第5章 第1节 数列的概念与简单表示法-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

0X0--------○0 第五章 数列 1+2+*…+n n(n+1) 第1节数列的概念与简单表示法 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.由数列的前几项求数列的通项公式，达成 简单数列的通项公式 1.了解数列的概念和几种简单 数学抽象素养. 的求解，数列的前n项和与 的表示方法（列表、图象、通项 2.由a,与Sm的关系求通项am,发展逻辑 通项的关系，求数列的各 公式). 项，及由Sm求am是高考的 2.了解数列是自变量为正整数 推理和数学运算素养. 3.由数列的递推关系求数列的通项公式，增热点.高考中三种题型都有 的一类特殊函数 强逻辑推理和数学运算素养 可能出现，试题难度中等 加夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 3.数列的两种常用的表示方法 1.数列的概念 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项am与 (1)数列的定义：按照 排列的一列数称为 之间的关系可以用一个式子 来表示，那 数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{am}的第1项（或前几 (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看 项)，且从第二项（或某一项）开始的任一项a 成以 为定义域的函数 与它的前一项am-1(或前几项)间的关系可以 am=f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次 用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式 取值时所对应的一列函数值. 4. 已知数列{am}的前n项和Sn,则am (3)数列有三种表示法，它们分别是 (n=1), 和 (n≥2). 2.数列的分类 重要结论 分类原则 类型 满足条件 1.一些常见数列的通项公式 (1)数列1,2,3,4，…的通项公式为am=n; 按项数 有穷数列 项数 (2)数列2,4,6,8，…的通项公式为am=2n; 分类 无穷数列 项数 (3)数列1,3,5,7，…的通项公式为am=2n-1; 按项与项 递增数列 +1 an (4)数列1,2,4,8，…的通项公式为am=2n-1; 间的大小 递减数列 an+l 其中n∈N (5)数列1,4,9,16，…的通项公式为am=n2; 关系分类 常数列 an+1=an 有界数列 存在正数M,使|a,≤M 6)数列1日子…的通项公式为a,- 按其他 从第二项起，有些项大于它的 (7)数列1，一1,1，一1，…的通项公式为a, 标准分类 摆动数列 前一项，有些项小于它的前 (-1)”-1或(-1)”+1； 项的数列 (8)数列一1,1，一1,1，…的通项公式为am=(一1)”. ·88· 上篇：第五章数列 2.典型的递推数列及处理方法 (3)所有数列的第n项都能使用公式表达. ( 递推式 方法 示例 (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式 a1=1, am+1=am十f(n) 累加法 可能不止一个. () an+1=a,+2n (5)已知am+2=f(a+1,an)时，如果要确定这个 a1=1, 数列，则必须知道初始值a1,a2. () an+1=anf(n) 累乘法 an+1=2”an (6)如果数列{am}的前n项和为Sn,则对Hn∈ N*,都有aw+1=Sn+1一Sn: () an+1=pan十q 构造等 a1=1, [小题查验] (p≠0,1，q≠0) 比数列 an+1=2am+1 1.已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数 an+1=pau十q·p"+1 构造等 a1=1,am+1 列的通项不可能是 ( （p≠0,1，q≠0) 差数列 =3a,+3n+1 A.am=(-1)"-1+1 2,n为奇数， 其中(1)am+1=pam十q(p≠0,1，q≠0)的求解方 B.an= 0,n为偶数 法是：设am+1十入=p(an十入)，即am+1=am十 p入一入，与aw+1=pam十q比较即可知只要入 Ca,=2sin受 =9 D.a=cos(n-1)x+1 p-11 2.数列{am}的通项公式为am=2一11，S,为其前n项 (2)am+1=pam十q·p”+1(p≠0,1，q≠0)的求解方 和，则S,的最小值为 () 法是两端同时除以p+1,即得2出一 =q, A.-9 B.-7 C.-3 D.-19 p+b” 3.已知数列{a,}的首项a1=1,且满足an+1十am= 数列 为等差数列 3×2”,则a10的值为 A.1025 B.1023 [自主诊断] C.-1025 D.-1023 [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 4.(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)=一 里打“√”，错误的打“×”， 设a,=f(n)(n∈N*),则{an}是 数列（填 (1)1,1,1,1,…不能构成一个数列. “递增”或“递减”). (2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列. 5.在数列{a,}中，a1=1,a+2=am+1一an(n∈N*),则 ( a100 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 由数列的前几项求数列的通项公式（自主练透） [题组集训口 ③a=1+c9sm,④a= n 2 sin 2 1.已知n∈N*,给出4个表达式： 其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式 的是 ( 0,n为奇数 ①an ②a,=1+(-10x A.①②③ B.①②④ 2 1,n为偶数 C.②③④ D.①③④ ·89· 艺考生文化课百日冲关·数学 2.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： /题后反思1 (1)4,6,8,10,… 用观察法求数列的通项公式的技巧 11 11 (2) 1X2'2X3’3X4'4X5…: (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注 意观察每一项的特点，观察出项与之间的关 (3)1,0,1,0,…; 系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化 (4)9,99,999,9999,… 为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符 号变化，可用（一1）”或（一1）+1来调整. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的 思想 提醒：不是所有的数列都有通项公式，若有，也 不一定唯一 考点二由an与Sn的关系求通项a,(师生共研) [典例] (1)记S,为数列{an}的前n项和.若S, (3)由Sn一S-1=an,推得an,当n=1时，a1不适 2am十1，则S= 合“a,式”，则数列的通项公式应分段表示(“分 (2)若数列{a,}的前n项和S,m=3”十2n十1，则{an} S(n=1) 的通项公式是a, 写”)，即an Sn-S,m-1(n≥2). [尝试解答](1) (2) 提醒：在利用数列的前n项和求通项时，往往容 方法指导引 易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式 已知S,求a,时应注意的问题 写成am=S,m一Sm-1的形式，但它只适用于n≥2 (1)应重视分类讨论思想的应用，分n=1和n≥2 的情形！ 两种情况讨论；特别注意a,=S一S,-1中 [跟踪训练] 需n≥2. 1.已知数列{a,}的前n项和S,=2一3n,则{an}的通 项公式为 (2)由S一Sm-1=am推得a,当n=1时，a1也适 2.已知数列{a}的前n项和S满足Sm=3”十b,则 合“a,式”，则需统一“合写” an= 考点三 由数列的递推关系求数列的通项公式（多维探究） [命题角度1]形如au+1=a,+f(n),求a [命题角度2]形如am+1=anf(n),求a, 1.1)在数列{a,}中，a1=2a+1=a,十n十D求数 2在数列a,中a=1,前n项和S-号。求数列 列{an}的通项公式： {a,}的通项公式. (2)若数列{a,}满足a1=1,a+1=am十2”，求数列 {an}的通项公式. ·90· 上篇：第五章数列 [命题角度3]形如a+1=Aa,十B(A≠0且A≠1)， [命题角度4] Aan 求an 形如ax+1一Ban十A,B,C为常 3.已知数列{a,}满足a1=1,am+1=3a,十2，求数列 数)，求a {am}的通项公式. 4.已知数列{a}中，a=1,a+1 an十2求数列{a,的 通项公式 /规律总结/ 由数列的递推公式求通项公式 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系 为am+1=an十f(n)或am+1=f(n)·am,则可 以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外， 通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公 式，（如角度1）.注意：有的问题也可利用构造 法，即通过对递推式的等价变形，（如角度3、4） 转化为特殊数列求通项。 C温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关二十八 第2节 等差数列及其前n项和 课程标准 核心素养 考情聚焦 等差数列的定义、通项公 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 1.等差数列的基本运算，达 式及前n项和公式、等差数列 概念和通项公式的意义， 成逻辑推理和数学运算 的性质是高考的热点，以求a1、 2.探索并掌握等差数列的前n项和公 素养 式，理解等差数列的通项公式与前n 2.等差数列的判定与证明， d、am、Sm为主要考查内容.高 项和公式的关系」 发展数学抽象和数学运算 考题型多样，以选择题、填空题 3.能在具体的问题情境中，发现数列的 素养. 的形式考查等差数列的基本运 等差关系，并解决相应的问题 3.等差数列的性质，提升逻 算和性质，难度不大.在解答题 4.体会等差数列与一元一次函数的关系 辑推理和数学运算素养 中常与等比数列、数列求和等 问题综合考查，难度中等 夯实必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 数学语言表达式：a+1一an=d(n∈N*,d为常 1.等差数列的概念 数)，或am一aw-1=d(n≥2，d为常数). (1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前 一 项的差等于 ,那么这个数列就叫做 (2)若a,A,b成等差数列，则A叫做a,b的等差中项，且 等差数列，这个常数叫做等差数列的 ,公 A= .数列{a,}是等差数列台2an=a,-1十 差通常用字母d表示. am+1(n≥2，n∈N*). ·91.3 则cos日=（a-b)·(2b-a) 、2 a-b·12b-a1×√3 一9所以0 =5π 6 向量a-b与2b-a的夫角为票 答案： 考点三 1.B「将条件|a十2b=2平方得1+4a·b+4b2=4,由(b 2016,释6-2ab=0.所以=合61-盟] 2.D[(a+b)·(a+b)=a2+(入+a)(a·b)+b2= 2(1+入)=0，所以μ=-1.] 3.解析：①当A=90°时， ABLAC,∴.AB·AC=0. 2X1+3k=0,解得k=-吕】 3 ②当B=90°时，AB⊥BC, 又BC=AC-AB=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), .AB·BC=2X(-1)+3×(k-3)=0, 解得=号 ③当C=90°时， :AC⊥BC,.1×(-1)+(k-3)=0, 即k-3k-1=0.k=3±3 2 答案：一号或号或吐 31 2 第4节 夯实·必备知识必备知识 1.aba=c且b=da=c且b=-dx轴√a2+b 2.(1)Z(a,b)3.(atc)+(b+d)i (ac-bd)+(bc+ad)i ac+bd bc-ad. c+dc+d 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)/(5)× 小题查验 1.A2.B3.A4号+i5.而 跃升·关键能力考点一 1.C[由(1+5i)i=-5+i,即知虚部为1，选C.] 2.C[因为1=2+i,=1-3i,所以十之=2+i+1-3i =(2十1)十(1一3)i=3一2i,则11十|=|3一2i= √32+(-2)=√13.] 3.B[先求出复数之，再根据复数模的公式即可求出，由 1·十2=21可得，：=二2+21=2十21，所以1：= 1 √2+2=2√2.] 4.C[依题意，2=21+(a-2)1=(a-2)-21,由：为纯虚 数，得a一2=0，所以a=2.] 考点二 1AE-景g+g8-1号=吉+昌故 51 复平面内对应的点在第一象限。」 2D[:=法8-=1+i,所以复数 对应的点为(1,1)，因为复数名对应的点与复数之2对 应的点关于实轴对称，所以复数心1对应的点为(1，一1)， 所以必1=1一i. ·3 参考答案 3.AC[设之=x+yi(x,y∈R),则|x-1+(y+1)i= |x十yi,所以√(x-1)+(y十1)=√x2+y,整理得 x一y一1=0，故A项正确，B项错误；由前面知之对应点 的轨迹为直线x一y一1=0，则x的最小值为原点到该直线 9成C项运D 的距离d,则d一1山 4.解析：由条件得OC=(3,一4)，OA=(-1,2), 0B=(1,-1), 根据OC=入OA+OB,得(3，-4)=A(-1,2)+ (1,-1)=(-入十，2入-4)， {623i解得公-2+=1 {2λ-u=-4, 答案：1 考点三 1.ACD[由之=3十2i,得=3-2i,A正确；|x|= √32+2=√13≠5，B错误；2=(3+2i)2=9+12i-4 =5+12i,C正确，+3=6+21=6+2)3-卫=2∈R, ”g-i3+i 10 D正确.] 2+i ,2+i=i2+D 2.B[由题意可得之=1十十=-1中 2i-1=1-2i,则=1+2i.] -1 3.AD[设复数=a十bi,(a,b∈R), 可得x2=a-b2+2abi, 因为复数之满足=1正，可得=1了 则a2-b十2abi=a+bi-1, 可得a2-b=a-1且2ab=b, 由2a6=6时，可得a=2或b=0: 当a=专时，可得6=士汽此时=方士停。 当b=0时，方程a-a十1=0，无解； 对于A中：当=子+号可得：合9可得=： 当=合可件。=合+9，可件=1，所以A 正确； 对于B中，当+号可得=-古+9且 2 合-停别，所以B不正确： 对子C中，当=合+号可得=日-得可得十 =1,所以C不正确； 对于D中，=+可得=9可得- 2 =√3i,则|x-=3; 当=可得=+可得-=-则 |x一=√3，所以D正确.] 4.解析：|3+i2=9++6i=8+6i. 答案：8十6i 第五章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)一定顺序项(2)正整数集N"(或它的有限子集) (3)列表法图象法通项公式法2.有限无限>< 3.(1)序号nan=f(n)4.S1S.-Sm-1 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)/(5)√(6)/ 小题查验 艺考生文化课百日冲关·数学 1.C2.D3.A4.递增5.-1 跃升·关键能力考点一 1.A[检验知①②③都是所给数列的通项公式.] 2.解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式 an=2(n+1),n∈N”. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个 通项公式an=（-1)”× n(n+1),n∈N*. (3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所以此 数列的一个通项公式a,=”为奇数·或 0,n为偶数. a=(-12+2meN. (4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1， 1000-1,10000-1,所以它的一个通项公式a=10”一 1,n∈N. 考点二 [典例][解析](1)根据S,=2a,十1， 可得S+1=2at+1+1, 两式相减得a+1=2am+1一2am,即am+1=2am, 当n=1时，S1=a1=2a1十1，解得a1=一1， 所以数列{a}是以一1为首项，以2为公比的等比数列， 所以8=12=-63 (2)因为当n=1时，a1=S1=6; 当n≥2时，an=Sn-S-1=(3”+2n十1)-[3”-1+2(n -1)+1]=2·3"-1+2. 由于a1不适合此式， 所以a,=6,n=1, {2·3"-1+2,n≥2. [答案](1)-63(2)6，n=1, {2·3"-1+2,n≥2. 跟踪训练 1.解析：a1=S1=2-3=-1, 当n≥2时，an=S。-S。-1=(2m2-3m)-[2(n-1) 3(n-1)门=4-5，由于a1也适合此等式，a,=4n一5. 答案：an=4n-5 2.解析：a1=S1=3+b, 当n≥2时，an=Sn-S。-1=(3”+b)-(3”-1十b) =2·3m-1 当b=一1时，41适合此等式.当b≠一1时，a1不适合此等式. ∴.当b=-1时，an=2·3”-1； 当6-1时a,-{82 答案：3+b,n=1, 12·3m-1,n≥2 考点三 1解，0由慈意，得a14,十D日市 a.=(an-a-1）+(a-1-an-2)+…+(a2-a1)+a ()+(2)+…+（合） = -)+2=82 (2)由题意知a+1-a,=2”, a.=(aw-a-1)+(a-1-an-2)+…+(a2-a1)十a =21+2°+…+2+1==2=2-1. 1-2 2.解：由题设知，a1=1. 当n≥2时，a,=S。-S。-1="2。,-n+12 3a- 3aw-1. 是告 ·3 …号景会-台- 将以上”一1个式子的等号两瑞分别相乘，得到 un+D.=1 =D 2 2 3.解：a+1=3an十2，∴am+1+1=3(an十1)， +1+1 a。+1-3, .数列{an十1}为等比数列，公比g=3, 又a1+1=2,∴a+1=2·3-1,a,=2·31-1. 4,解：a242a=1a,≠0 'aw+1a2 又a1=1,则1=1， a “{}是以1为首项，为公差的等差数列。 (aw 1 an a 2 n+7n∈N'). ∴.a= 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.1)2同-个常数公差(2)十b 2 2.(1)a1+(n-1)d (m-m)d(2)ma,+nd3.(2)递增递减常数 2 列(3)md4.大小 思考辨析(1)×(2)√(3)/(4)×(5)×(6)√ 小题查验 1.C2.B3.C4.125.24 跃升·关键能力考点一 1.C[设公差为d,则a:+a=a1+3d+a1+4d=24,S。 =6a+d=48,联立得2十7d2Ag: 16a1+15d=48②， ①×3-②得(21-15)d=24,6d=24,所以d=4.] 2.C[因为sin2a=2 sin acos a,代入原式： 3(2sin acos a)cos a=8sin acos 2a6sin acos'a =8sin acos 2a, 因为a为第二象限角，所以sina>0,等式两边同除以 2sina得：3cosa=4cos2a, 因为cos2a=2c0sa-1,所以3cosa= 4(2coxa-1)5coa 在第二象限中，cosa<0,所以cosa=一2对应地，sina =√1-cosa= 1+5 5 2 √5+1 2,量 5 W5+1 3.C[设等差数列{a,}的公差为d, 则，-a,+4d=5 +S-4,+11a,+55d=46解得{8-13 1d=-2' 所以a3·a1o=(a1+2d)(a1+9d)=9×(-5)=-45, 令am=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=-45, 得n=30,即ag·a1o是{an}中的第30项.] 4