第2章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 第12节 利用导数研究函数的极值、最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 函数的极值与最值是高考的热点内 1.借助函数的图象，了解函数在1.利用导数研究函数的极值， 容，对极值的考查主要有2个命题角度： 某点取得极值的必要条件和充 达成数学抽象和数学运算 ①判断极值的情况，②已知函数求极值， 分条件. 素养 考查函数最值时必定涉及函数的单调性， 2.能利用导数求某些函数的极2.利用导数研究函数的最值， 还会涉及到方程和不等式.题型有大题也 大值、极小值以及给定闭区间 提升逻辑推理和数学运算 有小题且有一定难度.另外已知函数的极 上函数的最大值、最小值（其 素养. 中多项式函数不超过三次).3.利用导数研究生活中的优 值（最值）情况求参数的取值范围也是考 3.体会导数与单调性、极值、最 化问题，发展数学建模和数 查的热点内容，涉及函数的单调性时，往 往需要进行分类讨论，这类题综合性强， 大（小）值的关系 学运算素养 难度较大 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出 1.函数极值的概念 比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质. 一般地，当函数f(x)在点xo处连续时， (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研 (1)如果在xo附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0, 究函数的性质。 那么f(xo)是 重要结论 (2)如果在xo附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0, 1.对于可导函数f(x),f(xo)=0是函数f(x)在 那么f(xo)是 x=xo处有极值的必要不充分条件. 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 2.若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断， (1)求导函数f(x). 则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)求方程'(x)=0的根， 3.若函数f(x)在闭区间[a,b]内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值】 (3)列表，检验f(x)在方程f(x)=0的根左右两 4.若函数f(x)在开区间(a,b)上的图象连续不断，且 侧的函数值的符号，如果 ,那么函数 有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最 y一f(x)在这个根处取得极大值；如果 值点 那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值：如果左 [自主诊断] 右两侧符号一样，那么这个根不是极值点。 [思考辨析] (4)得极值，由表得极大值与极小值. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 里打“/”，错误的打“×” (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯 (2)将函数y=f(x)的 与端点处的 一的. 比较，其中最大的一个是最大值，最小 (2)函数的极大值不一定比极小值大.( ) 的一个是最小值，得出函数f(x)在[a,b]上的 (3)对可导函数f(x),f'(xo)=0是xo点为极值 最值 点的充要条件。 () 4.利用导数求解实际问题中的优化问题 (4)函数的极大值一定是函数的最大值.( 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题 (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值. 称之为优化问题.导数是解决生活中优化问题的 ( 有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是： (6)函数fx)=二在区间[-1,1]上有最值. 优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解 ( 决数学问题→优化问题的答案. [小题查验] 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： 1.函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的 A.x=1 B.x=-1 性质即可. C.x=1或-1或0 D.x=0 ·52 上篇：第二章函数、导数及其应用 2.函数f(x)=a.x3+bx在x=1处有极值一2，则 a,b的值分别为 ( A.a=3b=-1 A.1,-3 B.1,3 B.函数f(x)既有极大值又有极小值 C.-1,3 D.-1,-3 C.函数f(x)有三个零点 3.(多选题)定义：设f(x)是f(x)的导函数，(x)是 函数(x)的导函数，若方程'(x)=0有实数解 D.y=f(x)在区间(1,2)上单调递减 xo,则称点(xo,f(xo)为函数y=f(x)的“拐点”.探 4.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x 究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就 1)(x一2)(x-a)的极值点，则f(0)= 是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)= 5.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去 ar+hr2+号(a60)图象的对称巾心为1，D.则 四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则 下列说法中正确的有 ) 盒子容积的最大值为 cm3. 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 利用导数研究函数的极值（多维探究） [命题角度1]由函数图象判断其极值情况 /方法指导引 1.设函数f(x)在R上可导，其 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤 导函数为f(x),且函数y= (1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导 (1一x)f(x)的图象如图所 数(x); 示，则下列结论中一定成立 (2)求方程f'(x)=0的根； 的是 ( (3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如 果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极 A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) 大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处 B.函数f(x)有极大值f(一2)和极小值f(1) 取得极小值.如果左右符号相同，则此根处 C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(一2) 不是极值点· D.函数f(x)有极大值f(一2)和极小值f(2) 易错警示：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有 [命题角度2]利用导数求函数的极值 极值，那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函 2.已知函数f(x)=(x-1)ex-a.x2+b,曲线y 数，即在某区间上单调函数没有极值 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=(e一2)x [命题角度3]己知极值求参数的取值 十3-e 3.已知函数f(x)=x(lnx-ax)在(0，十o∞)上有 （1)求实数a,b的值； 两个极植，则实数a的取值范围为 (2)求f(x)的单调区间和极值， 4.已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a一 ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若 x1<x2,则a的取值范围是 /方法指导1 己知函数极值点或极值求参数的两个要领 1列式：根据极值点处导数为0和极值这两个 条件列方程组，利用待定系数法求解， 2.验证：因为某点处的导数值等于0不是此点 为极值点的充要条件，所以利用待定系数法 求解后必须验证根的合理性， ·53· 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二 利用导数研究函数的最值（师生共研） 核心素养 方法指导引 数学运算 利用导数法求最值中的数学素养 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时，首先 利用导数法求解函数最值应该注意两个方面的 可判断函数在[a,b]上的单调性，若函数在[a, 问题：一是函数的定义域，函数与其导函数的定义域 b]上单调递增或单调递减，则f(a),f(b)一个 可能不一致；二是确定函数在某个区间上的最值时， 为最大值，一个为最小值.若函数在[a,b们上不 注意极值与最值的区别 单调，一般先求[a,b]上f(x)的极值，再与 f(a),f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即 [典例] 已知函数f(x)=X二1-ln 为最小值 易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格 (1)求f(x)的单调区间； 齐全；含参数时，要讨论参数的大小 (2)求函数f)在[合上的最大值和最小值 [跟踪训练」 (其中e是自然对数的底数). 已知函数f(.x)=e-2-a.x十1，a∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线1的 [尝试解答] 斜率为e一1，求1的方程； (2)在(1)的条件下，若f(lnx十2)≥kx-xlnx 一1恒成立，求实数k的取值范围. 考点三利用导数研究生活中的优化问题（课堂共研） [典例]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高 题中作答.一般地，对于实际问题，若函数在 为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表 给定的定义域内只有一个极值点，那么该点 面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底 也是最值点」 面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总 [跟踪训练 建造成本为12000π元（π为圆周率）. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的 (I)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定 销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千 义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何 克)满足关系式y=23十10(x一6)2其中3< 值时该蓄水池的体积最大。 x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时， [尝试解答」 每日可售出该商品11千克. (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 方法指导引 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实 际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 y=f(x). (2)求导数f(x),解方程f(x)=0. 温馨提西 (3)判断使(x)=0的点是极大值点还是极小 学习至此，请完成配套训练课时冲关十七 值点. 54艺考生文化课百日冲关·数学 (2)因为f(x)在（一o,十∞）上是增函数， 所以f'(x)=3.x2一a≥0在（一∞，十∞）上恒成立， 即a3x2对x∈R恒成立. 因为3x≥0，所以只需a0. 又因为a=0时，f'(x)=3x≥0，f(x)=x一1在R上 是增函数，所以a0, 即a的取值范围为（一∞，0]. [子题1]解：因为f(x)=3.x3-a,且f(x)在区间(1， 十○)上为增函数，所以f(x)≥0在(1，十○)上恒成立， 即3x2-a≥0在(1，十oo)上恒成立， 所以a3x在(1，十o)上恒成立，所以a3, 即a的取值范围为（一o,3]. 子题2]解：由f(x)=3x一u0在（一1,1）上恒成立， 得a≥3x在（一1,1）上恒成立. 因为一1<x<1,所以3x2<3,所以a≥3. 即当a的取值范围为[3，+co)时，f(x)在（一1,1）上单 调递减 [子题3]解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为 -3@,3@}3@=1,即a=3. 33 3 [子题4]解：，f(x)=x3-ax-1,(x)=3.x2-a 显然a>0,由f(x)=0,得x=土3@ 3 :f(x)在区间（一1,1）上不单调， 0<3@<1,得0<a<3, 3 即a的取值范围为(0,3). 第12节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)极大值(2)极小值2.(3)左正右负左负右正 3.(1)极值(2)各极值函数值f(a),f(b) 思考辨析 (1)×(2)/(3)×(4)×(5)/(6)× 小题查验 1.C2.A3.ABD4.-45.144 跃升·关键能力考点一 1.D[由题图可知，当x<-2时，f'(x)>0:当-2<x<1 时，f(x)<0;当1<x<2时，f(x)<0;当x>2时， f(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=一2处取得极 大值，在x=2处取得极小值.门 2.解：(1)f(x)=e+(x-1)e-2ax=xe-2a.x, 由题意知，f(1)=e-2a=e-2,所以a=1, 又因为f(1)=-1十b=(e-2)×1+3-e=1, 所以b=2. (2)由(1)知，f'(x)=xe-2x=x(e-2), 当x∈（一o,0)时，f(x)>0:当x∈(0，ln2)时， f(x)<0: 当x∈(ln2,+co)时，f(x)>0. 所以f(x)的单调增区间为（一co,0),(ln2,十co),单调 递减区间为(0，ln2): 当x=0时，f(x)取得极大值f(0)=1: 当x=n2时，f(x)取得极小值f(ln2)=2n2一(ln2)2. 3.解析：f(x)=lnx十1一2ax, 由题意知lnx十1一2a.x=0在(0，十co)上有两个不相等 的实根，则2a=lnx十1 x 设g(x)=血x+1,则gx)=-n2. 当0<x<1时，g(x)>0,g(x)单调递增： 当x>1时，g(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)的极大值为g(1)=1, 又当x>1时，g(x)>0, 当x→十∞时，g(x)→0， ·3 当x→0时，g（x)→一o, 所以0<2a<1,即0<a<2 答案：0，) 4.解析：广(x)=2(alna一ex)至少要有两个零点x=x1 和x=x,f”(x)=2a(lna)2-2e. (1)若a>1,则'(x)在R上单调递增，此时若(xo)= 0,则(x)在（一0，x)上单调递减，在（x,十∞）上单 调递增，此时若有x=x1和x=x2分别是函数f(x)= 2a一e.x(a>0且a≠1)的极小值，点和极大值点， 则x1>x2,不符合题意. (2)若0<a<1,则"(x)在R上单调递减，此时若 f"(x)=0,则f(x)在（一∞，x)上单调递增，在(xo,十∞） 上单调递减，且=log。n此时若有t=和 x=x2分别是函数f(x)=2a一ex(a>0且a≠1)的极 小值点和极大植点，且西<4，则需满足f,)>0,即。 >do点<ha→ha<nana之 e 品na<1-h血a,可绿得<a<e,由于0<a<1 取交集即得1<a<1. 答案：（日】 考点二 [典例][解]1)f(x)=二1-1nx=1--lnx, f(x)的定义战为(0，十∞). 所以()=是-士- 由f'(x)>0,得0<x<1,由f(x)<0,得x>1, 所以f(x)=1-】-nx的单调递增区间为(0,1)，单调递 x 减区间为(1，十∞) (2)由1)得f(x)在[日上单润递增，在[1]上单 调递减， 所以)在[日上的最大位为)=1-1-h1=0. 又f()1-e-n e =2-e,f()=1-1-lne 1 所以（）在片上的小位为（付）2- 综上所述f)在[日上的最大值为0最小值为2-c 跟踪训练 解：(1)f'(x)=e--a,则切线的斜率为f(3)=e一a= e-1,所以a=1. 从而f(3)=e-2,所以(3，f(3)处的切线方程为y-(e -2)=(e-1)(x-3),即y=(e-1)x-2e+1. (2)a=1时，由f(lnx十2)≥kx-xlnx-1,得x一(lnx +2)+1≥k.x-xlnx-1, 整理得≤1+ln-n巴. x 令h)=1+lnx-lnx x 则'(x)=L-1-lnx=x+n-1 x 由于y=x一1十lnx为(0，十∞)上的单调递增函数，且 yl=1=0, 故当x∈(0,1)时，y=x-1+lnx<0,则h'(x)<0: 当x∈(1，+∞)时，y=x-1+lnx>0,则h'(x)>0: 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十©○)上单调递增， 因此h(x)mn=h(1)=1,故k的取值范围为(-∞，1]. 考点三 [典例][解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100× 2πrh=200πrh元，底面的总成本为160πr元，所以蓄水 池的总成本为(200πrh十160πr2)元.又根据题意得 20rA+160r2=1200x,所以M=（30-4r,从而 V()=xh=F(300r-4r).由h>0,且>0可得0< r<5√3，故函数V(r)的定义域为(0,5√3). (2)因为V(r)=吾(300r-r),所以V(r) 吾(300-12r).令V()=0,解得=5=-5（周为 r2=一5不在定义域内，舍去). 当r∈(0,5)时，V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增： 当r∈(5,5√3)时，V(r)0,故V(r)在(5,5√3)上单调递减. 由此可知，V(r)在r=5处取得最大值，此时h=8,即当r =5,h=8时，该蓄水池的体积最大. 跟踪训练 解：(1)因为x=5时，y=11, 所以号+10=11，即a=2. (2)由(1)可知，镇商品每日的销售量为y=昌写十 10(x一6).所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f=(-32+10cx-6] =2+10(x-3)(x-6),3<x<6. 从而，(x)=10[(x-6)2+2(.x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6).令f(x)=0,得x=4或x=6. 于是，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (3,4) (4,6) f(x) 十 0 f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x=4时，函数f(x)在区间(3,6)内取到极 大值，也是最大值.最大值等于42.所以，当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 第三章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)端点(2)正角负角零角象限角轴线角 2.(1)半径长 ￥MP OM AT 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6)/ (7)√(8)/ 小题查验 1.C2.C3.D4.B5.6 跃升·关键能力考点一 [典例][解析]（①）八0=6+2kx(k∈Z), 7 9=2匹+25(k∈. 37 3 依题意0<牙+2终<2x-子<<9，k∈1 k=01,2,即在[0,2x)内终边与号相同的角为经， 20π34x 21’21 ·3 参考答案 (2)由a是第三象限的角得x十26x<a<经+2kx, -经 2kr<-a<-x-2k元， 即受+2x<-a<x+2x(∈Z》, .角一α的终边在第二象限. 由x+2kr<a<经+2x 得2r十4kx<2a<3r十4kπ(k∈Z), .角2a的终边在第一、二象限或y轴的非负半轴上。 [答案] 停票贾(2第二象限第-，二象限 或y轴的非负半轴上 互动探究 解析：因为x+2x<a<+2x(∈D, 所以晋+<号<受+. 3 3 当质=3mn∈D时，号+2m<号<受+2nxm∈ZD: 当为=3n+1u∈刀时，x+2x<号<吾+2n∈D: 当k=3r+2u∈D时，受+2m<号<+2 nE》. 综上可知，3 的终边在第一、三、四象限 答案：第一、三、四象限 跟踪训练 1.A[当k=2n(n∈Z)时，a=2n·180°+45°=n·360°+ 45°，a为第一象限角.当k=2n十1(n∈Z)时，a=(2n+1) ·180°+45°=n·360°+225°，a为第三象限角.所以a为 第一或第三象限角.门 2.解析：在0°一360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α 135°或270°≤a≤315°.所以终边落在阴影所表示的范 围内的角a的集合为{a|90°+k·360°≤a≤135°+友· 360°，k∈Z}U{a|270°+k·360°a≤315°+k·360°，k ∈Z}={a|90°+2k·180°a135°+2k·180°，k∈Z}U {a90°+(2k+1)·180°≤a≤135°+(2k+1)·180°，k∈ Z}={a90°+n·180°≤a≤135°+n·180°，n∈Z}. 答案：{a90°+n·180°a135°+n·180°，n∈Z} 考点二 「典例]「解]设圆心角是日，半径是r,则2r十0=40. 又S=20r=2740-20=(20-) =-(r-10)2+100≤100. 当且仅当r=10时，Sm*=100, 此时2×10+109=40,0=2. 所以当r=10,0=2时，扇形的面积最大. 互动探究 1.解：设半径为r,孤长为1， 12r+1=6, 则1， 2解得1·或32” 1l=4 ∴.圆心角的孤度数为a=4或1. 2.解：设半径为则由台=sin60°， 六r=45,∴1=ar=85 3元 跟踪训练 解析：设园的半径为，则扇形的丰径为三，记扇形的国 心角为a, 1/2r 则23) 5 5π r 27a=6 3