第2章 第10节 导数的概念与计算-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 [跟踪训练] (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨 为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部 的平均处理成本最低？ 门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳 处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测 算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨) 之间的函数关系可近似地表示为y 片-80r2+5040x,e[120,144 2r2-20x+8000,xe[14,50 且每处理 一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200元，若该项目不获利，国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？ 如果获利，求出最大利润：如果不获利，则国家每 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练课时冲关十四 月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ 第10节 导数的概念与计算 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬 导数的运算、导数的几何 时变化率的过程，了解导数概念的实际背景， 1.导数的概念，发展 意义是高考命题的热点，导数 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体 逻辑推理和数学 的运算一般不单独命题，常融 会导数的内涵与思想，体会极限思想， 运算素养。 合在与导数有关的其他题目 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.导数的计算，提升 中；而导数的几何意义是一个 3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数)， 逻辑推理和数学高频考点，常与函数、解析几何 运算素养. 放在一起综合考查，有时还作 yxy=2y=x3y三y=的导数 3.导数的几何意义及 为解答题的一部分呈现， 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 应用，提升逻辑推 本节内容主要以选择题、 数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求 理和数学运算素养 填空题或解答题中第一问的形 简单的复合函数 式出现，属于中低档题 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 2.函数y=f(x)的导函数 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都 有导数，其导数值在(a,b)内构成一个新函数，这 (1)定义：称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化 个函数称为函数y=f(x)在(a,b)内的导函数. 率imfw+△）-fo）=lim合Ay为函数y 记作f'(x)或y' △x A0△.x 3.基本初等函数的导数公式 f(x)在x=xo处的导数，记作f(xo)或 基本初等函数 导函数 即rw)28- f(x)=c(c为常数) f'(x)= (2)几何意义：函数f(x)在点xo处的导数f(xo) f(x)=x“(a∈Q*) f'(x)= 的几何意义是在曲线y=f(x)上点(xo,f(xo)) f(x)=sin x f'(x)= 处的 ·相应地，切线方程为 f(x)=cos x f'(x)= ·46· 上篇：第二章函数、导数及其应用 基本初等函数 导函数 (2)求f'(xo)时，可先求f(xo)再求f(xo). ( f(x)-er f(x)= (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. f(x）=a'(a>0) f'(x)= (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 f(x)=In x f'(x)= 切线 (5)若f(x)=f(a)x2+lnx(a>0),则f(x)= f(x)=logax(a>0,a≠1) f'(x)= 2xP(a)+ 4.导数的运算法则 若f(x),g(x)存在，则有： [小题查验] (1)[f(x)士g(x)]'= 1.函数y=xcos x一sinx的导数为 (2)[f(x)·g(x)]'= A.xsin x B.-xsin x (3)f1=fgo）=fgD(g(≠o>. C.xcos x D.-xcos x Ig()] [g(x)]2 2.已知函数f(x)的导函数是f(x)=√1-x2,则 5.复合函数的导数 函数f(x)的图象可能是 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u), u=g(x)的导数间的关系为yx'=y′·u',即y 对x的导数等于y对u的导数与 的导 数的乘积. 重要结论 1.f(xo)与xo的值有关，不同的xo,其导数值一般也 不同. 0 2.f'(xo)不一定为0，但[f(x0)]'一定为0. 3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函 数，周期函数的导数还是周期函数 3.函数f(x)=x4一2x3的图象在点(1，f(1))处的 4.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的 切线方程为 ( 瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其 A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 大小|f(x)川反映了变化的快慢，|(x)|越大， C.y=2x-3 D.y=2x+1 曲线在这点处的切线越“陡” er [自主诊断] 4曲线y千在点(1，)处的切线方程为( [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 A.y- 里打“”，错误的打“×”. Cy+是 Dy=号+9 (1)y=f'(x)在点x=x。处的函数值就是函数 y=f(x)在点x=xo处的导数值. ( 5.(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y= ex十x十a的一条切线，则a= ☐跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 导数的概念（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 1.设f(x)是可导函数，且满足 1imf1+2）-fD=-1,则y=f(x)在点 根据导数的定义，求函数y=f(x)在x=xo处 2x 导数的步骤 (1,f(1))处的切线的斜率为 2.用导数的定义求函数y=二在x=1处的导数. (1)求函数值的增量△y=f(xo十△x)一f(xo); (2)求平均变化率Ay=fo十△)-fxo) △.x △x △y (3)计算导数f'(xo)=lim △0△.x ·47· 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二 导数的计算（自主练透） [题组集训] /方法指导引 求下列函数的导数 函数求导的遵循原则 (1y-sin (2)y-(3y (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形 对函数进行化简，然后求导，这样可以减少 4y=mf2+)as2r+)月 运算量，提高运算速度，减少差错 (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， (5)y=ln(2x-5). 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简，然后进行求导，有时可以避 免使用商的求导法则，减少运算量. (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层 次，通过设中间变量，确定复合过程，然后 求导 考点三 导数的几何意义及应用（多维探究） [命题角度1]求切线方程 /技巧点拨/ 核心素养 已知切点A(xo,f(xo),求切线方程的步骤： (1)求斜率k,即求该点处的导数值：k 数学运算一求切线方程的“在”“过”两重天 =f'(xo); 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象 (2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程： y-f(xo)=f'(xo)(x-xo). (切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线 [命题角度2]求切点坐标 方程的方法进行求解， 4.若直线y=kx十b是曲线y=lnx十2的切线，也 (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导， 是曲线y=ln(.x+1)的切线，则b= [命题角度3]求参数的值 代入点的横坐标得到斜率. 5.已知函数f(x)=ex+x的图象在点(0，f(0))处 (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是 的切线也是函数g(x)=lnx十b的图象的切线， 则实数b= 切点，故应先设切点，求切点坐标。 /规律总结 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用 1.(2026·全国I卷)曲线y=5.x+8lnx在点 时主要体现在以下几个方面： (1,5)处的切线方程为 ( ) (1)已知切点A(xo,f(xo),求斜率k,即求该 点处的导数值：k=f(xo); A.y=3x+2 B.y=5x (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1),即解方 C.y=8x-3 D.y=13.x-8 程f(x1)=k; 2.曲线f代x)=xln2z-1D+在点1，f1)处 (3)已知过某点M(x1,f(x1)(不是切点)的切 线斜率为k时，常需设出切点A(x0, 的切线方程为 f代x0)》,利用=)二f)求解 x1-x0 3.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则 @温馨提正 该切线的方程为 学习至此，请完成配套训练 课时冲关十五 ·48·艺考生文化课百日冲关·数学 第四步计算x>40时的利润W的最大值 ②当x>40时，W=-40000 -16x+7360. 由于40000+16x≥2， 2 40000×16.x=1600, 当且仅当40000=16x,即x=50∈(40，+c0)时，取等 号，所以W取最大值为5760. 第五步得出本题的利润W的最大值 综合①②，当x=32时，W取得最大值，最大值为6104万元. 跟踪训练 解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S, 则S=200x- (2-20x+8000） =-2:+400z-8000=-2(x-400, 1 所以当x∈[200,300]时，S0,因此该单位不会获利」 当x=300时，S取得最大值一5000， 所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损】 (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 -80.x+5040,x∈[120,144)， 22 80000-200,x∈[144,500]， ①害xe[120,14)时，之=32-80x+5040 3(x120)2+240 所以当x=120时，兰取得最小值240。 ②当x∈[144,500]时， 义+0一20022xX000 -200=200, x 当且仅当1 x=8000,即2=40时，之取得最小 x 值200. 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能 使每吨的平均处理成本最低， 第10节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)f+Az)-fz,) △x (2)切线的斜率y一y,= f'(zo)(x-zo)3.0 ax"-I cos z-sinx e'a'ln a 1 1 x zln a 4.(1)(x)±g'(x)(2)(x)g(x)+ f(x)g'(x)5.u对x 思考辨析(1)√(2)×(3)√(4)×(5)/ 小题查验 1.B2.B3.B4.C5.4 跃升·关键能力考点一 1.解析：令2x=△x,由x0,得△x→0， 则有1imf1+△)=f①=-1，即f1)=-1, △-0 △x 由导数的几何意义知，y=f(x)在(1，f(1)处切线斜率 为一1. 答案：-1 2.解：设fx)定 1 1 则△y=f(1+△x)-f(1)= -1=1-+Az √I+△x √I+△x =1-√+△z)(1+√/1+△x) W1+△x(1+/1+△x) -△x √1+Ax(1+√+△z) ·3 y一 1 √1+△.z(1+√1+△x) △y=im -1 ∴.li 40△xr8√1+△z(1+√+△z) 2 1 2 考点二 解：(1)y=(x2)'sinx+x(sinx)/ =2xsin x+x'cos z. 2y=(x+=m+(=- (3)y= (e)2 =_sinx十cosx e (:y=xsin(2x+受）o(2x+受） 1 -2zsin(4x+x)--2xsin 4z. =-合n4-…s4红 1 ÷1 sin 4.x-2xcos4. 1 (5)令u=2x-5y=lh,则y=Inw)'w=2x-5·2= 2 2x-5,即y'= 2 2x-51 考点三 1.D[y=5+8,当工=1时，y=13,所求切线方程为y -5=13(.x-1),即y=13.x-8,选D.] 2.解析：因为f(z)=xln(2x-1)+ x+1 11 则f1)=1×n1+1+=2: 所以切点为，） 1 且f(x)=ln(2x-1)22-+)y 则k=/(1)=ln1+2气2=4： 2-1=7 由直线的点外式可得y一子-子一》.化简可得7 4y-5=0, 所以切线方程为7x一4y一5=0. 答案：7x一4y一5=0 3,解析：设切点为(x。,y),y=lnx十x+1求导得 y-是+1，候题有+1=2，得。=1， 所以=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0. 答案：2x一y=0 4.解析：y=nx+2的切线为y=】·x+lnx+1(设切 点搬垒标为人y=hx十1)的初线为y=行2中 +1》一干设切点楼丝标为小 1 1 ,+ nx,+1=n(x:+1)+行 1 x1=2 解得 1六6=nx1+1=1-ln2. x=-2 答案：1-ln2 0 5.解析：因为f(x)=e+x,所以f(x)=e十1， 则f(0)=e°+0=1， 切线斜率k=f(0)=e°+1=2，切线方程为y-1=2(x -0),即y=2x+1, 设y=2x十1与g(x)=lnx十b相切于点(x。lnx。十b), g(x)=,因北=2→a,=7,切点(n2+b》在 1 x 切线y=2x十1上， 1n+6=2x+1, 即-ln2+b=2→b=2+ln2. 答案：2+ln2 第11节 夯实·必备知识必备知识 1.单调递增单调递减常数函数 思考辨析 (1)X(2)×(3)/(4) 小题查验 1.A2.A3.A4.(-∞，0)5.3 跃升·关键能力考点一 [典例]解：(1)当a=1时，f(x)=e-x-1, f(0)=e°-0-1=0， f(x)=e-1,(0)=e°-1=0， 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y一0=0X (x一0)，即y=0. (2)f(x)=ae-a=a(e-1). 若a>0,令f(x)=0,即a(e-1)=0, 因为a>0,所以er一1=0，解得x=0. 当x<0时，e<1,f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>0时，e“>1,f'(x)>0,f(x)单调递增. 若a<0,令f(x)=0,解得x=0. 当x<0时，e>1,f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>0时，e“<1,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述，当a≠0时，f(x)在（一∞，0）上单调递减，在 (0,十○)上单调递增 跟踪训练 解：1)由题，f()=eln(1十x)+e·1十z =e·(1+)+) 故f0=心·(1+0)+十0)=1. f(0)=eln(1+0)=0, 因此，曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y =x; (2)由)知，gx)=f(x)=e·(n(1+)+中) x∈[0，+o), 对ge)=e·1+)+子a十小 21 设h(x)=ln1+x)+1千2a+z∈[0，+eo), 1 2 2 则N(x)=1十z1++1+x) 0 故n(x)在[0，十c∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)=1>0, 因此g'(x)>0对任意x∈[0，十c○)恒成立， 故g(x)在[0，+c○)上单调递增； (3)设m(s)=f(s十t)一f(s)一f(t) =e'In(1+s+t)-e'In(1+s)-eln(1+t), 则m'(s)=e(n(1+s+t)+1+s+ e(n(1+)+1) =g(s十t)-g(s), ·3 参考答案 由(2)g(x)在[0，十∞)上单调递增， 故s>0,t>0时，m'(s)=g(s+t)一g(s)>g(t) g(0)>g(0)一g(0)=0, 因此，m(s)在(0，十∞)上单调递增， 故m(s)>m(0)=f(0十t)一f(0)-f(t)=一f(0)=0, 因此，对任意的s,t∈(0，十©∞)， 有f(s十t)>f(s)十f(t) 考点二 [典别][解]1时)求学得f飞)=寸兰一 由f(x)在点(1，f1)处的切线垂直于直线y=22, 知f'(1)=- 子-a=-2,解得a=子 4 (2)迪1加a)=学+是n-号 则f'(x)=x-4红-5 4.x2 令f(x)=0,解得x=-1或x=5, 因x=一1不在f(x)的定义域(0，十∞)内，故舍去. 当x∈(0,5)时，f(x)<0,故f(x)在(0,5)上单调递减； 当x∈(5，+∞)时，f(x)>0, 故f(x)在(5，十∞)上单调递增」 跟踪训练 解：(1)函数f(x)的定义域为R. 由已知得f(x)=e e*+1-a. :函数y=f(x)的导函数是奇函数， 六f(-)=-f(x),即e e 9e+1a=一e十+a, 解得a=子 e*+1-a=1-1 (2)由(1)f(x)= e*+1-a. ①当a≥1时，f(x)<0恒成立 .a∈[1，十o∞)时，函数y=f(x)在R上单调递减. ②当0<a<1时，由f(x)>0,得(1-a)(e+1)>l,即e> a解得>n巴。 一1+1a 由f'(x)<0,得(1-a)(e+1)<1, 即c<-1+己。解得<n户。 a∈(01)时，数y=f)在(n产。+）上单调 增，在(-0，血巴a)上单词递减. 考点三 [母题][解](1)f'(x)=3x-a ①当a≤0时，f(x)≥0， 所以f(x)在（一o,十∞）上为增函数. ②当a>0时，令3x2-Q=0,得x=±30 3 当>或<-时x)>0: 3 3 当-@<<时，f(x)0. 3 3 因此f(x)在-o0, }(+上单 增，在-3@，3@}上单调递减。 33 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在 -60,- (+ 调递增，在-，3@}上单调递减 33