第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第三章 三角函数、解三角形 第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解任意角的概念和弧1.角的集合表示及象限角的判定，达 对于角的概念与分类、弧度制及任 度制的概念，体会引入弧 成数学抽象素养。 意角的三角函数定义单独命题的概率 度制的必要性。 2.扇形的弧长及面积公式，发展数学 很小，多与其他知识相结合，如三角恒 2.能进行弧度与角度的 抽象和数学运算素养。 等变换、同角三角函数基本关系式及诱 互化. 3.三角函数的定义，提升数学抽象和 3.借助单位圆理解三角函数学运算素养 导公式等综合命题，题型一般为选择 题、填空题形式，属于中低档题目，考查 数（正弦、余弦、正切）的4.三角函数线、三角函数值的符号，提 学生的基本运算能力及等价转化能力 定义 升直观想象素养 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 3.任意角的三角函数 1.角的概念的推广 三角函数 正弦 余弦 正切 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的 设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 图形 P(x,y),那么 (按旋转方向不同分为 (2)分类 定义 叫做a 叫做a 叫 按终边位置不同分为 和 的正弦，记作 的余弦，记作 做a的正切， (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同 sin a cos a 记作tana 角α在内，可构成一个集合S={BB=a十k· 360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 的弧所对的圆心角 各象 Ⅲ 叫做1弧度的角，弧度记作rad. 限符号 (2)公式 口 角a的弧度数公式 a=(弧长用1表示) 一全正、二正弦、三正切、四余弦 诀 ①1° 角度与弧度的换算 180rad; 41,0 10 ②1rad= 三角 函数线 有向线段 有向线段 有向线段 弧长公式 弧长1= 为正 为余 为正 弦线 扇形面积公式 弦线 切线 lr= 55· 艺考生文化课百日冲关·数学 重要结论 (5)终边相同的角的同一三角函数值相等.() (6)点P(tana,cosa)在第三象限，则角a终边在 1.任意角三角函数的定义的推广 第二象限， 设P(xy)是角a终边上异于顶点的任一点，其到 ()a( -,则tana>a>sina. 原点O的距离为r,则sina=义 ;cos a= ,tan a (8)a为第一象限角，则sina+cosa>l.( 义(x≠0) [小题查验] 1.一870°角的终边在第几象限 2.若&分别为I、Ⅱ、Ⅲ、N象限角，则g所在象限 A.一 B.二 C.三 D.四 如图 2.下列与严的终边相同的角的表达式中正确的是 A.2kπ+45°(k∈Z) B·360+要(k∈刀 C.k·360°-315°(k∈Z) D.kx+平∈D [自主诊断] 3.若α为第四象限角，则 ( [思考辨析] A.cos 2a0 B.cos 2a<0 C.sin 2a0 D.sin 2a<0 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负 里打“/”，错误的打“×” 半轴重合，终边过点P(一1，一2)，则sina+ (1)小于90°的角是锐角. sin 2a- ( (2)锐角是第一象限角，反之亦然， ( A.号 c. .5 (3)三角形的内角必是第一、第二象限角.( 5.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4， (4)不相等的角终边一定不相同. 则扇形的周长为 们跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一角的集合表示及象限角的判定（师生共研） [典例门 1)若角0的终边与7角的终边相同，则 [互动探究] 在[0,2)内终边与号角的终边相同的角为 在本例(2)的条件下，角号的终边所在的位 置是 方法指导引 (2)如果α是第三象限的角，则角一a的终边所在 位置是 ,角2a的终边所在位置是 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条 件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的 [尝试解答](1) 所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋 (2) 值来求得所需角. 56 上篇：第三章三角函数、解三角形 (2)表示区间角的三个步骤 [跟踪训练 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止 1.若a=k·180°+45(k∈Z),则a在 边界 A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 ②按由小到大分别标出起始和终止边界对 应的-360°~360°范围内的角&和3，写出 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 最简区间. 2.已知角α的终边落在阴影所表示的范围内（包括 ③起始、终止边界对应角，3再加上360°的 边界)，则角α的集合为 整数倍，即得区间角集合. (3)已知角。终边所在的象限，求2a,号x-a 等角的终边所在象限问题，可由条件先写出 Q的范围，解不等式得出角2a,号x一a等的 范围，再根据范围确定象限 考点二扇形的弧长及面积公式（师生共研） [典例]已知扇形周长为40，当它的半径和圆心 2.本例题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长 角分别取何值时，扇形的面积最大？ 为AB=12”,试求弧长1. [思维导引]建立扇形的面积S与其半径r的 函数关系式求解 [尝试解答] /题后反思/ [互动探究] 应用弧度制解决问题的方法 1.本例题条件若变为“周长为6，面积是2”，试求圆 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意 心角的弧度数. 角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次 函数的最值问题，利用配方法使问题得到 解决。 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理 利用圆心角所在的三角形， [跟踪训练] 扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆 半径的号，面积等于圆面积的》，则扇形的弧长 与圆周长之比为 ·57· 艺考生文化课百日冲关·数学 考点三 三角函数的定义（子母变式） [母题]设角a终边上一点P(一4a,3a)(a<0), [子题3]已知角a的终边上一点P(一√3，m) 则sina的值为 核心素养 （m≠0，且sna=,求ose:ana的值 数学运算一三角函数定义应用中的核心素养 信息提取 信息解读 数学运算 角a的顶点在坐标 已知角a终边上一 原点，始边为x轴的 点P的坐标(-4a, 先求点P到坐标原 非负半轴，终边可以 3a)(a<0) 点的距离r,在利用 由点P的坐标确定 可以利用任意角的 sina=,求ina 求sina的值 三角函数定义，求 的值 sina的值 [尝试解答] [子题1]若母题中“a<0”,改为“a≠0”，则sina 的值为 [子题2]已知角a的终边在直线3.x十4y=0上， 求sina,cosa,tana的值. /规律总结/ 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出 点P到原点的距离r,然后用三角函数的定 义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设 出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距 离，然后用三角函数的定义来求解. 考点四三角函数线、三角函数值的符号（自主练透） [题组集训] /方法指导引 1.下列各选项中正确的是 熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函数 A.sin300°>0 B.c0s(-305)<0 值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正 C.tan 小 D.sin 10<0 弦、三正切、四余弦。 2.已知sin20<0,且|cos0|=一cos0,则点 C温馨提西 P(tan0,cos0)在第 象限 学习至此，请完成配套训练课时冲关十八 ·58·当x∈(1，+∞)时，y=x-1+lnx>0,则h'(x)>0: 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十©○)上单调递增， 因此h(x)mn=h(1)=1,故k的取值范围为(-∞，1]. 考点三 [典例][解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100× 2πrh=200πrh元，底面的总成本为160πr元，所以蓄水 池的总成本为(200πrh十160πr2)元.又根据题意得 20rA+160r2=1200x,所以M=（30-4r,从而 V()=xh=F(300r-4r).由h>0,且>0可得0< r<5√3，故函数V(r)的定义域为(0,5√3). (2)因为V(r)=吾(300r-r),所以V(r) 吾(300-12r).令V()=0,解得=5=-5（周为 r2=一5不在定义域内，舍去). 当r∈(0,5)时，V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增： 当r∈(5,5√3)时，V(r)0,故V(r)在(5,5√3)上单调递减. 由此可知，V(r)在r=5处取得最大值，此时h=8,即当r =5,h=8时，该蓄水池的体积最大. 跟踪训练 解：(1)因为x=5时，y=11, 所以号+10=11，即a=2. (2)由(1)可知，镇商品每日的销售量为y=昌写十 10(x一6).所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f=(-32+10cx-6] =2+10(x-3)(x-6),3<x<6. 从而，(x)=10[(x-6)2+2(.x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6).令f(x)=0,得x=4或x=6. 于是，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (3,4) (4,6) f(x) 十 0 f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x=4时，函数f(x)在区间(3,6)内取到极 大值，也是最大值.最大值等于42.所以，当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 第三章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)端点(2)正角负角零角象限角轴线角 2.(1)半径长 ￥MP OM AT 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6)/ (7)√(8)/ 小题查验 1.C2.C3.D4.B5.6 跃升·关键能力考点一 [典例][解析]（①）八0=6+2kx(k∈Z), 7 9=2匹+25(k∈. 37 3 依题意0<牙+2终<2x-子<<9，k∈1 k=01,2,即在[0,2x)内终边与号相同的角为经， 20π34x 21’21 ·3 参考答案 (2)由a是第三象限的角得x十26x<a<经+2kx, -经 2kr<-a<-x-2k元， 即受+2x<-a<x+2x(∈Z》, .角一α的终边在第二象限. 由x+2kr<a<经+2x 得2r十4kx<2a<3r十4kπ(k∈Z), .角2a的终边在第一、二象限或y轴的非负半轴上。 [答案] 停票贾(2第二象限第-，二象限 或y轴的非负半轴上 互动探究 解析：因为x+2x<a<+2x(∈D, 所以晋+<号<受+. 3 3 当质=3mn∈D时，号+2m<号<受+2nxm∈ZD: 当为=3n+1u∈刀时，x+2x<号<吾+2n∈D: 当k=3r+2u∈D时，受+2m<号<+2 nE》. 综上可知，3 的终边在第一、三、四象限 答案：第一、三、四象限 跟踪训练 1.A[当k=2n(n∈Z)时，a=2n·180°+45°=n·360°+ 45°，a为第一象限角.当k=2n十1(n∈Z)时，a=(2n+1) ·180°+45°=n·360°+225°，a为第三象限角.所以a为 第一或第三象限角.门 2.解析：在0°一360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α 135°或270°≤a≤315°.所以终边落在阴影所表示的范 围内的角a的集合为{a|90°+k·360°≤a≤135°+友· 360°，k∈Z}U{a|270°+k·360°a≤315°+k·360°，k ∈Z}={a|90°+2k·180°a135°+2k·180°，k∈Z}U {a90°+(2k+1)·180°≤a≤135°+(2k+1)·180°，k∈ Z}={a90°+n·180°≤a≤135°+n·180°，n∈Z}. 答案：{a90°+n·180°a135°+n·180°，n∈Z} 考点二 「典例]「解]设圆心角是日，半径是r,则2r十0=40. 又S=20r=2740-20=(20-) =-(r-10)2+100≤100. 当且仅当r=10时，Sm*=100, 此时2×10+109=40,0=2. 所以当r=10,0=2时，扇形的面积最大. 互动探究 1.解：设半径为r,孤长为1， 12r+1=6, 则1， 2解得1·或32” 1l=4 ∴.圆心角的孤度数为a=4或1. 2.解：设半径为则由台=sin60°， 六r=45,∴1=ar=85 3元 跟踪训练 解析：设园的半径为，则扇形的丰径为三，记扇形的国 心角为a, 1/2r 则23) 5 5π r 27a=6 3 艺考生文化课百日冲关·数学 ·扇形的孤长与圆周长之比为L=63=5 2xr 18 答案：品 考点三 [母题][解析]第一步：利用两点间的距离公式求出点 P到坐标原点的距离r. 设P与原点的距离为r,,P(-4a,3a),a<0, ∴.r=√（-4a)+(3a)'=l5al=-5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sina的值. sin a=3a=3 -5a 51 [答案]-号 3 [子题1]解析：当a<0时，na=-号：当a>0时=5a, sin a=3 1 答案：-号或号 [子题2]解：设a终边上任一点为P(一4a,3a),当a>0时， r=Sa,sin a=3 5cos a=4 5 ,tan a=- 3 4 4 当a<0时r=-5a,ine三号，cosa=5 m=-子 [子题3]解：由题设知x=一√3，y=m, r2=|OP2=(-√5)+m(0为原点)， r=√3+m2. sina=m=2m。m 422心√3+m-22. 即3+m=8,解得m=士√5. 当m=5时，r=2√2，x=-√3，y=√5， ".cos a= 22 tan a=-15 3 当m=一5时r=22,x=-3,y=-√5， ∴osa==-6,a 22 -￥，ana=⑤ 3 考点四 1.D[300°=360°-60°，则300°是第四象限角，故 sin300°<0；-305°=-360°+55°，则-305°是第一象限 角，故o(-305)>0:西号=-8x+号，所以号 是第二象限角，故am(一号x<0,因为3x<10<子x, 22 所以10是第三象限角，故sin10<0.] 2.解析：法一：由sin29<0,得2kπ+π<202kπ+2π(k∈ Z),kx十受<<kx十x(k∈ZD. 当k为奇数时，日的终边在第四象限； 当为偶数时，日的终边在第二象限. 又因c0s日≤0，所以日的终边在左半坐标平面（包括y 轴)，所以日的终边在第二象限， 所以tan6<0,cosf<0,点P在第三象限.。 法二：由cos0=一cos,知cos0,① 又sin2f<0,即2 sin Ocos0<0,② 由①②可推出{sin>0 (cos 0<0 因此0在第二象限，P(tan日，cos0)在第三象限. 答案：三 ·3 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)sin'a+cos'a=l (2)sin a=tan a 2.-sin a cos a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a 思考辨析(1)×(2)×(3)√(4)/(5)× 小题查验 1A2D3A43 4 5 5.-1 跃升·关键能力考点一 [母题][解](1)法一：联立方程 1 sina+cosa=5,① (sin2a+cosa=1,② 1 由①得cosa=5一sina,将其代入②，整理得 25sina-5sina-12=0.:a是三角形内角， 4 sin a=5' ∴.tana=- 4 cos a=-3 3· 1 法二：，sina十cosa= ∴.(sina十cosa)2 (）广，1+2 in o4 1 25 24 ∴.2 sin acos a= 25 (sin a-cos a)2=1-2sin acos a=1+25-25 2449 ,'sin acos a=一 <0,且0<a<π： 25 .'sin a>>0,cos a<0,sin a-cos a >0. ∴.sina-c0sa= 5· 1 4 sina十cosa= 由 5， sin a= 得 7 sin a-cos a= 3 5, cos a=- 5 4 .tan a=-3. (2) 1 sin'a+cos'a cos'a-sin'a cos'a-sin'a sin'a+cos a cos"a _tan'a+ 4 cos'a-sin'a 1-tan'a .'tan a=- 3 cosa 1 tan'a+1 )+ 25 cosa-sina 1-tan'a 1-() 7 [子题l]解：由tana= 3,得sina= 3 cos a, 将其代入sina十cosa=1, 得10 9 9 cosa=1…cosa=10,易知cosa<0, cos a=-3 v10 10 sin a=v10 10 故sina十cosa=- √/10 [子题2] 解：由母题解析可知：tana=一 3 (1)sin a-4cos atan a-4 5sin a+2cos a 5tan a+2