第3章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

上篇：第三章三角函数、解三角形 第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解同角三角函数的基本关系式： 1.同角三角函数的基本关系，发 同角三角函数基本关系式及 sina+cos a-1,sin a -tan a. cos a 展数学抽象和数学运算素养.诱导公式多与和角、差角的正弦、 2.三角函数的诱导公式，提升数余弦、正切公式及倍角公式综合命 a≠+k,k∈Z 学抽象和数学运算素养. 题，题型一般为选择题、填空题形 2.借助单位圆的对称性，能利用三角3.诱导公式、同角三角函数关系式，属于中低档题目，考查学生的 函数线推导出诱导公式（空士a, 式的活用，提升数学抽象和数运算求解能力、等价转化能力及方 学运算素养 程思想、整体思想的运用 π士a,一a的正弦、余弦、正切) 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限” (2)商数关系： 中的“符号”与α的大小无关。 ( a≠+m,k∈Z (5)若sin(k元-a)= kez),则sina=台 2.三角函数的诱导公式 ( 公式 二 三 四 五 六 [小题查验] 2kπ+a 1.sin2025°的值为 角 π十a (k∈Z) 2 一a 十a 2 正弦 A.② B.- sin a 2 c号 余弦 cos a 2.若sina= 3,且a为第二象限角，则ana的值 正切 tan a ( 函数名改变， 等于 口诀 函数名不变，符号看象限 符号看象限 A号 B.-12 C. 12 重要结论 对于π a,k∈Z诱导公式可简记 3已知sim0十cos0-专，0∈[臣，]，则sin0 为：奇变偶不变，符号看象限 cos 0= [自主诊断] [思考辨析] A号 c n.- 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 4.若3sina-sing=√0a+B=受，则sima 里打“/”，错误的打“×”. (1)sin20+cos2o=1. ,c0s23= (2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任 5. sin(2π-a)·cos(π-a) .5π 意角 (2a cos2十asim ·59· 艺考生文化课百日冲关·数学 加跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一同角三角函数的基本关系（子母变式） [母题]已知a是三角形的内角，且sina十cosa [子题2]保持母题条件不变， 求：(1)sina-4cosa。 5sin a+2cos a (l)求tana的值； (2)sin2a+2 sin acos a的值. cosa-sina用tana表示出来，并求其值. (2)把。1 [破题关键点](1)法一，利用已知条件及平方 关系先求出sin&与cosa的值，再利用商数关系 求出tan&的值.法二：利用已知条件及平方关 系先求出sina-cosa的值，再求出sina与cosa 的值，再利用商数关系求出tan&的值.(2)先进 行“1”的代换，即1=sin2a十cos2a,再化弦为切 求值. [子题3】若母题条件变为ma十3cos&=5, 3cos a-sin a 求tana的值. [子题1]将母题中的条件和结论互换：已知α是 三角形的内角，且ana=一分，求sina十eosa 的值 规律总结/ (1)利用sin2a十cos2a=1可以实现角a的正 弦、余弦的互化，利用sina=tana可以实 cos a 现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sina十 cosa,sin acos,sina一cosa这三个式子，利用 (sina士cosa)2=1士2 sin acos a,可以知 求二， (3)注意公式逆用及变形应用：1=sina十 cos2a,sin2a=1-cos2a;cos2a=1-sin2a. ·60· 上篇：第三章三角函数、解三角形 考点二三角函数的诱导公式（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 完成下列各题 (1)(2026·全国I卷)已知集合A= 诱导公式应用的原则和步骤 {sm》B-{-小则 7π ①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了. ②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角 A∩B= ( {-} { 函数转化为0~开之间角的三角函数，然后求 4 c{2 D{9- 值，其步骤为： (2)设f(a)= 2sin(π十a)cos(x-a)-cos(r十a) 0-角 +sina+o(+sim(+ 公式五 1+2sin≠0.则f(-2经） 任意 公式 任意 正角 或三 负角 0角 (3)已知sina是方程5z2一7x一6=0的根，a是第 3 3 公式二 sin a-之πos2r-a 或四或六 三象限角，则 ·tan2(π 0-2π角 考点三诱导公式、同角三角函数关系式的活用（师生共研） 核心素养 (2)常见的互补的角：晋十0与暂-0：至十0与 4 数学运算一三角函数式化简求值中的核心素养 三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条 3r-0等。 件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三 角公式，完成三角运算， [跟踪训练] [典例] (1)已知tan 1.已知sin (-)-合则os(晋+a） (2)已知0是第四象限角，且sin (0+)号 2.已知a∈(0，π)，且3cos2a-8cosa=5,则sina 则tan(（0-) [尝试解答](1) (2) A. 3 B.2 1方法指导引 巧用相关角的关系、简化解题过程 C. n号 十a与 1)常见的互余的角：晋-a与若十@：号 C温攀提 君-:十a与至-a等. 学习至此，请完成配套训练课时冲关十九 61·艺考生文化课百日冲关·数学 ·扇形的孤长与圆周长之比为L=63=5 2xr 18 答案：品 考点三 [母题][解析]第一步：利用两点间的距离公式求出点 P到坐标原点的距离r. 设P与原点的距离为r,,P(-4a,3a),a<0, ∴.r=√（-4a)+(3a)'=l5al=-5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sina的值. sin a=3a=3 -5a 51 [答案]-号 3 [子题1]解析：当a<0时，na=-号：当a>0时=5a, sin a=3 1 答案：-号或号 [子题2]解：设a终边上任一点为P(一4a,3a),当a>0时， r=Sa,sin a=3 5cos a=4 5 ,tan a=- 3 4 4 当a<0时r=-5a,ine三号，cosa=5 m=-子 [子题3]解：由题设知x=一√3，y=m, r2=|OP2=(-√5)+m(0为原点)， r=√3+m2. sina=m=2m。m 422心√3+m-22. 即3+m=8,解得m=士√5. 当m=5时，r=2√2，x=-√3，y=√5， ".cos a= 22 tan a=-15 3 当m=一5时r=22,x=-3,y=-√5， ∴osa==-6,a 22 -￥，ana=⑤ 3 考点四 1.D[300°=360°-60°，则300°是第四象限角，故 sin300°<0；-305°=-360°+55°，则-305°是第一象限 角，故o(-305)>0:西号=-8x+号，所以号 是第二象限角，故am(一号x<0,因为3x<10<子x, 22 所以10是第三象限角，故sin10<0.] 2.解析：法一：由sin29<0,得2kπ+π<202kπ+2π(k∈ Z),kx十受<<kx十x(k∈ZD. 当k为奇数时，日的终边在第四象限； 当为偶数时，日的终边在第二象限. 又因c0s日≤0，所以日的终边在左半坐标平面（包括y 轴)，所以日的终边在第二象限， 所以tan6<0,cosf<0,点P在第三象限.。 法二：由cos0=一cos,知cos0,① 又sin2f<0,即2 sin Ocos0<0,② 由①②可推出{sin>0 (cos 0<0 因此0在第二象限，P(tan日，cos0)在第三象限. 答案：三 ·3 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)sin'a+cos'a=l (2)sin a=tan a 2.-sin a cos a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a 思考辨析(1)×(2)×(3)√(4)/(5)× 小题查验 1A2D3A43 4 5 5.-1 跃升·关键能力考点一 [母题][解](1)法一：联立方程 1 sina+cosa=5,① (sin2a+cosa=1,② 1 由①得cosa=5一sina,将其代入②，整理得 25sina-5sina-12=0.:a是三角形内角， 4 sin a=5' ∴.tana=- 4 cos a=-3 3· 1 法二：，sina十cosa= ∴.(sina十cosa)2 (）广，1+2 in o4 1 25 24 ∴.2 sin acos a= 25 (sin a-cos a)2=1-2sin acos a=1+25-25 2449 ,'sin acos a=一 <0,且0<a<π： 25 .'sin a>>0,cos a<0,sin a-cos a >0. ∴.sina-c0sa= 5· 1 4 sina十cosa= 由 5， sin a= 得 7 sin a-cos a= 3 5, cos a=- 5 4 .tan a=-3. (2) 1 sin'a+cos'a cos'a-sin'a cos'a-sin'a sin'a+cos a cos"a _tan'a+ 4 cos'a-sin'a 1-tan'a .'tan a=- 3 cosa 1 tan'a+1 )+ 25 cosa-sina 1-tan'a 1-() 7 [子题l]解：由tana= 3,得sina= 3 cos a, 将其代入sina十cosa=1, 得10 9 9 cosa=1…cosa=10,易知cosa<0, cos a=-3 v10 10 sin a=v10 10 故sina十cosa=- √/10 [子题2] 解：由母题解析可知：tana=一 3 (1)sin a-4cos atan a-4 5sin a+2cos a 5tan a+2 3 5x(-合)+2 (2)sin'a+2sin acos a= sin'a+2sin acos a sin'a+cos a 168 tan'a+2tan a9 3 1+tan'a 1+9 25 [子题3] 解：由0a+3cosg=5,得a"a3=5,即m 3cos a-sin a 3-tan a =2. 考点二 解析：1)m否-- os受=子am要=1，所以 1 ={合合}测AnB={合}造C (2)f(a)=(-2sin a)(-cosa)+cosa 1+sin'a+sin a-cos'a 2sin acos a+cos acos a(1+2sin a) 2sin'a+sin a sin a(1+2sin a) d云1+2sn6≠0.(-2） tan a 1 =√3. am(g）a(-4+晋)】 tan 6 (3):方程5x-7x-6=0的根为-号支2 又a是第三象限角sina=一方 3 '.cos a=- √1-sina=- 5, 3 tan a=sin a_ 5_3 cos a 4 4 5 ∴原式=osa8ame=一1ama=一是6 sina·cosa 答案：1C(25(3)-号 考点三 [典例] [解析])r(答+a)十（答-@=x, ∴an(语+e）=im[-(后-e] =-tam(传-e）-9 (2)因为0是第▣象限角，且sm(+资）=子， 所以9叶子是第一象限角，所以c0(0+）=合 所以sin(日-晋)=m[受+(+】 -sm[受-(+)月-co(+）--青 co(0-)o[-受+(+)川 =o[告-(+)月=sim(+)-号. [答案]1)-9(2)-告 参考答案 跟踪训练 1.解析：“（行-）十（各+@）= acos(后+a）-os[受-（管-e川 =sm(管-e）合 答案：司 2.A[原式化简得3cos'a-4cosa-4=0,解得cosa=- 或2（舍），又a∈(0，π)，所以sina= 第3节 夯实·必备知识 必备知识 2.{zz∈R,且x≠x+ 受，keZ [-1,1][-1,1] 2ππ 奇函数 2kx- [2kx-x,2kπ] [2x+，2x 3π [2kπ，2kx十π](kπ，0) (x+受，0） x=kx 思考辨析(1)√ (2)/ (3)×(4)×(5)× 小题查验 1.C2.A3.BC4.AD5.[0,1] 跃升·关键能力考点一 1.解析：(1)法一（利用三角函数图象）：要 ↑y 使函数有意义，必须使sinx一cosx≥ 0.在同一坐标系中画出[0,2x]上 y=sinx和y=cosx的图象，如图所示. 在02肉满足n=s的x为受， ,再结合正弦、余 弦函数的周期是2r,所以函数y=√snx一cosz的定义域 为{红2kx+<r≤2a+要6∈☑乃 法二（利用三角函数线）：画出满足条件 sinx≥cosx的角x的终边范围（如图阴 影部分所示)，∴.函数y=√Sinx-cosz 的定义城为{2x+于 <≤2x+平∈ 法三（利用签体思想）：sm工一osx=Esn(-季)≥0. 将工一平视为一个誉体，由正弦画数y=snx的图象和 性质可知2r≤1-至≤x+2x,k∈乙，解得2张x+至≤ 4 x≤2kr+5西，k∈Z.所以函教y=√inr-c0s元的定义 城为{红2x+至<<2x+要k∈Z} {60得2s+6. (2)由/sin2.x>0, 1-3≤x≤3. -3<-受，或0K<受 ∴.函数y=lg(sin2zx)+√9-x的定义域 为{-3≤<-吾，成0<<受} 答案：1{红2x+年<x≤2+平，k∈Z (2{-3≤<-受，或0<<受} 315