m）=…=n(an+ 本量 S奇=a1;项数 2am+1. au+1),S传-S青=nd ①证明：{am}是等差数列； 为奇数(2n十1)的等差数列{am}:S2m+ ②若a4,a7,ag成等比数列，求S,的最小值， =(2n十1)an+1,S偶 S奇=n十1（其中S奇、 n [尝试解答](1) (2) S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、 (3) 偶数项的和)， (1)若a1>0,d<0,且满足≥0， a+1≤0，崩n 项和S,最大. 求前 n项 ②诺a0.d>0,且清足{，0，诗 和的 项和S最小. 最值 (3)除上面方法外，还可将{am}的前n项 和最值问题看作S,m关于n的二次函数最 值问题（公差不为零），利用二次函数的图 象或配方法求解，注意n∈N*. 公差d>0时为递增数列，且当a1<0 确定单时，前n项和S,有最小值；d<0时为 调性 递减数列，且当a1>0时，前n项和S 有最大值. ©温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关二十九 ·94