第3章 第3节 三角函数的图象与性质-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

3 5x(-合)+2 (2)sin'a+2sin acos a= sin'a+2sin acos a sin'a+cos a 168 tan'a+2tan a9 3 1+tan'a 1+9 25 [子题3] 解：由0a+3cosg=5,得a"a3=5,即m 3cos a-sin a 3-tan a =2. 考点二 解析：1)m否-- os受=子am要=1，所以 1 ={合合}测AnB={合}造C (2)f(a)=(-2sin a)(-cosa)+cosa 1+sin'a+sin a-cos'a 2sin acos a+cos acos a(1+2sin a) 2sin'a+sin a sin a(1+2sin a) d云1+2sn6≠0.(-2） tan a 1 =√3. am(g）a(-4+晋)】 tan 6 (3):方程5x-7x-6=0的根为-号支2 又a是第三象限角sina=一方 3 '.cos a=- √1-sina=- 5, 3 tan a=sin a_ 5_3 cos a 4 4 5 ∴原式=osa8ame=一1ama=一是6 sina·cosa 答案：1C(25(3)-号 考点三 [典例] [解析])r(答+a)十（答-@=x, ∴an(语+e）=im[-(后-e] =-tam(传-e）-9 (2)因为0是第▣象限角，且sm(+资）=子， 所以9叶子是第一象限角，所以c0(0+）=合 所以sin(日-晋)=m[受+(+】 -sm[受-(+)月-co(+）--青 co(0-)o[-受+(+)川 =o[告-(+)月=sim(+)-号. [答案]1)-9(2)-告 参考答案 跟踪训练 1.解析：“（行-）十（各+@）= acos(后+a）-os[受-（管-e川 =sm(管-e）合 答案：司 2.A[原式化简得3cos'a-4cosa-4=0,解得cosa=- 或2（舍），又a∈(0，π)，所以sina= 第3节 夯实·必备知识 必备知识 2.{zz∈R,且x≠x+ 受，keZ [-1,1][-1,1] 2ππ 奇函数 2kx- [2kx-x,2kπ] [2x+，2x 3π [2kπ，2kx十π](kπ，0) (x+受，0） x=kx 思考辨析(1)√ (2)/ (3)×(4)×(5)× 小题查验 1.C2.A3.BC4.AD5.[0,1] 跃升·关键能力考点一 1.解析：(1)法一（利用三角函数图象）：要 ↑y 使函数有意义，必须使sinx一cosx≥ 0.在同一坐标系中画出[0,2x]上 y=sinx和y=cosx的图象，如图所示. 在02肉满足n=s的x为受， ,再结合正弦、余 弦函数的周期是2r,所以函数y=√snx一cosz的定义域 为{红2kx+<r≤2a+要6∈☑乃 法二（利用三角函数线）：画出满足条件 sinx≥cosx的角x的终边范围（如图阴 影部分所示)，∴.函数y=√Sinx-cosz 的定义城为{2x+于 <≤2x+平∈ 法三（利用签体思想）：sm工一osx=Esn(-季)≥0. 将工一平视为一个誉体，由正弦画数y=snx的图象和 性质可知2r≤1-至≤x+2x,k∈乙，解得2张x+至≤ 4 x≤2kr+5西，k∈Z.所以函教y=√inr-c0s元的定义 城为{红2x+至<<2x+要k∈Z} {60得2s+6. (2)由/sin2.x>0, 1-3≤x≤3. -3<-受，或0K<受 ∴.函数y=lg(sin2zx)+√9-x的定义域 为{-3≤<-吾，成0<<受} 答案：1{红2x+年<x≤2+平，k∈Z (2{-3≤<-受，或0<<受} 315 艺考生文化课百日冲关·数学 2.I)A[fx)=sin3(ox+号）=sin(3wx+x) =-sin3w.z,由T= 2x=,得w=3 3 即fx)=-sin2,当x【是]时， 画出f(.x)=一sin2x图象，如图， 由图可知，f(x）=一sin2x在 【一音，吾]上单调递减， 12 所以，当x= f(x）mn=-sin 3 2· (2)解析：f(z)=sin(2x+2） 3 -3cos --cos 2-3cos 2 =-2(@s叶是)广+号周为长[-1,1，所以当s =1时，f(x)取得最小值， .f(z)min=-4. 答案：一4 考点二 [典例]1)[解析])=-sin(2x-)的减区间是 y=sin(2x-登)的增区间. 由26x-<2-≤2x+，k∈ 得kπ一 ≤Cx+瓷∈Z 故所给画数的减区同为[红一登x+]∈乙 12 [答案] (2)[解析]方法一：第一步，求出f(x)=2 sin ox十1(w >0)的单调递增区间. 由2kx- ≤ar≤2x+受，k∈乙。 得f(x)的增区间是[2m-死，2m+无|，k∈乙. w 20'w 第二步，韩化为条合之间的关原，脚[一晋]是画数 f(x)单调递增区间的子区间. “)[受]上单羽适8， ]引 第三步，利用数轴，列出关于山的不等式组，解不等式组 得w的取值范围. -受≥-≤w(0,] 方法二：第一步，由x的取值范围求出z(w>0)的取值区间. 第二步，由)在区间[一受·]上单调道增得r如 >0)的取位区间是[一受，受]的子区间。 又水)在区问[一会]上单调递增， 受1=【] ·3 第三步，利用数轴，列出关于w的不等式组，解不等式组 得ω的取值范围. 管>- 3 则 又w>0,得0<w≤4 方法三：第一步，由八)在区同[一受·]上单消适增 得原点到区问[一吾，]瑞点的距高不超过 T 23 :f(x)在区间 故原点到区同菇点的距离不想过于， 第二步，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值 范围. πT 24 所以 得T≥警，即经≥经又。>0 31 得0<o≤ 4 ,故。的取植范国是(0，子] [答案] (,引 互动探究 解：法-：z∈R时y=sin(行-2x）的减区同为 [x-竞x+引k∈五.令k=0,得-音<≤晋 5π 令k=-1,得-≤≤-晋 12 故x∈[-x,0]时y=sin(答-2x）的减区间为 【]川益小 法二：周为-x《<0,所以-受≤2x-吾<-吾，结合正 3 3 弦曲线， 由-≤2x-吾<-解得--侣 由-受≤2x-≤-，解得-<0， 所以所求画数的单调递减区问为[一，一】。 【- 跟踪训练 1.C[f(x)=cosx一sinx=cos2x,选项A中：2x∈ (,-子)此时f)单润递增，选项B中：2x∈ (一受，音)此时f)先递增后递减，选项C中：2x∈ (0,)此时f)单调递减，选项D中：2红∈ (管，晋）)此时f)先递减后递增.] 2.A[f)=cos1-sinx=Eco(z+至）由2kx≤x +王≤x+2k(k∈Z)得-元+2kx≤x≤3+2kx(k∈Z, 4 4 周-aa[]-aa,-a≥-a 平∴0<a<平从而a的最大值为平] 考点三 2sinx+2 1.A[对于A,sinx+cosx=2 Esin(+)则T=2m,满足条件，故A正确： 6 对子B,sin200sx=sin2z,则T==不，不满足条 2 件，故B错误； 对于C,sinx十cos2x=1,为常值函数，则不存在最小正 周期，不满足条件，故C错误； 对于D,sinx-c0sx=一c0s2z,则T=2=,不满足 2 条件，故D错误.] 2B[狼题知a一吾-经即a=经+吾共中C7,又a >0,所以当=0时a取得最小值于，故选B.] 跟踪训练 D[函数f(x)定义域为R,且f(-x)=f(x),故f(x) 是偶函数；f(x)=cosx-(2cosx-1)=-2cosx十 0sx+1=-2(osx-）+号，故最大值为.] 3.C[:当x=天时，函数f(x)取得最小值， ∴sin(管+9）-1,9=2kx-要(k∈z. ∴fx)-sim(+2x-）=sin(-平)月 y=f(-x）=sin(-x)=-sinx “)厂（怀-是奇函戴，且图象关于直线x=受时称] 跟踪训练 A [o= 票∈(2,3)y=了(x)的函数因象关于点 (受2）中心对称，则有6=2，且f(受)=2，所以 sin(经o+）十2=2，则经w+千=，k∈7： 解得w。,由长(2,3)得=4=号 故（受）=m(受×登+）+2=-1+2=1.] 4.B[,函数f(x)=√3sin(2.x+9)+cos(2x+)= 2血(2z+0+石)）是偶函数， 0=kx+受，即0=kx+，∈1， 因此可取0=等， 此时.)=2n(2x+受）=2os2,且在[0，]上，即 2x∈[0，]时，fx)单润递减.] 5.解析：对于函数f(x)=Bsin(（2x+）的图象. 令2x十-x+，得x=经+k，令=0，可 得画数在区同(0，受)上的对称轴方程为1=是， 答案：x=音 跟踪训练 C [f(-z)=sinl-zl+lsin(-z)|=sinlzl+lsin zl, ∴f(x)是偶函数，①对； f八x)在区同（受）上单调递减，@错： f(x)在[一x,π]上有3个零点，③错： f(x)的最大值为2，④对.] ·31 参考答案 第4节 夯实·必备知识必备知识 3 1.(1)-2 2 w w 2红90受 2元2.2xox十99 2 w 思考辨析(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√ 小题查验 1.A2.A3.C4号4-5. 跃升·关键能力考点一 1LAD[由题国可知晋-危一要=平(T为fx的设 小正周期)， 所以T=元=2红，解得w=2,则f(x)=sin(2x十9)，由2 ×是十9=2kx+受（∈D,得9=2x+营（∈2.因为 <受，所以9=音，所以f) sin(2x+号)小因此A选项正确；f(x)= sm(2x+5)=cos(受-2x-吾)=os(若-2x =0(2x-否人所以B选项正确：令2x+吾=x+受 u∈》，得2=经+受（∈，（易：是清对称轴与对 称中心满足的方程) 即画数fx)=sin(2x+吾)图象的对称轴方程为x 受+音∈刀，所以C选项不正确：◆2x十吾=（∈ ,得=经-音〔∈，即台数x)=m(2x+云) 国象的对称中心为（修一吾心）∈小，当=1时，对称 中心为(0）小所以D选项正确.] 2B[由题图知1=名=2（贤-晋）受w=2 由2x经十g=x,∈7，得g=x-,∈乙 又：lg<受∴g=至.由Aam(2x0+）=1, 知A=1f()=1am(2x+牙） ∴f()-an(2×+)-tm吾-6.] 3.BCD[由图可得f0)=2cos9=1,即cos9=2, 而-<9<0，可得p=-, 又：/（晋）=0.即2a(吾。-吾）=0 可得-音音=-+26 可得a=分-6，k∈Z 又：>0-(）且>0，即名>即0<w< 可得如一 1 fx)=2os(2x-）艺考生文化课百日冲关·数学 第3节 三角函数的图象与性质 课程标准 核心素养 考情聚焦 三角函数的奇偶性、周期性、 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx1.三角函数的定义域与值域（最 的图象，了解三角函数的周期性、单 值)，达成直观想象和数学运 单调性及最值是高考的热点，题型 既有选择题、填空题，又有解答题， 调性、奇偶性、最大（小）值 算的素养 一般难度不会太大，属中低档题 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在2.三角函数的单调性，增强逻辑 型，通常与三角恒等变换相结合， [0,2π]上的性质（如单调性、最大值 推理和数学运算的素养. 在考查三角函数性质的同时，又考 和最小值图象与x轴的交点等)，正3.三角函数的周期性、奇偶性和 查了三角恒等变换的方法与技巧. 对称性，提升逻辑推理和数学 切函数在一 上的性质 考查考生函数与方程、转化与化 运算的素养 归、数形结合等数学思想的运用 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 续表 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 递减 正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中，五个关键 无 区间 点是：(0,0) (1x0.-2,0 对称 中心 余弦函数y=cOsx,x∈[0,2π]的图象中，五个关键 对称轴 无 方程 点是：0,1D,(50,x,-1D,(,0）,(2x,1D。 重要结论 若f(x)=Asin(wx十o)为偶函数，则 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈Z) 9= 2 +kπ(k∈Z);若f(x)=Asin(wx十o)为奇函 函数 y=sin x y=cos y=tan x 数，则p=kπ(k∈Z) [自主诊断] 图象 [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“/”，错误的打“×”。 定 R (1)函数y=sinx的图象介于直线y=1与y= 一1之间 ( 值域 R (2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦 周期性 2 曲线 奇偶性 偶函数 奇函数 (3)函数y=sin2.x+ 是奇函数. ( 递增 (领-受， (4)函数y=sinx的对称轴方程为x=2kx十 区间 kx+受)】 (k∈Z). ( (5)正切函数在整个定义域内是增函数.() 62· 上篇：第三章三角函数、解三角形 [小题查验] C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 1.设函数f(x)=cos D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 在[一π，π]的图象大致如图， 4.(多选题)已知函数f(x)=sin(2x十p)(0<p< 则f(x)的最小正周期为 π)的图象关于点 A.l9s C4π (0中心对称.则 3 2.下列函数中，以号为周期且在区间（任，）上单 A.f(x在区间(0，受)单调递减 调递增的是 ( ) B.f(x)在区间- π.11π 12’12 有两个极值点 A.f(x)=Icos 2x B.f(x)=sin 2xl C.f(x)=coslxl D.f(x)=sinll C.直线x= 7严是曲线y=f(x)的对称轴 3.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)= m2x和g)-(2x一)，下列说法正确的有 D.直线y= 2 一x是曲线y=f(x)的切线 ( A.f(x)与g(x)有相同的零点 5.(2025·上海卷)函数y=0sx在[-，]上 B.f(x)与g(x)有相同最大值 的值域为 ☐跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一三角函数的定义域、值域问题（自主练透） [命题角度1]三角函数的定义域问题 (2)函数f(x)=sin2x十 3cosx的最小值 1.(1)函数y=√sinx一cosx的定义域为 为 (2)函数y=lg(sin2x)+√9-x2的定义域为 /题后反思/ 1.求三角函数的定义域实际上就是解简单的三 /技巧点拨/ 角不等式，常借助于三角函数线或三角函数 求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角 图象来求解 不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象 2.求三角函数的值域（最值）的常见题型及求解 来求解 策略： [命题角度2]三角函数的值域（最值）问题 (1)形如y=asin x+bcos x十c的三角函数化 2.(1)(2024·天津卷)已知函数f(x)= 为y=Asin(wx十p)十k的形式，再求最值 (值域)； sn3(@x十）的最小正周期为x,则f()在 (2)形如y=asin2x十bsin x十c的三角函数，可先 设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域 【一登看]的最小值为 (最值)； (3)形如y=asin xcos x十b(sinx士cosx)+c B.- 3 2 的三角函数，可先设t=sinx士cosx,化为 3 0.2 关于1的二次函数求值域（最值）. C.0 ·63· 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二三角函数的单调性（师生共研） [典例] /方法指导引 (1)y=sint 一2x)的单调递减区间为 求三角函数单调区间的两种方法 (2)若f(.x)=2 sin wx十1(w>0)在区间 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后 ]上是单调递塔，则如的取值蔻围是 的整体当作一个角u(或t),利用基本三角 函数的单调性来求所要求的三角函数的单 核心素养 调区间. 逻辑推理 三角函数单调性中应用的核心素养 (2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从 具体见下表： 左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区 信息提取 信息解读 逻辑推理 间，图象下降趋势的区间为单调递减区间， 推理一：由函数y= 解该-【一受，受]是 sinx在区间 画出三角函数的图象，结合图象易求它的单 函数f(x)单调递增区 [2k一吾，2kx+受] 调区间. 已知f(x)= 间的子区间。 上单调递增，求得 2sin wr+1(w 解读二：ωx的取值范 f(x）-2 sin wr+1(w 提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系 0)在区间 围是[- ]的子 >0)的单调递增区间. 数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数 区间. 推理二：由不等式的 上单调递增 解读三：原点到区间 基本性质求出wx的 自身的定义域 取值范围 【一令]两端点的 推理三：由正弦函数 [跟踪训练] 距离不超过子 y=sinx的图形与性 质知原点到区间 1.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 [登]两端点 求参数w的取 建立关于“的不等 A.f(x)在 6 上单调递减 值范围 式组 的距离等于子 B.f(x)在 [尝试解答] (1) (2) 4·)上单调递增 [互动探究] 在本例(1)中函数不变，求函数在[一π，0]上的单 Cf)在(0，)上单调递减 调递减区间. D.fx)在（年 上单调递增 2.若f(x)=cosx一sinx在[-a,a]上单调递减， 则a的最大值是 A. c D.x 考点三三角函数的奇偶性、周期性和对称性（多维探究） [命题角度1门三角函数的周期性 2.(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y 1.（2024·上海卷)下列函数中，最小正周期是2π :2tan- 3 的图象的一个对称中心，则a的 的是 ( 最小值为 A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x A B. 3 C.y=sin2x+cos2x c D.3 D.y=sin2x-cos2x ·64 上篇：第三章三角函数、解三角形 方法点拨/ A.1 B 求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义； c号 D.3 (2)利用公式：y=Asin(z+g)和y=Acos(wx+ [命题角度3]三角函数奇偶性、对称性的应用 p的最小E两舞为哥y=ama十y)的最公 4.使函数f(x)=√3sin(2x十0)+cos(2x+0)是偶 正周期为高： 函数，且在[0，]上是减函数的0的一个值是 (3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问 题，通常要画出图象，结合图象进行判断 A B.g [跟踪训练] 已知函数f(x)=cosx一cos2x,试判断函数 c号 n.晋 f(x)的奇偶性及最大值 ( 5.函数f(x)=5sin（2x+)的图象在区间 A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 (0,)上的对称轴方程为 C.奇函数，最大值为号 /规律总结/ D.偶函数，最大值为号 函数f(x)=Asin(wx十p)的奇偶性、对称性的应用 (1)若f(x)=Asin(wx十p)为偶函数，则当x=0 [命题角度2]三角函数的对称轴或对称中心 时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)= 3.当x=于时，函数f(x)=sin(x+p)取得最小值， Asin(r十o)为奇函数，则当x=0时，f(x) =0. 则函数y= 停- (2)对于函数y=Asin(wx十9)，其对称轴一定 A.是奇函数且图象关于点(5,0)对称 经过图象的最高点或最低点，对称中心一定 是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点 B.是偶函数且图象关于点（π，0）对称 (x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可 C.是奇函数且图象关于直线x=对称 通过检验f(xo)的值进行判断！ D.是偶函数且图象关于直线x=π对称 [跟踪训练】 方法点拨/ 关于函数f(x)=sinlzl+|sinx有下述四个 若求f(x)=Asin(wx十p)的对称轴，只需令wz 结论： ①f(x)是偶函数； 十g-交+km(k∈Z),求x;若求f)=Asin(ux ②f)在区间（受上单调递增， 十p)的对称中心的横坐标，只需令十p=kπ (k∈Z),求x即可. ③f(x)在[-元，π]上有4个零点； ④f(x)的最大值为2. [跟踪训练] 其中所有正确结论的编号是 记函数fx)=sin(ar+ +b(w>0)的最小正 A.①②④ B.②④ 周期为T,若7≤T<π，且y=f(x)的图象关于 C.①④ D.①③ ©温馨提 点（经2）中心对称则() 学习至此，请完成配套训练课时冲关二十 ·65…