第2章 第6节 二次函数与幂函数-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

上篇：第二章函数、导数及其应用 第6节二次函数与幂函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.幂函数的图象与性质，发 幂函数、二次函数的图象与性 1.通过具体实例，结合y=x,y=x2,y 展数学抽象和直观想象质是高考考查的热点内容，常与 户，y=子y=厅的图象理解它们的 1 素养 元二次方程、一元二次不等式等知 2.二次函数的最值问题，达识交汇命题，考查数形结合思想， 变化规律，了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的定义、图象 成直观想象和逻辑推理这种思想方法常融合在函数的最 及性质 素养 值、函数零点的分布问题之中.主 3.能用二次函数、方程、不等式之间的关 3.二次函数零点的分布问要以选择题或填空题的形式出现， 系解决简单问题 题，提升直观想象和逻辑属于低中档题，在解答题中常与导 推理素养 数的应用综合，属于中高档题 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1, 1.幂函数 x2为f(x)的零点 (1)幂函数的定义 (2)二次函数的图象和性质 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 f(x)=a.x2+ f(x)=a.x2+ x是自变量，a为常数. 解析式 bx+c(a-0) b.x+c(a<0) (2)常见的5种幂函数的图象 YY=x 图象 定义域 (-0∞，十0∞) (-∞，+∞) 值域 (3)常见的5种幂函数的性质 在 在 1上单 上单 函数 y=x y=r2 y=r3 y=tt y=x-I 2a 调递增； 定义域 R R {xx≠0} 单调性 调递减； 值域 R R [0,+0∞) 在 上单调 在会+） 奇偶性 偶 非奇非偶 递增 上单调递减 在R上 对称性 函数的图象关于x=一 对称 2a 单调性 单调 递增 重要结论 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件 公共点 2.二次函数 是∫a≥0， 4<0. (1)二次函数解析式的三种形式 (2)a.x2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 一般式：f(x)= 顶点式：f(x)=a(x一m)2十n(a≠0)，顶点坐标为 a<0, △<0. ·33 艺考生文化课百日冲关·数学 [自主诊断] 2.下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大 [思考辨析] 致对应是 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“/”，错误的打“X”. 女半半 (1)函数y=2x是幂函数 ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一 A.①y=x,②y=x2,③y=xz,④y=x- 定是原点 ( B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x-1 (3)当n<0时，幂函数y=x”是定义域上的减 C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x-1 函数 D.①y=x3,②y=x,③y=x2,④y=x1 (4)二次函数y=a.x2+bx+c(a>0),x∈[m,n] 3.函数f(x)=x2+m.x+1的图象关于直线x=1 的最小值一定是4ac一 对称的充要条件是 Aa A.m=-2 B.m=2 [小题查验] C.m=-1 D.m=1 12 4.二次函数的图象与x轴只有一个公共点，对 1.已知幂函数f(x)=k·x“的图象过点 22 称轴为x=3,与y轴交于点(0,3).则它的解 则k十a= 析式为 ( 5.若幂函数y=(m2一3m十3)xm-m-2的图象不经 A.2 B.1 c D.2 过原点，则实数m的值为 ☐跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 幂函数的图象与性质（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y 1.幂函数的解析式：y=x(α∈R),其中只有参数 α，因此只需一个条件即可确定其解析式。 =f(x)的图象是 2.幂函数的图象特征：①在(0,1)上，幂函数中 指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指 大图低”)，在(1，十∞)上，幂函数中指数越 大，函数图象越远离x轴.②曲线在第一象限 的凹凸性：a>1时，曲线下凸；0<a<1时，曲 2.已知a=23,b=4号，c=253,则 线上凸；a<0时，曲线下凸. A.b<a<c B.a<b<c 3.幂函数的性质： C.b<c<a D.c<a<b (I)若a为偶数，则幂函数y=x“(α∈R)是偶函数； 3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)x-3m(n∈Z)的图 若a为奇数，则幂函数y=x“(a∈R)是奇函数. 反之，不成立.当α是分数时，一般将其先化为 象关于y轴对称，且在(0，十∞)上是减函数，则n的 根式，再判断奇偶性. 值为 ) (2)若幂函数y=x“在(0，十∞)上单调递增， A.-3 B.1 C.2 D.1或2 则a>0;若在(0，十∞)上单调递减， 4.若(a十1)-亨<(3一2a)-言，则实数a的取值范 则a<0. 4.幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当 围是 的函数，借助其单调性进行比较 ·34· 上篇：第二章函数、导数及其应用 考点二 二次函数的图象与性质（多维探究） [命题角度1]二次函数的图象 /规律总结/ 1.设abc>0,二次函数f(x)=a.x2+bx+c的图象 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为 可能是 y=a(x一m)2+n的形式，得顶点(m,n)和对 称轴方程x=m,结合二次函数的图象求解. 常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数（即顶点为动点），区间固定，这 [命题角度2]二次函数的单调性 2.如果函数f(x)=ax2+2x一3在区间（一o∞，4）上是 时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时 单调递增的，则实数a的取值范围是 ( 在区间之外； .1 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的 A.a>- 4 B.a≥- 4 参数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关 4≤a<0 1 D.- 4≤a≤0 1 系，明确函数的单调性，从而确定函数的 C.- 最值. [命题角度3]二次函数的最值 [命题角度4]二次函数中恒成立问题 核心素养 4.设函数f(x)=a.x2-2x十2，对于满足1<x<4 逻辑推理一分类讨论思想在二次函数问题中的应用 的一切x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围 二次函数是单峰函数（在定义域上只有一个最 为 值点的两数)x=一会为其最值点横坐标，在其两 /规律总结/ 2a 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解： 某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区 二是构造函数，数形结合求解. 间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值， 立方程求解参数 至于用哪种方法，关键是看参数是否能分 3.已知f(x)=-4x2+4a.x-4a-a2在[0,1]内的 离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立 最大值为一5，则a的值为 ( 曰a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立台a≤ A是 B1或 f()min C温馨提 C-1或 D-5或号 学习至此，请完成配套训练 课时冲关十一 第7节 函数的图象 课程标准 核心素养 考情聚焦 高考对函数图象的考查多种多样，可以是由函 1.在实际情境中，会根据不同 数的解析式与函数的性质识图选图，可以是由函数 的需要选择图象法、列表1.作函数的图象，达成 的图象研究函数的性质，还可以是数形结合思想的 法、解析法表示函数. 直观想象素养 运用等，其中给出函数解析式判断函数的图象及利 2.会运用函数图象理解和研2.函数图象的识别，提 用函数图象求函数零点，求交点个数及求参数值 究函数的性质，解决方程解升直观想象素养 (范围)是高考的热点，各种基本初等函数的图象与 的个数与不等式的解的3.函数图象的应用，提 性质的应用，图象变换等也是高考的热点.本部分 问题 升直观想象和逻辑 内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，属 3.会结合函数性质判断或选 推理素养 于中档题，有时也在解答题中考查数形结合的思 择函数的图象 想，属于中高档题，难度较大 ·35·3.B[fx)=log（r-ax-a)在(o,-专]上是增函 数，说明内=-ara在(，上是 减西数且加)>0成立，只需对称轴2=号>-号且 )m=(-)>0,解得a【-1,）门 4.解析：当x≤2时，f(x)=一x十6，f(x)在(-o,2]上为减函 数，∴.f(x)∈[4，十∞)；当x>2时，若a∈(0,1)，则f(x)=3 +logx在(2，+∞)上为减函数，f(x)∈（一∞， 3十log.2),显然不满足题意，a>1,此时f(x)在 (2,十∞)上为增函数，f(x)∈(3+log2,+),由题意 可知(3+log2,+∞)二[4，+∞)，则3+log2≥4，即 log2≥1，∴.1<a≤2.即实数a的取值范围是(1,2]. 答案：(1,2] 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)y=x(3)[0,+)[0,十∞){yly≠0}奇 奇在（一∞，0]上单调递减，在[0，十∞）上单调递增在 R上单调递增在[0，十∞)上单调递增在（一o,0)和 (0,十o)上单调递减(1,1) 2.(1)ax十b.x+c(a≠0)(m,n) (2)4ac-i,+e）】 Aa Aac-b （-oo,4a + 6 1 -o,-2a] 思考辨析 (1)×(2)(3)×(4)× 小题查验 1.C2.B3.A4.y=3x-2x+35.1或2 跃升·关键能力考点一 1.C[令f(x)=r,则4=2a=2心f(x)=x.] 2.A[因为a=4音，b=4音，c=25京=5音，函数f(x)=x台 在(0，十∞)上单调递增，所以4言<5方，又4<4，所以 b<a<c.] 3.B[由于f(x)为幂函数，所以n+2m-2=1, 解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.] 4.解析：不等式(a+1)言<(3-2a)言等价于a十1>3 2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a -1成号<a< 答案：(-，-DU(号，2)） 考点 1.DL由A,C,D知，f(0)=c<0,从而由abc>0,所以ab<0, 所以对称轴x=一品>0，知A,C错误，D满足要求：由B项 2a 知代0)=c>0,所以ab>0,所以=一会<0.B项错误.] 2.D[当a=0时，f(x)=2z-3,在定义域R上是单调递 增的，故在（一©o,4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x=一】 a 因为f(x)在（一∞，4）上单调递增， 所以a<0,且-≥4，解得-子≤a<0. 综上可知，实数a的取值范因是-十<a<0.] 3.D[f()=-4(2-受）-4a,对称轴为x=受 ①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递增， ymx=f(1)=-4-a2, 令-4-a2=-5,得a=士1（舍去）. ·30 参考答案 ②当0<号<1，即0<a<2时y=f(2)F-a· 令-4a=-5,得a=票. ③当号≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递减， …ymx=f(0)=-4a-a2,令-4a-a2=-5, 得a=-5或a=1(含去).综上所述0=子或-5] 4.解析：由f(x)>0,即ax2-2x+2>0,x∈(1,4)，得a> 是+是在00上板底2. 令g(x)=- +2-（公）+2 士∈(，1）所以gx=g(2)= 所以要使f()>0在(1，)上恒成立，只要a>2即可。 答案：(2+0）】 第7节 夯实·必备知识必备知识 2.(1)f(x)-k(2)-f(x)f(-x)-f(-x)logx(a >0且a≠1)(3)f(ax)afx)(4)lf(x)lf(xl) 思考辨析 (1)/(2)×(3)×(4)/(5)× 小题查验 1.A2.A3.D4.上35.(0，+o) 跃升·关键能力考点一 解：(1)函数的定义域为{xx>0} 且y=emr=x(.x>0), 其图象如图(1)所示」 12 图(1) 图(2) (2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y= |1og2(x十1)的图象，如图(2)所示. (3)y (a）x<0(0<a<1), 1 只需作出0<a<1时函数y=a(x≥0)和y= ) (x<0)的图象，合起来即得函数y=ax(0<a<1)的图 象，如图(3)所示， -2-10123x 图(3) 图(4) (④)”y=2十之放函数图象可由y=上的图象向右 平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示 考点二 [典例][解析](1)A[设f(x)=(3-3)cosx, f(-x)=(3-3)c0s(-x)=-f(x),所以f(.x)为奇 函数，排除BD,令x=1, 则f(1)=(3-3-1)cos1>0,排除C.]