第2章 第9节 函数模型及应用-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

>-1,可解得x>日，所以，当0<<时，函数8x) 单词递减：当>。时，函最)单调运增，由此可知当x =上时，g()=一上在同一坐标系中作出画数gm和 e h()的简图如图所示，据图可得-】<a<0.故实教a的取 e [答案] [子题1]解析：由本例解析知a=一 或≥0， 答案：0.+∞)U{日} [子题2] 解析：函数f(x) y lnx一x一a的零点，即为关于 x的方程lnx-x一a=0的实 根，将方程lnx一x-a=0,化 为方程lnx=x十a,令y1= lnx,y2=x+a,由导数知识 可知，直线y2=x十a与曲线y1=lnx相切时有a=一l, 所以关于x的方程lnx一x一a=0有两个不同的实根， 实数a的取值范围是（一co,一1）. 答案：(-0，-1) [子题3]解析：令g(x)= (zIn z,>0, g(x) {-x2-2.x,r≤0 h(x)=a,则 h(x) 问题转化为g(x)与h(x)的图 象有三个交点，g(x)图象如图. 由图象知-上<a<l.故实数a e 的取位范因是（一。）片 答案：(。) 第9节 夯实·必备知识必备知识 2.单调递增单调递增单调递增y轴x轴 思考辨析(1)×(2)/(3)×(4)×(5)、/ 小题查验 1.C2.D3.A4.25005.206.2ln21024 跃升·关键能力考点一 1.BCD「由折线图知，7月份后月接待游客量减少，A错 误；B、C、D正确.] 2.D[对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40km/h 时，乙车每消耗1L汽油，行驶里程都超过5km,则A错 误：对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路 程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最 少，则B错误：对于C选项：甲车以80km/h的速度行驶 时，燃油效率为10km/L,则行驶1h,消耗了汽油80×1 ÷10=8(L),则C错误；对于选项D:速度在80km/h以 下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对.] 考点二 ,kt,0t1, [典例][解析](1)由题图，设y 2) ,t>1, 当t=1时，由y=4,得=4， 4t,0t1, (合) =4,得a=3.所以y /1 1-3 ,t>1. ·30 参考答案 (2)由y≥0.25，得0≤1， 4t≥0.25， 2 ≥0.25， 解得6<1≤5，因此服药一次后治疗爽病有效的时间是 5-言碧（小时） 跟踪训练 B[由题意可知，当酒精含量低于20mg/100mL时才 可以驾车，即当x≥2时，f(x)=90·e8r+14<20,整 理得。<品-0.5<n言解得>5≈5,42， 0.5 所以至少经过6小时才可以驾车.] 考点三 1.解：(1)设A,B两种产品分别投资x万元，x万元，x≥0， 所获利涧分别为f(x)万元g(x)万元， 由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2√. 根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0). g(x)=2√z(x≥0). (2)(i)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6. 所以总利涧y=8.25万元. (ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投入(18-x)万元，该 企业可获总利润为y万元 则y=子18-)+2匠，0<≤18. 令√E=t,t∈[0,32， 则y=子(-f+81+18)=-子-0+号 4 所以当1=4时=号=8.5， 此时x=16,18一x=2. 所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使 该企业获得最大利润，约为8.5万元. 2解：1)若m=2,则=22+2=2(2+2） 当u=5时，2+1=5， 「2=2， 令2=x(x≥1)，则x+1=5 x2 即2x2-5x+2=0, 解得x=2或=子（合去），此时1=1. 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度， (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即≥2恒成立， 亦a…+号>≥2极成立，亦即m≥2（位）成立 令7=，则01，m≥2y-y)恒成立 由于y-y<m≥2 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围 是[+) 3.解：(1)第一步分别列出0<x≤40和x>40时对应的 利润W.当0<x≤40时，W=xR(x)-(16x十40)= 一6x+384x-40,当x>40时，W=xR(x)一(16.x+40)= 40000-16.x+7360. x 第二步列出利润W的分段函数 所以，W= { x (2)第三步计算0<x40时的利润W的最大值 ①当0<x≤40时，W=-6(x-32)2+6104. 所以Wmx=W(32)=6104； 艺考生文化课百日冲关·数学 第四步计算x>40时的利润W的最大值 ②当x>40时，W=-40000 -16x+7360. 由于40000+16x≥2， 2 40000×16.x=1600, 当且仅当40000=16x,即x=50∈(40，+c0)时，取等 号，所以W取最大值为5760. 第五步得出本题的利润W的最大值 综合①②，当x=32时，W取得最大值，最大值为6104万元. 跟踪训练 解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S, 则S=200x- (2-20x+8000） =-2:+400z-8000=-2(x-400, 1 所以当x∈[200,300]时，S0,因此该单位不会获利」 当x=300时，S取得最大值一5000， 所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损】 (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 -80.x+5040,x∈[120,144)， 22 80000-200,x∈[144,500]， ①害xe[120,14)时，之=32-80x+5040 3(x120)2+240 所以当x=120时，兰取得最小值240。 ②当x∈[144,500]时， 义+0一20022xX000 -200=200, x 当且仅当1 x=8000,即2=40时，之取得最小 x 值200. 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能 使每吨的平均处理成本最低， 第10节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)f+Az)-fz,) △x (2)切线的斜率y一y,= f'(zo)(x-zo)3.0 ax"-I cos z-sinx e'a'ln a 1 1 x zln a 4.(1)(x)±g'(x)(2)(x)g(x)+ f(x)g'(x)5.u对x 思考辨析(1)√(2)×(3)√(4)×(5)/ 小题查验 1.B2.B3.B4.C5.4 跃升·关键能力考点一 1.解析：令2x=△x,由x0,得△x→0， 则有1imf1+△)=f①=-1，即f1)=-1, △-0 △x 由导数的几何意义知，y=f(x)在(1，f(1)处切线斜率 为一1. 答案：-1 2.解：设fx)定 1 1 则△y=f(1+△x)-f(1)= -1=1-+Az √I+△x √I+△x =1-√+△z)(1+√/1+△x) W1+△x(1+/1+△x) -△x √1+Ax(1+√+△z) ·3 y一 1 √1+△.z(1+√1+△x) △y=im -1 ∴.li 40△xr8√1+△z(1+√+△z) 2 1 2 考点二 解：(1)y=(x2)'sinx+x(sinx)/ =2xsin x+x'cos z. 2y=(x+=m+(=- (3)y= (e)2 =_sinx十cosx e (:y=xsin(2x+受）o(2x+受） 1 -2zsin(4x+x)--2xsin 4z. =-合n4-…s4红 1 ÷1 sin 4.x-2xcos4. 1 (5)令u=2x-5y=lh,则y=Inw)'w=2x-5·2= 2 2x-5,即y'= 2 2x-51 考点三 1.D[y=5+8,当工=1时，y=13,所求切线方程为y -5=13(.x-1),即y=13.x-8,选D.] 2.解析：因为f(z)=xln(2x-1)+ x+1 11 则f1)=1×n1+1+=2: 所以切点为，） 1 且f(x)=ln(2x-1)22-+)y 则k=/(1)=ln1+2气2=4： 2-1=7 由直线的点外式可得y一子-子一》.化简可得7 4y-5=0, 所以切线方程为7x一4y一5=0. 答案：7x一4y一5=0 3,解析：设切点为(x。,y),y=lnx十x+1求导得 y-是+1，候题有+1=2，得。=1， 所以=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0. 答案：2x一y=0 4.解析：y=nx+2的切线为y=】·x+lnx+1(设切 点搬垒标为人y=hx十1)的初线为y=行2中 +1》一干设切点楼丝标为小 1 1 ,+ nx,+1=n(x:+1)+行 1 x1=2 解得 1六6=nx1+1=1-ln2. x=-2 答案：1-ln2 0艺考生文化课百日冲关·数学 第9节 函数模型及应用 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解函数模型是描述客观世界中变量1.用函数图象刻画实际问 函数模型的实际应用主要考查 关系和规律的重要数学语言和工具.在 题中两变量的变化过程， 利用函数图象刻画实际问题，以选择 实际情境中，会选择合适的函数类型刻 达成直观想象素养。 题的形式出现；以解答题出现的是构 画现实问题的变化规律. 2.应用所给函数模型解决 建函数模型解决实际问题，综合考查 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算 实际问题，发展数学建模 导数、二次函数的图象与性质、基本 工具，比较对数函数、一元一次函数、指 和数学运算素养. 不等式等，多是解决实际问题中的最 数函数增长速度的差异，理解“对数增3.构建函数模型解决实际问 值问题，考查建模能力及分析问题和 长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现 题，提升数学建模和数学 解决问题的能力 实含义 运算素养 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 3.解决应用问题的基本步骤 1.常见的函数模型 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关 系，恰当选择模型； 函数模型 函数解析式 (2)建模：将文字语言、图形（或数表）等转化为数学 f(x)=a.x+b(a,b为常数，a≠0) 语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实 次函数型 际问题化为数学问题； f(x)=ax2+bx十c(a,b,c为常数， (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； 二次函数型 a≠0) (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原 为实际问题的答案. 指数函数型 f(x)=ba+c(a,b,c为常数，a>0 且a≠1，b≠0) 重要结论 形如f(x)=x+a(a>0)的函数模 型称为“对勾”函数模型： f(x)=blogax十c(a,b,c为常数， 对数函数型 (1)该函数在(-∞，一√a)和[√a,十∞)上单调递 a>0且a≠1，b≠0) 增，在[-√a,0)和(0，√a]上单调递减。 幂函数型 f(x)=a.x”+b(a,b为常数，a≠0) (2)当x>0时，x=√a时取最小值2√a,当x<0 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与 时，x=-a时取最大值-2√a. 性质 [自主诊断] [思考辨析] 函数 y=a" y=logx y=x 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 性质 (a>1) (a>1) (n≥0)》 里打“/”，错误的打“×” 在(0，+∞)上 (1)函数y=2x的函数值在(0，+∞)上一定比y 的增减性 =x2的函数值大. 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 (2)在(0，+∞)上，随着x的增大，y=a'(a>1) 的增长速度会超过并远远大于y=x“(a>0)的 随x的增大 随x的增大 随n值变 增长速度. 图象的变化 逐渐表现为 逐渐表现为 化而各有 (3)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b+c(a≠ 与 与 不同 0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻. 平行 平行 存在一个x0,当x>%时， (4)幂函数增长比直线增长更快， 值的比较 (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时 有logx<x"<a 间内变化量较大的实际问题中 ( 42· 上篇：第二章函数、导数及其应用 [小题查验] 4.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并 1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵 且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总 塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行 收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q 驶.与以上事件吻合得最好的图象是 () 个距学校的距离 个距学校的距离 个距学校的距离 个距学校的距离 20Q,则总利润L(Q)的最大值是 万元. 5.在如图所示的锐角三角形空 时 时向 B 地中，欲建一个面积最大的 2.下列函数中随x的增大，增长率最终最大的是 40m 内接矩形花园（阴影部分）， ( ) A.y=1000x B.y=x2 则其边长x为 (m). 40m- C.y=In x D.y=(1.01)x 6.某种病毒经30分钟繁殖为 3.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y 原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y=e如 =alog3(x+1),设这种动物第2年有100只，到 (其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示 第8年它们发展到 ( ) A.200只 B.300只 病毒个数)，则k ,经过5小时，1个病 C.400只 D.500只 毒能繁殖为 个 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程（自主练透） 「题组集训门 燃油效率mL) 15 1.(多选题)某城市为了了解游客人数的变化规律， 甲车 提高旅游服务质量，收集并整理了2024年1月 10 至2026年12月期间月接待游客量（单位：万人） A乙车 。丙车 的数据，绘制了下面的折线图 月接待游客量（万人） 4080速度/kmh) A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km 30叶 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗 01234567891012123456789101121234567891012 汽油最多 2024年 2025年 2026年 C.甲车以80km/h的速度行驶1h,消耗10L汽油 根据该折线图，下列结论正确的是 D.某城市机动车最高限速80km/h,相同条件 A.月接待游客量逐月增加 下，在该市用丙车比用乙车更省油 B.年接待游客量逐年增加 /题后反思/ C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的 D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至 两种方法 12月，波动性更小，变化比较平稳 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行 型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根 驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同 据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合 速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符 ( 合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 考点二 应用所给函数模型解决实际问题（课堂共研） [典例]某医药研究所开发的 (微克)与时间（小时）之间近似满足如图所示的 一种新药，如果成年人按规 曲线. 定的剂量服用，据监测，服药 (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系 后每毫升血液中的含药量y12 式y=f(t); ·43 艺考生文化课百日冲关·数学 (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 通管理局对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提 0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾 出了新规定，该规定相关判定阈值在2026年继 病有效的时间. 续执行，根据国家质量监督检验检疫总局下发的 [破题关键点]由所给函数图象可知，当0≤≤ 标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液 1时，含药量y(微克)与时间t(小时)之间是正比 例函数的关系；当t>1时，含药量y(微克)与时 中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况 间t(小时)之间是指数函数的关系. 下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规 [尝试解答] 律的“散点图”如图，且图中所示的函数模型f(x)= 40sm5+13,0<2 假设该人喝一瓶啤酒后 90·e0.5x+14,x≥2 至少经过n(n∈N*)小时才可以驾车，则n的值为 /方法指导/ (参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40) 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 70酒精含量/mg/100ml) (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定 系数 50 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待 30 定系数 10 (3)利用该模型求解实际问题. 0 24 6 810121416时间/0 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 取值范围. 驾驶行为类别 阈值/(mg/100mL) [跟踪训练] 饮酒后驾车 [20,80) 某电影中反复出现这样的人工语音：“道路千万 条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪.”讲的 醉酒后驾车 [80,+o∞) 是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2023年，公安部交 A.5 B.6 C.7 D.8 考点三 构建函数模型解决实际问题（多维探究） 核心素养 (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的 数学建模一函数建模在实际问题中的妙用 函数关系式； 解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考 (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部 查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式 投入A,B两种产品的生产. (注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意 (ⅰ)若平均投入生产两种产品，可获得多少 义作答 利润？ 读题 建模 求解 (ⅱ)问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投 （文字语言) (数学语言) (数学应用) 资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约 反馈 为多少万元？ (检验作答) [命题角度1]构建二次函数模型 1.某企业生产A,B两种产品，根据市场调查与预 测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1： B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关 系如图2（注：利润和投资单位：万元）. 1y(利润 1y(利润 0.45 0.25 0 1.8x(投资) 04 9x(投资) 图1 图2 ·44· 上篇：第二章函数、导数及其应用 /规律总结/ 核心素养 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模 数学建模 在分段函数中应用的核心素养 型可以求出函数的值域或最值，解决实际中的 信息提取 信息解读 数学建模 优化问题时，一定要分析自变量的取值范围.利 年固定成本为 固定成本，与产量、销 用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定 40万美元 量无关 模型1：求利润最大 区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对 每生产1万只 变动成本，与产量正相 模型 称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另 还需另投入16 关，每生产x万只手机 着眼点：利润一销售 一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在 万美元 增加成本16.x万美元 收人一成本，成本包 含固定成本、变动成 区间的端点处取得. 每万只的销售 年利润一年销售总收 本等所有题干涉及的 [命题角度2]构建指数函数模型 收入为R(x)万 入一固定成本一变动 成本 成本，则W=xR(x) 2.已知某物体的温度v(单位：摄氏度)随时间t(单 美元 模型2：分段函数模型 (16.x+40) 着眼点：分段函数的 位：分钟)的变化规律是v=m·2十21-1(t≥0， 年利润W(万美 注意：R(x)为每万只 最值是其每个区间段 并且m>0). 元)关于年产量 的销售收入，年销售总 上的最值中的最大者 x(万只)的函数 收入应该为xR(x), (1)如果m=2,求经过多长时间，物体的温度为5 或最小者，应分别求 解析式 x为年产量（万只） 解后进行比较， 摄氏度； R(x)是分段函数，那 注意：实际问题中， (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取 所获得的利润 么W(x)也是分段函 x的取值不仅要使函 值范围. 最大时的年 数，需要分别求出每段 数有意义，也要有实 产量 上的最值，比较后取其 际意义 大者 /规律总结/ 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数 函数模型y=N(1十p)r(其中N是基础数，p 为增长率，x为时间)和幂函数模型y=a(1十 方法总结引 x)”(其中a为基础数，x为增长率，n为时间) 1.本题的难点是函数模型是一个分段函数，由 的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与 于自变量在不同范围内，对应的函数解析式 不同，因此，此类问题最值的求解是必须先求 已知表格中给定的值对应求解. 出函数在每个区间内的最值，然后将这些区 [命题角度3]构建分段函数模型 间内的最值进行比较确定最值. 3.已知华为公司生产某款华为手机的年固定成本 2.解函数应用题的一般程序 为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美 第一步：审题一弄清题意，分清条件和结 元.设华为公司一年内共生产该款华为手机x万 论，理顺数量关系； 只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万 第二步：建模—将文字语言转化成数学语 400一6x,0<x40, 言，用数学知识建立相应的数学模型； 美元，且R(x) 740040000 第三步：解模—求解数学模型，得到数学 ,x>40 x2 结论； (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只) 第四步：还原—将用数学方法得到的结论 的函数解析式； 还原为实际问题的意义： (2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款华 第五步：反思一对于数学模型得到的数学 为手机的生产中所获得的利润最大？并求出最 结果，必须验证这个数学结果对实际问题的 大利润. 合理性. ·45·