第2章 第11节 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

5.解析：因为f(x)=e+x,所以f(x)=e十1， 则f(0)=e°+0=1， 切线斜率k=f(0)=e°+1=2，切线方程为y-1=2(x -0),即y=2x+1, 设y=2x十1与g(x)=lnx十b相切于点(x。lnx。十b), g(x)=,因北=2→a,=7,切点(n2+b》在 1 x 切线y=2x十1上， 1n+6=2x+1, 即-ln2+b=2→b=2+ln2. 答案：2+ln2 第11节 夯实·必备知识必备知识 1.单调递增单调递减常数函数 思考辨析 (1)X(2)×(3)/(4) 小题查验 1.A2.A3.A4.(-∞，0)5.3 跃升·关键能力考点一 [典例]解：(1)当a=1时，f(x)=e-x-1, f(0)=e°-0-1=0， f(x)=e-1,(0)=e°-1=0， 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y一0=0X (x一0)，即y=0. (2)f(x)=ae-a=a(e-1). 若a>0,令f(x)=0,即a(e-1)=0, 因为a>0,所以er一1=0，解得x=0. 当x<0时，e<1,f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>0时，e“>1,f'(x)>0,f(x)单调递增. 若a<0,令f(x)=0,解得x=0. 当x<0时，e>1,f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>0时，e“<1,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述，当a≠0时，f(x)在（一∞，0）上单调递减，在 (0,十○)上单调递增 跟踪训练 解：1)由题，f()=eln(1十x)+e·1十z =e·(1+)+) 故f0=心·(1+0)+十0)=1. f(0)=eln(1+0)=0, 因此，曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y =x; (2)由)知，gx)=f(x)=e·(n(1+)+中) x∈[0，+o), 对ge)=e·1+)+子a十小 21 设h(x)=ln1+x)+1千2a+z∈[0，+eo), 1 2 2 则N(x)=1十z1++1+x) 0 故n(x)在[0，十c∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)=1>0, 因此g'(x)>0对任意x∈[0，十c○)恒成立， 故g(x)在[0，+c○)上单调递增； (3)设m(s)=f(s十t)一f(s)一f(t) =e'In(1+s+t)-e'In(1+s)-eln(1+t), 则m'(s)=e(n(1+s+t)+1+s+ e(n(1+)+1) =g(s十t)-g(s), ·3 参考答案 由(2)g(x)在[0，十∞)上单调递增， 故s>0,t>0时，m'(s)=g(s+t)一g(s)>g(t) g(0)>g(0)一g(0)=0, 因此，m(s)在(0，十∞)上单调递增， 故m(s)>m(0)=f(0十t)一f(0)-f(t)=一f(0)=0, 因此，对任意的s,t∈(0，十©∞)， 有f(s十t)>f(s)十f(t) 考点二 [典别][解]1时)求学得f飞)=寸兰一 由f(x)在点(1，f1)处的切线垂直于直线y=22, 知f'(1)=- 子-a=-2,解得a=子 4 (2)迪1加a)=学+是n-号 则f'(x)=x-4红-5 4.x2 令f(x)=0,解得x=-1或x=5, 因x=一1不在f(x)的定义域(0，十∞)内，故舍去. 当x∈(0,5)时，f(x)<0,故f(x)在(0,5)上单调递减； 当x∈(5，+∞)时，f(x)>0, 故f(x)在(5，十∞)上单调递增」 跟踪训练 解：(1)函数f(x)的定义域为R. 由已知得f(x)=e e*+1-a. :函数y=f(x)的导函数是奇函数， 六f(-)=-f(x),即e e 9e+1a=一e十+a, 解得a=子 e*+1-a=1-1 (2)由(1)f(x)= e*+1-a. ①当a≥1时，f(x)<0恒成立 .a∈[1，十o∞)时，函数y=f(x)在R上单调递减. ②当0<a<1时，由f(x)>0,得(1-a)(e+1)>l,即e> a解得>n巴。 一1+1a 由f'(x)<0,得(1-a)(e+1)<1, 即c<-1+己。解得<n户。 a∈(01)时，数y=f)在(n产。+）上单调 增，在(-0，血巴a)上单词递减. 考点三 [母题][解](1)f'(x)=3x-a ①当a≤0时，f(x)≥0， 所以f(x)在（一o,十∞）上为增函数. ②当a>0时，令3x2-Q=0,得x=±30 3 当>或<-时x)>0: 3 3 当-@<<时，f(x)0. 3 3 因此f(x)在-o0, }(+上单 增，在-3@，3@}上单调递减。 33 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在 -60,- (+ 调递增，在-，3@}上单调递减 33 艺考生文化课百日冲关·数学 (2)因为f(x)在（一o,十∞）上是增函数， 所以f'(x)=3.x2一a≥0在（一∞，十∞）上恒成立， 即a3x2对x∈R恒成立. 因为3x≥0，所以只需a0. 又因为a=0时，f'(x)=3x≥0，f(x)=x一1在R上 是增函数，所以a0, 即a的取值范围为（一∞，0]. [子题1]解：因为f(x)=3.x3-a,且f(x)在区间(1， 十○)上为增函数，所以f(x)≥0在(1，十○)上恒成立， 即3x2-a≥0在(1，十oo)上恒成立， 所以a3x在(1，十o)上恒成立，所以a3, 即a的取值范围为（一o,3]. 子题2]解：由f(x)=3x一u0在（一1,1）上恒成立， 得a≥3x在（一1,1）上恒成立. 因为一1<x<1,所以3x2<3,所以a≥3. 即当a的取值范围为[3，+co)时，f(x)在（一1,1）上单 调递减 [子题3]解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为 -3@,3@}3@=1,即a=3. 33 3 [子题4]解：，f(x)=x3-ax-1,(x)=3.x2-a 显然a>0,由f(x)=0,得x=土3@ 3 :f(x)在区间（一1,1）上不单调， 0<3@<1,得0<a<3, 3 即a的取值范围为(0,3). 第12节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)极大值(2)极小值2.(3)左正右负左负右正 3.(1)极值(2)各极值函数值f(a),f(b) 思考辨析 (1)×(2)/(3)×(4)×(5)/(6)× 小题查验 1.C2.A3.ABD4.-45.144 跃升·关键能力考点一 1.D[由题图可知，当x<-2时，f'(x)>0:当-2<x<1 时，f(x)<0;当1<x<2时，f(x)<0;当x>2时， f(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=一2处取得极 大值，在x=2处取得极小值.门 2.解：(1)f(x)=e+(x-1)e-2ax=xe-2a.x, 由题意知，f(1)=e-2a=e-2,所以a=1, 又因为f(1)=-1十b=(e-2)×1+3-e=1, 所以b=2. (2)由(1)知，f'(x)=xe-2x=x(e-2), 当x∈（一o,0)时，f(x)>0:当x∈(0，ln2)时， f(x)<0: 当x∈(ln2,+co)时，f(x)>0. 所以f(x)的单调增区间为（一co,0),(ln2,十co),单调 递减区间为(0，ln2): 当x=0时，f(x)取得极大值f(0)=1: 当x=n2时，f(x)取得极小值f(ln2)=2n2一(ln2)2. 3.解析：f(x)=lnx十1一2ax, 由题意知lnx十1一2a.x=0在(0，十co)上有两个不相等 的实根，则2a=lnx十1 x 设g(x)=血x+1,则gx)=-n2. 当0<x<1时，g(x)>0,g(x)单调递增： 当x>1时，g(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)的极大值为g(1)=1, 又当x>1时，g(x)>0, 当x→十∞时，g(x)→0， ·3 当x→0时，g（x)→一o, 所以0<2a<1,即0<a<2 答案：0，) 4.解析：广(x)=2(alna一ex)至少要有两个零点x=x1 和x=x,f”(x)=2a(lna)2-2e. (1)若a>1,则'(x)在R上单调递增，此时若(xo)= 0,则(x)在（一0，x)上单调递减，在（x,十∞）上单 调递增，此时若有x=x1和x=x2分别是函数f(x)= 2a一e.x(a>0且a≠1)的极小值，点和极大值点， 则x1>x2,不符合题意. (2)若0<a<1,则"(x)在R上单调递减，此时若 f"(x)=0,则f(x)在（一∞，x)上单调递增，在(xo,十∞） 上单调递减，且=log。n此时若有t=和 x=x2分别是函数f(x)=2a一ex(a>0且a≠1)的极 小值点和极大植点，且西<4，则需满足f,)>0,即。 >do点<ha→ha<nana之 e 品na<1-h血a,可绿得<a<e,由于0<a<1 取交集即得1<a<1. 答案：（日】 考点二 [典例][解]1)f(x)=二1-1nx=1--lnx, f(x)的定义战为(0，十∞). 所以()=是-士- 由f'(x)>0,得0<x<1,由f(x)<0,得x>1, 所以f(x)=1-】-nx的单调递增区间为(0,1)，单调递 x 减区间为(1，十∞) (2)由1)得f(x)在[日上单润递增，在[1]上单 调递减， 所以)在[日上的最大位为)=1-1-h1=0. 又f()1-e-n e =2-e,f()=1-1-lne 1 所以（）在片上的小位为（付）2- 综上所述f)在[日上的最大值为0最小值为2-c 跟踪训练 解：(1)f'(x)=e--a,则切线的斜率为f(3)=e一a= e-1,所以a=1. 从而f(3)=e-2,所以(3，f(3)处的切线方程为y-(e -2)=(e-1)(x-3),即y=(e-1)x-2e+1. (2)a=1时，由f(lnx十2)≥kx-xlnx-1,得x一(lnx +2)+1≥k.x-xlnx-1, 整理得≤1+ln-n巴. x 令h)=1+lnx-lnx x 则'(x)=L-1-lnx=x+n-1 x 由于y=x一1十lnx为(0，十∞)上的单调递增函数，且 yl=1=0, 故当x∈(0,1)时，y=x-1+lnx<0,则h'(x)<0:上篇：第二章函数、导数及其应用 第11节利用导数研究函数的单调性 课程标准 核心素养 考情聚焦 利用导数研究函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了 1.利用导数判断或证明函数的单调性，是高考考查的热点内容，主要考查 解函数的单调性与导数的 发展逻辑推理和数学运算素养 利用导数讨论函数的单调性，利用 关系 2.利用导数求函数的单调区间，提升逻导数确定函数的单调区间、已知函 2.能利用导数研究函数的单 辑推理和数学运算素养. 数的单调性求参数的取值范围等， 调性 3.已知函数的单调性求参数的取值范考查转化与化归、分类讨论、数形结 3.会求函数的单调区间（其中 围，提升逻辑推理和数学运算素养 合等思想方法.题型主要以解答题为 多项式函数不超过三次) 主，属于中高档题 加夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] [小题查验] 1.函数的单调性与导数的关系 1.如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则 已知函数y=f(x)在某个区间内可导， 下列判断中正确的是 (1)若f(x)>0,则f(x)在这个区间内 (2)若f'(x)<0,则f(x)在这个区间内 (3)若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是 2.求函数单调区间的步骤 (1)求定义域： (2)求导. A.函数f(x)在区间（一3,0）上单调递减 (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0 B.函数f(x)在区间（一3,2）上单调递减 求单调递减区间. C.函数f(x)在区间(0,2)上单调递减 重要结论 D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数 1.f'(x)>0(或f(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调 2.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上的单调情 递增（或递减）的充分不必要条件： 2.若f(x)可导且f(x)=0不恒成立，则f(x)≥0 况是 (或f(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增（或递 A.单调递增 B.单调递减 减)的充要条件 C.先增后减 D.先减后增 [自主诊断] 3.已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一 [思考辨析] 点P(xob)处的切线方程为y=(6十0一2)x十(yo 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 一x8一x十2xo),那么函数f代x)的单调递减区间为 里打“/”，错误的打“×” (1)f(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( ) ) (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图 A.(-2,1) B.(-1,2) 象就越“平缓”. () C.(-∞，-2) D.(1,+∞) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0, 4.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=e一x的 则f(x)在此区间内为常数函数， (4)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的 减区间为 单调递增区间意义不一样。 ( 5.已知f(x)=x3一ax在[1，十∞)上是增函数，则 a的最大值是 ·49. 艺考生文化课百日冲关·数学 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一利用导数判断或证明函数的单调性（师生共研） 核心素养 方法指导引 分类讨论思想—分类与整合思想研究函数的单调性 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常 (1)求导：求出f(x); 见有以下几种可能：①方程子(x)=0是否有根；②若 (2)判号：判断f(x)在(a,b)内的符号； f(x)=0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在 (3)结论：写出f(x)在(a,b)内的单调区间. 定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类 易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注 方法。 意依据参数取值对不等式解集的影响进行分 类讨论， [典例]已知函数f(x)=ear一a.x一1，a∈R. [跟踪训练 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切 已知函数f(x)=erln(1十x). 线方程； (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 (2)当a≠0时，讨论函数f(x)的单调性 方程； [尝试解答] (2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0，+∞) 上的单调性； (3)证明：对任意的s,t∈(0，+o∞)，有f(s十)> f(s)+f(t). 考点二利用导数求函数的单调区间（师生共研） /方法指导引 [典例]已知函数fx)-千+2-nx- 4 货中 用导数法求可导函数单调区间的一般步骤 a∈R,且曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 求定义域→求导数f(x) 求子(x)=0在 垂直于直线y=2x. 定义域内的根 用求得的 确定f(x)在 得相应开 (1)求a的值； →根划分定 各个开区间 →区间上的 (2)求函数f(x)的单调区间. 义区间 内的符号 单调性 [尝试解答 [跟踪训练 已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a 的值； (2)求函数y=f(x)的单调区间. ·50· 上篇：第二章函数、导数及其应用 考点三已知函数的单调性求参数的取值范围（子母变式） [母题]已知函数f(x)=x3-a.x一1. [子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为 (1)讨论f(x)的单调性； (-1,1),求a的值. (2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值 范围。 [破题关键点](1)讨论f(x)的符号是正的还 是负的： (2)转化为f(x)≥0在(-∞，十∞)上恒成立. [子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间(-1,1) 上不单调，求a的取值范围. [子题1]函数f(x)不变，若f(.x)在区间(1，十∞)上 为增函数，求a的取值范围. /规律总结/ 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 [子题2]函数f(x)不变，若f(x)在区间（一1,1） (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在 上单调递减，试求a的取值范围. (a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间 的子集 (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单 调递增，则(x)≥0；若函数单调递减，则 f(x)≤0”来求解. 易错警示：f(x)为增函数的充要条件是对任 意的x∈(a,b)都有f(x)≥0且在(a,b)内 的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意 此时式子中的等号不能省略，否则漏解 ⊙温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关十六 ·51