第2章 第7节 函数的图象-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

3.B[fx)=log（r-ax-a)在(o,-专]上是增函 数，说明内=-ara在(，上是 减西数且加)>0成立，只需对称轴2=号>-号且 )m=(-)>0,解得a【-1,）门 4.解析：当x≤2时，f(x)=一x十6，f(x)在(-o,2]上为减函 数，∴.f(x)∈[4，十∞)；当x>2时，若a∈(0,1)，则f(x)=3 +logx在(2，+∞)上为减函数，f(x)∈（一∞， 3十log.2),显然不满足题意，a>1,此时f(x)在 (2,十∞)上为增函数，f(x)∈(3+log2,+),由题意 可知(3+log2,+∞)二[4，+∞)，则3+log2≥4，即 log2≥1，∴.1<a≤2.即实数a的取值范围是(1,2]. 答案：(1,2] 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)y=x(3)[0,+)[0,十∞){yly≠0}奇 奇在（一∞，0]上单调递减，在[0，十∞）上单调递增在 R上单调递增在[0，十∞)上单调递增在（一o,0)和 (0,十o)上单调递减(1,1) 2.(1)ax十b.x+c(a≠0)(m,n) (2)4ac-i,+e）】 Aa Aac-b （-oo,4a + 6 1 -o,-2a] 思考辨析 (1)×(2)(3)×(4)× 小题查验 1.C2.B3.A4.y=3x-2x+35.1或2 跃升·关键能力考点一 1.C[令f(x)=r,则4=2a=2心f(x)=x.] 2.A[因为a=4音，b=4音，c=25京=5音，函数f(x)=x台 在(0，十∞)上单调递增，所以4言<5方，又4<4，所以 b<a<c.] 3.B[由于f(x)为幂函数，所以n+2m-2=1, 解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.] 4.解析：不等式(a+1)言<(3-2a)言等价于a十1>3 2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a -1成号<a< 答案：(-，-DU(号，2)） 考点 1.DL由A,C,D知，f(0)=c<0,从而由abc>0,所以ab<0, 所以对称轴x=一品>0，知A,C错误，D满足要求：由B项 2a 知代0)=c>0,所以ab>0,所以=一会<0.B项错误.] 2.D[当a=0时，f(x)=2z-3,在定义域R上是单调递 增的，故在（一©o,4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x=一】 a 因为f(x)在（一∞，4）上单调递增， 所以a<0,且-≥4，解得-子≤a<0. 综上可知，实数a的取值范因是-十<a<0.] 3.D[f()=-4(2-受）-4a,对称轴为x=受 ①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递增， ymx=f(1)=-4-a2, 令-4-a2=-5,得a=士1（舍去）. ·30 参考答案 ②当0<号<1，即0<a<2时y=f(2)F-a· 令-4a=-5,得a=票. ③当号≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递减， …ymx=f(0)=-4a-a2,令-4a-a2=-5, 得a=-5或a=1(含去).综上所述0=子或-5] 4.解析：由f(x)>0,即ax2-2x+2>0,x∈(1,4)，得a> 是+是在00上板底2. 令g(x)=- +2-（公）+2 士∈(，1）所以gx=g(2)= 所以要使f()>0在(1，)上恒成立，只要a>2即可。 答案：(2+0）】 第7节 夯实·必备知识必备知识 2.(1)f(x)-k(2)-f(x)f(-x)-f(-x)logx(a >0且a≠1)(3)f(ax)afx)(4)lf(x)lf(xl) 思考辨析 (1)/(2)×(3)×(4)/(5)× 小题查验 1.A2.A3.D4.上35.(0，+o) 跃升·关键能力考点一 解：(1)函数的定义域为{xx>0} 且y=emr=x(.x>0), 其图象如图(1)所示」 12 图(1) 图(2) (2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y= |1og2(x十1)的图象，如图(2)所示. (3)y (a）x<0(0<a<1), 1 只需作出0<a<1时函数y=a(x≥0)和y= ) (x<0)的图象，合起来即得函数y=ax(0<a<1)的图 象，如图(3)所示， -2-10123x 图(3) 图(4) (④)”y=2十之放函数图象可由y=上的图象向右 平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示 考点二 [典例][解析](1)A[设f(x)=(3-3)cosx, f(-x)=(3-3)c0s(-x)=-f(x),所以f(.x)为奇 函数，排除BD,令x=1, 则f(1)=(3-3-1)cos1>0,排除C.] 艺考生文化课百日冲关·数学 (2)A[因为函数y=xcos z十sinx为奇函数，所以图 象关于原点对称，排除C、D,因为当x=π时，y=一π 0,排除B.」 跟踪训练 xcos 2x 1.A[由函fx)=n,可得其定义城为（一o, 0)U(0,十∞)，关于原点对称， 且满足f(一x)= 一xC0s(-2x) xcos 2x ln[(-x)+1 ln(.x2+1) =一f(x), 所以函数∫(x)为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、 D选项； cos 2 文由f(1)=1n1+1n2 =os2<0,可排除C选项，所以 选项A符合题意.] 2.B f(x)=-z2+(e-e )sin z, 则f(一x)=一（一x)+(e一e)sin(-x) =-2+(e-e)sin x=f(x) ∴y=f(z)为偶函数，排除A,C: f(受)-+c-。 4 =c-e5-7>0… 故排除D,B正确.] 考点三 1.B[(1)法一：由f(x)=0,得 ∫x≤0 {x2+x-2=0' 或∫x>0 2 y=f (x) {-1+nx=0' 234 解得x=一2，或x=e 因此函数f(x)共有2个 零，点. 法二：函数∫(x)的图象如图 所示， 由图象知函数f(x)共有2个零，点，门 2.D[作函数f(x)的图象， 观察图象可知会有 y=2 f2x<0 12z<x+1:解得x<0, y=1 所以满足f(x十1)<f(2x)的x 的取值范围是（一○，0）.门 0 3.B[依题意，“伙伴点组”的点满 足，都在y=(x)的图象上，且关于坐标原，点对称.可作出函 数y=一n(-x)(x<0)关于原点对称的函数 y=lnx(x>0)的图象， 使它与直线y=kx一1(x>0)的交点个数为2即可. 当直线y=kx一1与y=nx的图 象相切时，设切点为(m,nm),又 y=lnx的导数为y=L 0 则km-1=nm,k=,解得m =1,k=1, 可得函数y=lnx(x>0)的图象 过点(0，一1)的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1) 时两函数图象有两个交点.] 第8节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)<0 2.(x10),(x2,0)(x1,0)3.f(a)·f(b)0 一分为二零点 思考辨析(1)×(2)×(3)/(4)/ 小题查验 kC2.B3.B41.565.(径，号) ·3 跃升·关键能力考点一 1.A[a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c一a)(c-b)>0, 由函数零，点存在性定理可知：在区间(a,b),(b,c)内分别 存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零，点：因此 函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.] 2.B[因为函数y=lnx,y=- 子在(0，十∞)上单洞 递增， 所以函数f(x)=nx-】在(0，十o)上单调递增， 又f1)=-1<0f2=h2-2=h2>0. Ve 则f(1)f(2)<0, 根据零点存在性定理，函数f(x)=nx一工的零点所在 区间为(1,2).] 3.D[令f(x)=2十x=0,解得x<0, 令g(x)=x-1=0,解得x=1,由h(x)=logx+x, 令A(行)=-1+子<0，h1)=1>0,又高数是增西 11 数，因此h)的零点∈(3l） 则b>c>a.] 考点二 [典例][解析]第一步作函 数y=f(x)的图象 作出函数y=f(x)的图象. 第二步解方程2f(x)一3f(x》 +1=0 由2f(x)-3f(x)+1=0,得 )=号我人)= 第三步观察y=合和y=1与y=f(x)的图象交点 个数 由图象知y=合与y=f)的图象有2个交点， y=1与y=f(x)的图象有3个交点. 第四步得出函数的零，点个数 因此函数y=2f(x)一3f(x)十1的零，点有5个. [答案]5 跟踪训练 1C[7=0时：i=点2o年释 一1或x=1.故所求函数的零点个数是2.] 2.解析：令f(x)=|lgx|一kx一2=0，可转化成两个函数 y1=lgx,y2=kx十2的交点问题. 对于①，当k=0时，lgx=2,两个交点，①正确； 对于②，存在k<0,使y1=lgx|与y2=kx十2相切，② 正确；对于③，若k<0,y1=|lgx|与y=kx+2最多有2 个交点，③错误；对于④，当k>0时，过，点（0,2)存在函数 g(x)=lgx(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜 率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交，点，故④正 确.综上可知①②④符合题意 答案：①②④ 考点三 [母题][解析]令g(x)= xlnx,h(x)=a,则问题可转化成 g( 函数g(x)与h(x)的图象有两个 交点.g'(x)=nx十1，令 0以 g'(x)<0,即lnx<-1,可解得 h(e)主 0<x。:令g(z)>0,即n1 8上篇：第二章函数、导数及其应用 考点二 二次函数的图象与性质（多维探究） [命题角度1]二次函数的图象 /规律总结/ 1.设abc>0,二次函数f(x)=a.x2+bx+c的图象 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为 可能是 y=a(x一m)2+n的形式，得顶点(m,n)和对 称轴方程x=m,结合二次函数的图象求解. 常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数（即顶点为动点），区间固定，这 [命题角度2]二次函数的单调性 2.如果函数f(x)=ax2+2x一3在区间（一o∞，4）上是 时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时 单调递增的，则实数a的取值范围是 ( 在区间之外； .1 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的 A.a>- 4 B.a≥- 4 参数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关 4≤a<0 1 D.- 4≤a≤0 1 系，明确函数的单调性，从而确定函数的 C.- 最值. [命题角度3]二次函数的最值 [命题角度4]二次函数中恒成立问题 核心素养 4.设函数f(x)=a.x2-2x十2，对于满足1<x<4 逻辑推理一分类讨论思想在二次函数问题中的应用 的一切x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围 二次函数是单峰函数（在定义域上只有一个最 为 值点的两数)x=一会为其最值点横坐标，在其两 /规律总结/ 2a 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解： 某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区 二是构造函数，数形结合求解. 间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值， 立方程求解参数 至于用哪种方法，关键是看参数是否能分 3.已知f(x)=-4x2+4a.x-4a-a2在[0,1]内的 离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立 最大值为一5，则a的值为 ( 曰a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立台a≤ A是 B1或 f()min C温馨提 C-1或 D-5或号 学习至此，请完成配套训练 课时冲关十一 第7节 函数的图象 课程标准 核心素养 考情聚焦 高考对函数图象的考查多种多样，可以是由函 1.在实际情境中，会根据不同 数的解析式与函数的性质识图选图，可以是由函数 的需要选择图象法、列表1.作函数的图象，达成 的图象研究函数的性质，还可以是数形结合思想的 法、解析法表示函数. 直观想象素养 运用等，其中给出函数解析式判断函数的图象及利 2.会运用函数图象理解和研2.函数图象的识别，提 用函数图象求函数零点，求交点个数及求参数值 究函数的性质，解决方程解升直观想象素养 (范围)是高考的热点，各种基本初等函数的图象与 的个数与不等式的解的3.函数图象的应用，提 性质的应用，图象变换等也是高考的热点.本部分 问题 升直观想象和逻辑 内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，属 3.会结合函数性质判断或选 推理素养 于中档题，有时也在解答题中考查数形结合的思 择函数的图象 想，属于中高档题，难度较大 ·35· 艺考生文化课百日冲关·数学 加夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] [自主诊断了 1.利用描点法作函数的图象步骤 [思考辨析] (1)确定函数的定义域； 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (2)化简函数解析式； 里打“/”，错误的打“X” (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称 (1)函数y=2的图象关于直线x=0对称.（) (2)当x∈(0，+∞)时，函数y=|f(x)|与y= 性等)； f(x)的图象相同. ) (4)列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值 (3)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于原点 点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 对称. () 2.利用图象变换法作函数的图象 (4)若函数y=f(x)满足f(1十x)=f(1一x),则 (1)平移变换 函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(） y=f(x)+k (5)将函数y=f(一x)的图象向右平移1个单位 上k(k>0 得到函数y=f(一x-1)的图象. () 移个单位 [小题查验] 左移厂 y寸f(x+a) a(a0 f右移 a(a=0)f(x-a) 个单位 下Kk>0)个单位 1.(人教A版教材例题改编)函数y=xx|的图象 移个单位 经描点确定后的形状大致是 y= (2)对称变换 ①y=f(x) 关于x轴对称 *y= 关于y轴对称 ②y=f(x) y= 关于原点对称 2.(2025·北京卷)为得到函数y=9的图象，只需 ③y=f(x) y= 把函数y=3的图象上的所有点 ④y=a(a>0且a≠1)关于y=x对称 y= A.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 (3)伸缩变换 >1,横坐标缩短为原来的。倍，纵坐标不变 C.纵坐标变成原来的号倍，横坐标不变 ①y=f(x) D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 0<a<1,横坐标伸长为原来的。倍，纵坐标不变 3.(2025·天津卷)已知函数y=f(x)的图象如图， y= 则f(x)的解析式可能为 ②y=f(x) a>1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 0<a1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 y- (4)翻转变换 保留x轴上方图象 ①y=f(x) 将x轴下方图象翻折上去y一 保留y轴右边图象，并作其 ②y=f(x) y= 关于y轴对称的图象 A.f(x)= 1-1x B.f(x)= x- 重要结论1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发 C.f(x)= x 1-x2 D.f(x)- x x2-1 生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操 4.为了得到函数f(x)=log2x的图象，只需将函数 作.如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再 g()=lo0的图象向 平移 个 进行变换 2.上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是 单位 y本身，利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对 5.若关于x的方程|x|=a一x只有一个解，则实数 y=f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减” a的取值范围是 ·36 上篇：第二章函数、导数及其应用 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 作函数的图象（自主练透） [题组集训] /题后反思1 分别作出下列函数的图象： 画函数图象的一般方法 (1)y=eln.; (1)直接法.当函数表达式（或变形后的表达式） (2)y=110g2(x+1); 是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的 (3)y=-ax(0<a<1): 特征直接作出. (4)y= 2x-1 x-1 (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数 的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图 象变换作出，但要注意变换顺序.对不能直 接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注 意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位 及解析式的影响. 易错警示：可先化简函数解析式，再利用图象 的变换作图. 考点二 函数图象的识别（师生共研） [典例](1)函数y=(3x一3x)cosx在区间 [一受，]上的图象大致为 [尝试解答](1) (2) 方法指导引 知式选图的策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从 函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性（有时可借助导数判断），判 断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点（与坐标轴的交点、经过的 定点、极值点等)，排除不合要求的图象. (2)函数y=xcos x+sinx在区间[-π，π]上的 易错警示：注意联系基本函数图象的模型，当选项 图象可能是 无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口. ·37 艺考生文化课百日冲关·数学 [跟踪训练] 2.(2024·全国甲卷（理）)函数y=-x2+(e 1.函数f(x)= xc0s2x的图象大致是 er)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 ln(x2+1) 4村 考点三函数图象的应用（多维探究） [命题角度1]研究函数的零点 组”（点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点 x2+x-2,x0 kx-1,x>0, 1.函数f(x) 的零点个数为 组”).已知函数f(x) 有两个 -1+lnx,x>0 ln(-x),x<0 “伙伴点组”，则实数k的取值范围是 A.3 B.2 C.7 D.0 A.(-∞，0) B.(0,1) [命题角度2]求不等式的解集 c,》 D.(0,+∞) 2 x ,x0, 2.设函数f(x) 则满足f(x+1)< 1 ,x>0, /规律总结/ f(2x)的x的取值范围是 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注 A.(-∞，-1] B.(0,+∞) 意其对应关系，如：图象的左右范围对应定 C.(-1,0) D.(-∞，0) 义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对 应单调性，对称性对应奇偶性 [命题角度3]求参数的取值或范围 (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定 核心素养 参数的值（范围）：构造函数，转化为两函数 直观想象一数形结合思想在函数问题中的应用 图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别 数形结合思想的主要方面是“以形助数”，以此 作出两函数的图象，数形结合求解. 来帮助寻找解决问题的途径，在函数有关求参数的 (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数 取值或范围问题中，数形结合思想的应用非常广泛 法求解，但其对应函数的图象可作出时，常 且恰到好处 将不等式问题转化为两函数图象的上、下关 系问题，从而利用数形结合求解. 3.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件：①P,Q @温馨提西 都在函数y=f(x)的图象上；②P,Q关于原点对 学习至此，请完成配套训练课时冲关十二 称，则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点 ·38